1、數理統計與隨機過程第六章主講教師：陳立萍北京工業大學應用數理學院 數理統計學是一門應用性很強的學科。它研究如何以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機性的數據，以便對所考察的問題作出正確的推斷和預測，為采取正確的決策和行動提供依據和建議。 數理統計不同于一般的資料統計，它更側重于應用隨機現象本身的規律性進行資料的收集、整理和分析。第六章 樣本及抽樣分布6.1 引言 由于大量隨機現象必然呈現出其規律性，因而從理論上講，只要對隨機現象進行足夠多次的觀察，隨機現象的規律性就一定能夠清楚地呈現出來。 但是，客觀上只允許我們對隨機現象進行次數不多的觀察或試驗，也就是說：我們獲得的只能是局部的或有限的觀察資料

2、。 數理統計的任務就是研究 “如何有效地收集、整理和分析所獲得的有限資料，并對所研究的問題盡可能地給出精確而可靠的推斷”。 現實世界中存在著形形色色的數據，分析這些數據需要多種多樣的方法。 因此，數理統計中的方法和支持這些方法的相應理論是相當豐富的。概括起來可以歸納成兩大類。 參數估計: 根據數據，對分布中的未知參數 進行估計； 假設檢驗: 根據數據，對分布的未知參數的 某種假設進行檢驗。 參數估計與假設檢驗構成了統計推斷的兩種基本形式，這兩種推斷滲透到了數理統計的每個分支。6.2 總體與樣本 在數理統計中，稱研究問題所涉及對象的全體為總體，總體中的每個成員為個體。 例如: 研究某工廠生產的某

3、種產品的廢品率，則這種產品的全體就是總體，而每件產品都是一個個體。6.2.1 總體、個體與樣本 實際上，我們真正關心的并不一定是總體或個體本身，而真正關心的是總體或個體的某項數量指標。 如：某電子產品的使用壽命，某天的最高氣溫，加工出來的某零件的長度等數量指標。因此，有時也將總體理解為那些研究對象的某項數量指標的全體。 為評價某種產品質量的好壞，通常的做法是：從全部產品中隨機(任意)地抽取一些樣品進行觀測(檢測)，統計學上稱這些樣品為一個樣本。 同樣,我們也將樣本的數量指標稱為樣本。因此，今后當我們說到總體及樣本時，既指研究對象又指它們的某項數量指標。例1：研究某地區 N 個農戶的年收人。 在

4、這里，總體既指這 N 個農戶，又指我們所關心的 N個農戶的數量指標他們的年收入( N 個數字)。 如果從這 N 個農戶中隨機地抽出 n 個農戶作為調查對象，那么，這 n 個農戶以及他們的數量指標年收入( n個數字)就是樣本。 注意：上例中的總體是直觀的，看得見、摸得著的。但是，客觀情況并非總是這樣。例2：用一把尺子測量一件物體的長度。 假定 n 次測量值分別為X1,X2 ,Xn。顯然，在該問題中，我們把測量值X1,X2 ,Xn看成樣本。但總體是什么呢? 事實上，這里沒有一個現實存在的個體的集合可以作為上述問題的總體。可是，我們可以這樣考慮，既然 n 個測量值 X1,X2,Xn 是樣本，那么，總

5、體就應該理解為一切所有可能的測量值的全體。又如：為研究某種安眠藥的藥效，讓 n 個病人同時服用這種藥，記錄服藥者各自服藥后的睡眠時間比未服藥時增加睡眠的小時數 X1,X2,Xn，則這些數字就是樣本。 那么，什么是總體呢? 設想讓某個地區(或某國家，甚至全世界)所有患失眠癥的病人都服用此藥，則他們所增加睡眠的小時數之全體就是研究問題的總體。 對一個總體，如果用X表示其數量指標，那么，X的值對不同的個體就取不同的值。因此，如果我們隨機地抽取個體，則X的值也就隨著抽取個體的不同而不同。 所以，X是一個隨機變量! 既然總體是隨機變量X，自然就有其概率分布。我們把X的分布稱為總體分布。 總體的特性是由總

6、體分布來刻畫的。因此，常把總體和總體分布視為同義語。.6.2.2 總體分布例 3 (例 l 續)：在例 l中，若農戶年收入以萬元計，假定 N戶的收入X只取以下各值: 0.5, 0.8, l.0, 1.2和1.5。取上述值的戶數分別n1, n2, n3, n4和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。則X為離散型分布，分布律為:例4 ( 例2續 )：在例2中，假定物體真實長度為(未知)。一般說來，測量值X就是總體，取 附近值的概率要大一些，而離 越遠的值被取到的概率就越小。 如果測量過程沒有系統性誤差，則X取大于 和小于 的概率也會相等。 在這種情況下，人們往往認為X 服從均值為，方差為2

7、的正態分布。2反映了測量的精度。于是，總體X的分布為 N(,2)。 說明：這里有一個問題，即物體長度的測量值總是在其真值 的附近，它不可能取負值。 而正態分布取值在(-,)上。那么，怎么可以認為測量值X服從正態分布呢? 回答這個問題，有如下兩方面的理由。(1).在前面講過，對于XN(,2)， P-3X0，當樣本大小 n 增大時，上面的概率也隨之增大；n 趨于無窮時，上式趨近于 1。任給c 0，總有例1：用機器向瓶子里灌裝液體洗滌劑，規定每瓶裝 毫升。但實際灌裝量總有一定波動。假定灌裝量的方差 2=1，如果每箱裝這樣的洗滌劑 25 瓶。求這 25 瓶洗凈劑的平均灌裝量與標定值 相差不超過0.3毫

8、升的概率；又如果每箱裝50瓶時呢?解：記一箱中 25 瓶洗凈劑灌裝量為 X1,X2, X25 是來自均值為 , 方差為1的總體的隨機樣本。根據抽樣分布定理1，近似地有 當 n=50時，同樣可算出：6.4 正態總體6.4.1 2 分布它是由正態分布派生出來的一種分布。 定義1: 設 X1, X2, , Xn 相互獨立，且均服從正態分布 N(0, 1), 則稱隨機變量服從自由度為 n 的卡方分布，記成 。 分布的密度函數為由 分布的定義，不難得到其如下性質： 進一步，由中心極限定理可以推出, n 充分大時,近似于標準正態分布 N(0,1)。分布密度函數圖形n2 分布上 分位點有表可查，見附表4。對

9、于給定的 (0,1), 稱滿足條件的點 n2()為 n2分布的上(右) 分位點。分布分位點t 分布的概率密度為為服從自由度 n 的 t 分布，記為 T tn。6.4.2 t 分布 定義2: 設 X N(0, 1) , Y n2 , 且 X與Y 相互獨立，則稱隨機變量t 分布的概率密度圖形當 n 充分大時，f (x; n) 趨近于標準正態分布的概率密度。 數學期望與方差若 T tn , 對給定的 (0,1)，稱滿足條件t 分布的分位點的點 tn()為 tn 分布上 分位點。t 分布的上 分位點有表可查，見附表3。 tn 分布上 分位點示意圖6.4.3 F 分布 則稱 F =(X/m)/(Y/n)

10、服從第一自由度為m，第二自由度為n 的 F 分布。記成 F Fm ,n 。定義3：F 分布的概率密度為 若 FFm, n，對給定的 (0,1), 稱滿足條件F 分布的分位點的點 Fm,n()為F分布的上 分位點。.F 分布上 分位點有表可查，見附表5。 F 分布上 分位點示意圖 一個需要注意的問題:這個關系式的證明如下：證明：若 X Fm,n，則 Y = X -1 Fn,m。依分位點定義，上式等價于再根據 Y ( Fn,m ) 的上 分位點定義，有這就證明了(1)式。 在通常 F 分布表中，只對 比較小的值,如 = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位點。但有時我們也需要知道

11、 比較大的分位點，它們在 F 分布表中查不到。這時我們就可利用分位點的關系式(1)把它們計算出來。 例如：對m=12, n=9, =0.95, 我們在 F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知可從F 分布 表中查到 還有一個重要結果: 若X tn , 則X2 F1,n。 請同學們自己證明。定理 1：6.4.4 正態總體樣本均值與樣本方差的分布 定理的證明超出了教學范圍，在此，我們不作證明。 定理的內容在后面幾章的討論中將多次用到，希望大家牢記。例1：設某物體的實際重量為(未知),現在用一臺天平稱量它,共稱 n 次,得到X1,X2,Xn。假設每次稱量過程彼此獨立,且無系統誤差, 則可認為這些測量值獨立同分布, 均服從正態分布N(,2),方差2反映了天平及測量過程的總精度。我們通常用樣本均值根據定理1(基本定理),有再根據正態分布的性質(見p110,例4.2.6),知例如：當 = 0.1 時，也就是說：我們的估計值 與真值 的偏差不超過 的概率約為 99.74%, 并且隨稱量次數 n 的增加，偏差界限 將越來越小。若取 n