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1、第七章 微積分的數值計算方法Numerical Analysis17.3 高斯型求積公式問題: 是否有比等距節點的Newton-Cotes型求積公式 更高代數精度的求積公式? 最高能達到多大?度234為具有一般性，研究帶權積分求積公式為為不依賴于 的求積系數.(1)為求積節點，可適當選取使（1）具有 次代數精度.問題如果求積公式(1) 具有 次代數精度，則稱其節點 為高斯點，相應公式(1)稱為高斯求積公式. 定義5如何構造高斯求積公式？ 根據定義要使(1) 具有 次代數精度，只要對令(1)精確成立，可以由上式求出6試構造下列積分的高斯求積公式： 例令公式(1)對于 準確成立， 由于非線性方程組

2、，通常 就很難求解. 而從分析高斯點的特性來構造高斯求積公式. 7高斯點的基本特性盡管高斯點的確定原則上可以化為代數問題，但是由于所歸結的方程組是非線性的，而它的求解存在實質性的困難，所以我們要從研究高斯點的基本特性著手解決高斯公式的構造問題。8高斯點與正交多項式的零點9（2）10是高斯點，因此，如果因即有故(2)成立. 精確成立，則求積公式(1)對于 充分性. 用 除 ，記商為余式為即 , 其中 . 對于由(2)可得 證明必要性. 設則（3）11由于求積公式(1)是插值型的，它對于 是精確的，即 再注意到知從而由(3)有12 可見求積公式(1)對一切次數不超過 的多項式均精確成立. 因此，

3、為高斯點. 定理表明在 上帶權 的 次正交多項式的零點就是求積公式(1)的高斯點. 有了求積節點 ，再利用對 成立，解此方程則得 的線性方程.則得到一組關于求積系數13Gauss型求積公式的構造方法(1)求出區間a,b上權函數為 正交多項式pn+1(x) .(2)求出pn+1(x)的n個零點x0 , x1 , xn 即為Gauss點. (3)計算積分系數 。 14常見的正交多項式及高斯求積公式勒讓德多項式(Legendre)切比雪夫多項式(Chebyshev)拉蓋爾多項式(Laguerre)埃爾米特多項式 (Hermite )15高斯-勒讓德求積公式162. Legendre多項式的性質:1718令它對 準確成立，即可定出 這樣構造出的一點高斯-勒讓德求積公式是中矩形公式. 若取 的零點 作為節點構造求積公式 再取 的兩個零點 構造求積公式 19令它對 都準確成立，有 由此解出三點高斯-勒讓德公式的形式是 列出了高斯-勒讓德求積公式的節點和系數. 從而得到兩點高斯-勒讓德求積公式 2021高斯-切比雪夫求積公式222. Chebyshev多項式的性質:2324一般積分區間a,b的處理25高斯積分公式的數值穩定性26Gauss求積公式的余項：/* 設P為f 的過x0 xn的插值多項式 *

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