1、第十章 時間序列分析引導案例 如何預測蔬菜營業額的未來變動情況？某蔬菜公司為確定未來的發展計劃，需要建立一個系統，這個系統將會使該公司能夠至少提前一個季度預測出未來某個季度的蔬菜營業額。為建立這個系統，研究人員收了近3年12個季度的蔬菜營業額數據，如表10-1和圖10-1所示。 結合圖10-1來觀察表10-1中的數據，可以看出12個季度的蔬菜營業額是有波動的，有的季度營業額高一些，有的低一些。但這種波動又是具有某種規律性的。首先，12個季度的蔬菜營業額大體上是沿著向上的方向上下波動，表現出一種長期穩定的上升趨勢；其次，如果以一年為周期進行觀察的話，每一年里各個季度的蔬菜營業額又都在按照某種固定

2、的模式上下波動，即第一季度最低、第二季度開始上升、第三季度繼續上升、第四季度開始下降，顯然這與一年里的四季更替有關。研究人員已經意識到，在公司近3年12個季度的蔬菜營業額數據中，一定包含著蔬菜營業額未來變動的有用信息。關鍵是采用什么方法將其中的有用信息充分挖掘出來，用于預測蔬菜營業額的未來變動情況。本章將要介紹的時間序列分析方法可用于解決此類問題。第一節時間序列的構成第三節長期趨勢的測定第二節波動性的描述第四節季節波動的測定第一節第三節第二節第四節時間序列的構成長期趨勢的測定波動性的描述季節波動的測定一、長期趨勢時間序列是有波動性的，但這種波動不是雜亂無章的，長期趨勢是其波動過程中所表現出來的

3、一種規律性。時間序列中的各個觀測值，長期持續地沿著一定的方向上下波動，這種長期持續的波動方向，被稱為時間序列的長期趨勢。長期趨勢可以是直線趨勢，也可以是曲線趨勢。表10-1中12個季度蔬菜營業額的時間序列，明顯表現出一種向上的直線趨勢。一般來講，較短的時間序列，往往容易觀察到直線趨勢；時間序列一長，變動的方向總會發生變化，從而表現出曲線趨勢。本章所介紹的時間序列分析方法，主要是針對直線趨勢，圖10-2給出了幾種不同的直線趨勢。其中，水平趨勢有時又稱無趨勢。如果將水平趨勢也看作是一種長期趨勢的話，那么，一個給定的時間序列，總是要明顯或不明顯地表現出某種長期趨勢。二、季節波動季節波動是存在于時間序

4、列波動過程中的又一種常見的規律性。它指的是時間序列中的觀測值，隨著季節的變更而發生的周期性波動，通常以一年為一個波動周期，同一種動態一年重復一次。表10-1中的12個季度蔬菜營業額的時間序列，明顯帶有季節波動的特征。現實生活中的許多時間序列都具有季節波動特征，如農產品產量、旅游業產值、交通運輸業產值、建筑業產值等。顯然，一年之內的四季更替是造成時間序列季節波動的主要原因，但還需要對“季節”做廣義的理解。時間序列分析中的“季節”一詞，泛指以一年或小于一年為固定周期的一切周期性起作用的因素，如固定的作息制度、穩定的風俗習慣等。例如，交通流量可以以一天為周期進行“季節波動”，早晚上下班的擁擠時刻會出

5、現流量高峰，午休和傍晚時刻會出現中等流量，午夜到清晨則會出現小流量。三、循環波動循環波動也屬于周期波動，與季節波動的不同之處在于： 周期通常為一年以上； 各個周期的長短不同； 造成周期性的原因不明確。典型的季節波動，其產生的原因是很明確的，就是以一年為固定周期的季節更替。而造成循環波動的原因，則往往是無法明確界定的。在社會經濟領域中，典型的循環波動就是經濟周期，繁榮、衰退、蕭條和復蘇4個階段循環更替，每一次循環的周期都是一年以上，有的周期是幾年，甚至十幾年。因此，循環波動往往是比較難以識別的，不像季節波動那樣具有很強的周期性規律。識別循環波動往往需要很長的時間序列。四、無規則波動從時間序列的觀

6、測值中，去掉長期趨勢、季節波動和循環波動之后的剩余部分，稱作無規則波動。如果說長期趨勢、季節波動和循環波動是時間序列本身所固有的規律性，那么無規則波動則是沒有什么規律性可言的，它往往是由于短期的、不可預見的和不會重復出現的偶然性因素所造成的。五、平穩序列與非平穩序列綜上所述，時間序列中某一時間 上的觀測值 ，可以分解為4個構成部分：長期趨勢，記作 ；季節波動，記作 ；循環波動，記作 ；無規則波動，記作 。關于這四部分構成內容的結構方式，理論上存在兩種假設：（1）加法模型假設： 、 、 、 的內容之和形成了實際的觀測值 ，即 ；（2）乘法模型假設： 、 、 、 的內容之積形成了實際的觀測值 ，即

7、 。至于這兩種理論假設哪一種更符合真實情況，還有待于進一步研究和探討。本章所介紹的時間序列分析方法遵循乘法模型假設。一個給定的時間序列，如果沒有長期趨勢（水平趨勢）且只包含無規則波動 ，則被稱為平穩序列；如果包含無規則波動 且包含長期趨勢 或季節波動 或循環波動 ，則被稱為非平穩序列。非平穩序列具體包括7種可能的情形： ； ； ； ； ； ； 。表10-1中12個季度蔬菜營業額的時間序列，基本上屬于非平穩序列中的第種類型，即 。實踐中同時包含全部四項內容的時間序列是比較少見的。第一節第三節第二節第四節時間序列的構成長期趨勢的測定波動性的描述季節波動的測定一、逐期增減量與累積增減量時間序列最明顯

8、的特征就是其中的各個觀測值具有波動性，這是在時間序列分析中必須首先認識和把握的內容。可以采用不同的尺度來衡量觀測值從一個時間到另一個時間波動幅度的大小。增減量是衡量波動幅度大小的最基本、最常用的尺度，由于在計算增減量時所采用的比較基期不同，又分為逐期增減量和累積增減量。時間序列分析中，通常將關心的那個期間稱為報告期，將用于與報告期進行比較的那個期間稱為基期。逐期增減量是報告期觀測值 與報告期前一期觀測值 之差，反映了觀測值逐期波動幅度的大小，即 （10-1）累積增減量是報告期觀測值 與固定基期觀測值之差，反映了觀測值在給定時期內累積波動幅度的大小。固定基期通常取時間序列中最初的那個時期，故累積

9、增減量為 （10-2）由同一個時間序列計算得出的累積增減量與逐期增減量之間存在著固定的關系，即累積增減量等于對應的各個逐期增減量之和： （10-3）由表10-1的蔬菜營業額的時間序列計算增減量，其結果如表10-2中第3行和第4行所示。二、環比發展速度與定基發展速度環比發展速度是報告期預測值 與報告期前一期觀測值 之比，反映了觀測值逐期波動速度的快慢，即 （10-4）定基發展速度是報告期觀測值 與固定基期觀測值之比，反映了觀測值在給定時期內波動速度的快慢。固定基期通常取時間序列中最初的那個時期，即 （10-5）由同一時間序列計算得出的環比發展速度與定基發展速度之間存在著固定的關系，即定基發展速度

10、等于對應的各個環比發展速度的連乘積： （10-6）由表10-1的蔬菜營業額的時間序列計算發展速度，其結果如表10-2中的第5行和第6行所示。由表10-2中的計算結果可以看出，時間序列中各個觀測值的波動性，反映在速度上，就是各個時期環比發展速度快慢不一。實踐中，為了說明現象在一個較長的時間里逐期發展的一般速度，通常需要利用各個環比發展速度計算平均發展速度，其計算公式為： （10-7）三、環比增減速度與定基增減速度環比增減速度是報告期逐期增減量 與報告期前一期觀測值 之比，反映了觀測值逐期增減程度的高低，即 （10-8）特別地，環比增減速度等于環比發展速度減1，即 （10-9）定基增減速度是報告期

11、累積增減量 與 固定基期觀測值 之比，反映了觀測值在給定時期內增減程度的高低，即 （10-10）特別地，定基增減速度等于定基發展速度減1，即 （10-11）此外，平均增減速度等于平均發展速度減1，即 （10-12）由表10-1的蔬菜營業額的時間序列計算增減速度，其結果如表10-2中的第7行和第8行所示。第一節第三節第二節第四節時間序列的構成長期趨勢的測定波動性的描述季節波動的測定一、平均移動法時間序列中的各個觀測值 由長期趨勢 、季節波動 、循環波動 、無規則波動 四個部分構成，如果能從中將季節波動 、循環波動 和無規則波動 剔除，那么剩余的部分就是希望測定的長期趨勢。長期趨勢測定出來，即可用

12、于對現象未來方向的預測。難易程度不同、適用對象不同的測定方法有很多，移動平均法是其中一種較為常用而簡便的方法。移動平均法是將相鄰的k個觀測值逐項移動進行算術平均，從而得出一個派生的序時的平均數序列，以這個序時平均數序列來代表原時間序列的長期趨勢，可用公式表述為： （10-13）其中，移動平均項k須根據原時間序列的特點事先給定，如 或 等。由表10-1的蔬菜營業額的時間序列進行5項移動平均，測定長期趨勢的計算結果如表10-3和圖10-3所示。移動平均法的基本思想是利用平均數的作用，消除原序列中的無規則波動，從而保留原序列中的長期趨勢，此法最適用于無明顯周期性的時間序列。移動平均法中的移動平均項數

13、k的確定是一個關鍵問題，對于一個給定的時間序列，不同的移動平均項數會產生不同的序時平均數序列，其測定效果也是會有所不同的。如何找到一個測定效果最好的移動平均項數在理論上還沒有統一的標準。在實踐中，通常要注意把握這樣幾個原則： 盡量選擇奇數項，如 或 。選擇奇數項后所派生的序時平均數序列，可以剛好與原時間序列的時間取得一致，這會為將來的進一步分析和計算提供不少方便； 如果原時間序列存在著明顯的周期性，則應以周期的長短作為移動平均的項數，這樣做的目的是利用平均數的作用在消除不規則波動的同時，也能消除周期性波動。如表10-3所示，在進行5項移動平均時，并沒有考慮原序列中的季節周期性。因此，從圖10-

14、3中可以明顯地看出，派生的序時平均數序列并沒能完全消除原時間序列中的季節波動，趨勢線仍帶有周期性痕跡。正確做法應該是根據周期的長短進行4項移動平均，如表10-4和圖10-4所示。由于偶數項移動平均后的結果不能與原序列的時間取得一致，因此需要進行調整，再做一次2項移動平均，如表1-4所示。由圖10-4中可以明顯地看出，與5項移動平均的測定效果相比較，4項移動平均已經基本消除了原序列中的季節性周期，因而更真實地反映了原序列中的長期趨勢。二、最小平方法移動平均法最大的優點是測定結果與原序列的關聯緊密，具備較強的客觀性，不僅適用于直線趨勢測定，也適用于曲線趨勢的測定。但它也有一個明顯的缺陷，即無法得出

15、序列兩端的趨勢值，因而不便于外推預測。這在一定程度上損失了原序列中的部分信息，而且移動平均項數越大，信息損失越多。當原序列表現出非常明顯的長期趨勢時，可采用最小平方法，直接給出趨勢線方程。利用趨勢線方程進行外推預測是比較方便的。趨勢線可以是直線，也可以是曲線，直線方程的一般形式為： （10-14）式中，以時間t為自變量，以觀測變量 為因變量；a代表趨勢直線的截距；b代表趨勢直線的斜率。a和b的求解方程為： （10-15）將時間變量t和觀測變量 的觀測值代入方程組，解得a和b，即可確定趨勢直線方程。就表10-1的蔬菜營業額的時間序列，利用最小平方法所測定的趨勢直線如圖10-5所示，其方程為： （

16、10-16）如果需要第四年第一季度的蔬菜營業額的趨勢值，則有 （萬元）第一節第三節第二節第四節時間序列的構成長期趨勢的測定波動性的描述季節波動的測定一、同季平均法長期趨勢的測定結果只能用來預測時間序列和未來變動的趨勢值，如果原序列具有明顯的季節波動，則應將季節波動的規律性測定出來，再結合長期趨勢，更為有效地展開預測。同季平均法是測定季節波動的一種簡便方法，適用于水平趨勢且不包含循環波動的時間序列，其基本步驟為：（1）編制足夠長的時間序列。時間序列越長，所測定出來的季節波動模型就越具有代表性，其實用性就越強。一般至少應包含3個周期的觀測值。（2）觀察時間序列的波動特征。要注意區分長期趨勢的類型、

17、有無明顯的季度波動、有無循環波動等特征。例如，某蛋禽加工廠12個季度的產值時間序列如表10-5和圖10-6所示。這是一個具有水平趨勢的時間序列，無明顯循環波動，季節波動明顯，包含3個周期的觀測值，適合采用同季平均法來測定季節波動。（3）計算同季平均數。計算同季平均數的目的是消除原序列中的無規則波動。由表10-5計算同季平均數，其計算結果如表10-6中的第6行所示。（4）計算序列平均數。計算序列平均數的目的是測定水平趨勢，這也能為衡量各個同季平均數的大小提供一個標準。由表10-5計算序列平均數，其結果為17.7，如表10-6所示。（5）計算季節比率。分別將各個同季平均數與序列平均數相比，所得比值

18、稱為季節比率。季節比率已將水平趨勢從同季平均數中剔除，其結果反映著序列的季度波動的規律性。由表10-5計算季節比率，其結果如表10-6中的第7行所示。（6）繪制季節波動模型，如圖10-7所示。如果需要預測第4年第一季度和第三季度的蔬菜營業額，則有： （萬元） （萬元）二、趨勢剔除法如果時間序列具有明顯的向上或向下趨勢且不包含循環波動，可采取趨勢剔除法來測定季節波動。其基本步驟為：（1）編制足夠長的時間序列。時間序列越長，所測定出來的季節波動模型就越具有代表性，其實用性就越強。一般至少應包含3個周期的觀測值。（2）觀察時間序列的波動特征。要注意區分長期趨勢的類型、有無明顯的向上直線趨勢，有無明顯循環波動等特征。表10-1中12個季節蔬菜營業額的時間序列，具有明顯的向上直線趨勢，無明顯循環趨勢波動，季節波動明顯，包含3個周期的觀測值，適合采用趨勢剔除法來測定季節波動。（3）測定原序列的長期趨勢。測定長期趨勢的目的是要從原序列中剔