1、- -三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用bIr1.o是ABC的重心oOA+OB+OC，0S,s,s,s若O是ABC的重心，則BOCAOCAOB3ABC故OA+OB+OC，0PG，L(PA+PB+PC)oG為ABC的重心.2.O是AABC的垂心oOAOB，OBOC，OCOASAOC若O是ABC（非直角二角形）的垂心，則SBOC卜SAOCS，tanA:tanB:tanCAOB故tanAOA+tanBOB+tanCOC，03.O是ABC的外心oIOA1=1OB1=1OCI(或OA2,OB2，OC2）若O是ABC的外心則SBOC：S/：saob,siSOCsiMOCsiAOB,sinM:sin2B:

2、“血故sin2AOA+sin2BOB+sin2COC，0ABACBA_垃CACB“4.O是內(nèi)心ABC的充要條件是IABIAC，IBAIIBCI_ICAIICBIF丄fh引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記ABCCA的單位向量為ei，e2，e3，則剛才O是OA-（e+e），OB-（e+e），OC-（e+e），023，O是AABC內(nèi)心的充要條件可以寫成1312- -是ABC的內(nèi)心，則ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA+bOB+cOC，0。若S:S:S，a:b:cBOCAOCAOBi1，審i，F(xiàn)，審i故aOA+bOB+cOC，0或sinAOA+sinBOB+sinCOC，0IABIPC+IBCIP

3、A+ICAIPB，0oP是ABC的內(nèi)心;向量+_AC）（九豐0）所在直線過ABC的內(nèi)心（是BAC的角平IABIIACI分線所在直線）；滿足（一）將平面向量與二角形內(nèi)心結(jié)合考查ABAC），入w【0,+）則P點的軌跡一定通過ABC的（）例1.I是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點Pop，oA+x（+IAB網(wǎng)（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因為售是向量AB的單位向量設(shè)AB與AC方向上的單位向量分別為e和e12OP-OAAP,則原式可化為AP=入（e,e）,由菱形的基本性質(zhì)知AP平分BAC,那么在12ABC中，AP平分BAC，則知選B.（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合

4、考查“垂心定理”例2.只是厶ABC所在平面內(nèi)任一點，HA-HBHB-HC=HC-HAo點只是厶ABC的垂心.*由HA-HBHB-HCoHB-（HC-HA）=0oHB-AC=0oHB丄AC,同理HC丄AB,HA丄BC故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（證略）例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一點，若PA-pBPBPCPC-PA,則P是厶ABC的（D）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析：由PAPBpBPC得PAPBpBPC0.即pB（PAPC）0,即pBcA0則PB丄CA,同理PA丄BC,PC丄AB所以P為ABC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4.6是厶ABC所

5、在平面內(nèi)一點，GA+GB+GC=0o點6是厶ABC的重心.證明作圖如右，圖中GB+GCGE連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE二GC。BGCE為平行四邊形二D是BC的中點，AD為BC邊上的中線.將GB+GCGE代入GA+GB+GC=0，得GA+EG=0nGAGE=2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（證略）例5.P是厶ABC所在平面內(nèi)任一點.G是AABC的重心opg=3（pa+pB+pc）.TOC o 1-5 h z、_p-i_jjhI1HIiI1Hi卜*liJL證明PGPA+AGPB+BG=PC+CGn3PG=（AG+BG+CG）+（PA+PB+PC）TG是AABC的重心二GA+GB+GC

6、=0nAG+BG+CG=0，即3PGPA+PB+PC由此可得PGi（PA+PB+PC）（反之亦然（證略）例6若O為ABC內(nèi)一點，OA,OB,OC=0，則O是ABC的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心TTT呻解析：由OA,OB,OC0得OB,OC=OA，如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則T4IOBOC=OD,由平行四邊形性質(zhì)知OE=2OD,OA=2OE,同理可證其它兩邊上的這個性質(zhì)，所以是重心，選D。（四）將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若O為tABC內(nèi)一點，OA=OBOC,FO是AABC的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定義知O到AABC的三頂點距離相等。故O

7、是AABC的外心，選B。（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8已知向量op，op，op滿足條件op+op+op=0，Iop1=1op1=1opI=1，TOC o 1-5 h z123123123求證APPP是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）123證明由已知OP+OP=-OP，兩邊平方得OPOP=-，1231221同理OPOP=OPOP=-一，23312：IpPI=IpPI=IppI二方，從而APpp是正三角形.122331123反之，若點。是正三角形AP1P2P3的中心，則顯然有OP1+OP；+OP；=0且1O訃1OP；1op3L即0是4ABC所在平面內(nèi)一點，op+op

8、+op=0且IopI=IopI=IopI點0是正APPP的中心.123123123例9.在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點共線，且QG：GH=1：2。【證明】：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A（0,0）、B（x,0）、C（x,y）,D、E、F分別為AB、BC、AC的中點，則有:122TOC o 1-5 h zxxxyxy1,0）、E（一亠d）、F（22廠,*)AH=(x2y4)，F(xiàn)=(BC=(x一x,y)212AH丄BC（xxG（2.AHBC=x(x一x)yy=022124x(x一x)QF4丄AC221xxyQFAC=

9、x(-才)y耳-y)=0222223x(x一x)y32y2!,2.QH=(x-L,y-y)=(2x2一x1,-3x2(x2-x1)2243,QG=-L厶-y)=(2x2一Xi厶X2(X2一Xi)-乙)TOC o 1-5 h z3233丿323x(x-x)y12/2x-x3x(x-x)y、1,2x-x=(2,2212)=(2,63=3QH即QH=3QG,故Q、G、H三點共線，且QG：GH=1：2例E若0、H分別是ABC的外心和垂心.求證OH=OAOBOC-證明若厶ABC的垂心為H,外心為0,如圖.連BO并延長交外接圓于D，連結(jié)AD,CD.二AD丄AB，CD丄BC又垂心為H，ah丄BC，CH丄AB

10、，.AHCD,CHAD,四邊形AHCD為平行四邊形，*LL.kr*hAH=DC=DOOC，故OH=OAAH=OAOBOC著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置關(guān)系：三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”；三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。求證og=3而“歐拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題例11.設(shè)0、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心.證明按重心定理G是厶ABC的重心OG=3(oAoBOC)按垂心定理OH=oAoBoC由此可得og=1oh-3一、“重心”的向量風(fēng)采【命

11、題1】G是AABC所在平面上的一點，若GAGBGC=0,則G是AABC的重心.如圖(1).A【命題2】已知O是平面上一定點，AB,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+入(ABAC),入w(0+8),則P的軌跡一定通過AABC的重心.【解析】/IBIA+AB,ICIA+AC,則由題意得(a+b+c)IA+bAB+cAC=0,- #- -【解析】由題意AP=(AB,AC),當(dāng)e(0,+)時，由于(AB,AC)表示BC邊上的中線所在直線的向量，所以動點P的軌跡一定通過AABC的重心，如圖.二、“垂心”的向量風(fēng)采T命題3】解析】P是AABC所在平面上一點，若PAPB=PBPC=PCPA，則

12、P是AABC的垂心.PC丄AB，PA丄BC.二P是ABC的垂心.如圖.命題4】已知O是平面上一定點，AB,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA,ABACABcosBACcosC丿，e(0,+)，則動點P的軌跡一定通過AABC的垂心.T解析】由題意AP=ABcosBAC，由于ABACBC=0，ACcosC丿ABcosBACcosC丿由PAPB=PBPC，得PB.(PA-PC)二0，即PBCA=0，所以PB丄CA.同理可證【解析】/IBIA+AB,ICIA+AC,則由題意得(a+b+c)IA+bAB+cAC=0,- #- #-【解析】/IBIA+AB,ICIA+AC,則由題意得(a+b+

13、c)IA+bAB+cAC=0,- - #-ABBC,ACBCABcosBJAC二BC-CB帀所以AP表示垂直于BC的向量，即P點在過點A且cosJ垂直于BC的直線上，所以動點P的軌跡一定通過AABC的垂心，如圖.三、“內(nèi)心向量風(fēng)采TaIA,bIB,cIC二0，則I是ABC的內(nèi)心.圖【命題-5】已知I為ABC所在平面上的一點，且AB二？，AC二b，BC二a.若bAB+cACAC-AB+AB-AC=ACTtTTt9AIa+b+cABACTTB與占C分別為aB和AC方向上的單位向量,AB|ACAiC平分線共線，即A1平分出C同理可證：BI平分ZABC，CT平分ZACB.從而I是AABC的內(nèi)心，如圖.

14、【命題6】已知O是平面上一定點，ABC是平面上不共線的三個點，動點P滿足OPOA+入,、ABAC+IabIAC,九(0,+s)，則動點P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心.【解析】由題意得Ap=入ABACiABi+AC,.當(dāng)九(0,+)時，AP表示ABAC的平分線所在直線方向的向量，故動點P的軌跡一定通過AABC的內(nèi)心，如圖.TT一T四、“外心”的向量風(fēng)采【命題7】已知O是AABC所在平面上一點，若OA2OB2=OC2，則O是AABC的外心.【解析】若OA2OB2OC2，則OA2OB2=OC2，/.OA=OB=OC，則O是AABC的夕卜心，女口圖。【命題7】占知O是平邑上的-咅點二B,_C是平面上不共

15、線的三個點，動點P滿足,、ABAC+ABcosBACcosC丿,九(0,+),則動點P的軌跡一定通過AABC的外心。- - #-【解析】由于OBOC2過BC的中點,當(dāng)入,（0,+x）時,ABAC+ABcosBACcosC表示垂直于TOC o 1-5 h zBC的向量（注意：理由見二、4條解釋。，所以P在BC垂直平分線上，動點*的軌跡一定通過ABC的外心，如圖。TT補充練習(xí)已知A、B、C是平面上不共線的三點，0是三角形ABC的重心，動點P滿足OP二1（-OA+-OB+2OC）,則點P定為三角形ABC的（B）322A.AB邊中線的中點B.AB邊中線的三等分點（非重心）C.重心D.AB邊的中點b1I

16、I1B取AB邊的中點M,則OA+OB二2OM，由OP二（OA+OB+2OC）可得rhh3223OP=3OM+2MC，二Mp=2MC，即點P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點，且點P不過重心，故選B.3在同一個平面上有ABC及一點0滿足關(guān)系式：OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2，則0為ABC的(D)A外心B內(nèi)心C重心D垂心+12.已知ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足：PA+PB+PC=0,貝寸P為ABC的(C)A外心B內(nèi)心C重心D垂心已知0是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點動/點P滿足：TOC o 1-5 h zOP=OA+入（AB+AC），則P的軌跡一

17、定通過ABC的（C）A外心B內(nèi)心C重心D垂心已知AABC,P為三角形所在平面上的動點，且動點P滿足：PAPC+PAPB+PBPC=0，則P點為三角形的（D）A外心B內(nèi)心C重心D垂心已知AABC,P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：a-PA+b-PB+cPC=0，則P點t1為三角形的T+(B)A外心B內(nèi)心C重心D垂心6.在三角形ABC中，動點P滿足：CA2=CB2-2ABCP,則F點軌跡一定通ABC的:(B)A外心B內(nèi)心C重心D垂心- - #-7.已知非零向量A!與就滿足（+|aB|AE|A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形解析：非零向量與滿足(竺*竺)=0,IABIIACI即角A的平分線

18、垂直于BC,.：AB二AC,又aSACAfiaC1小人“/、）BC=0且二石,則厶ABC為（）|CAB|ACC|2C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形- #- #- - #-cosA=竺IABIIACIAC=1=2，哥,所以ABC為等邊三角形，選D.T8.ABC的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點為H,OH=m（OAOBOC）,則實數(shù)m=1t+9點0是助80所在平面內(nèi)的一點，滿足OA，OB=OB，OC=OC，OA,則點0是ABC的（B）（A）三個內(nèi)角的角平分線的交點（B）三條邊的垂直平分線的交點（C）三條中線的交點（D）三條高的交點10.如圖1,已知點G是ABC的重心，過G作直線與AB,AC兩

19、邊分別交于M,N兩點，且AM=xAB,AN二yAC,則1-=3。xy證點G是ABC的重心，知GAGBGC=0,EAGTAB-AG)(AC-AG)二0,有AG=3(ABAC)。又M,N,G三點共線(A不在直線MN上）,TOC o 1-5 h z于是存在九，卩，使得AG二九AM+yAN(九卩二1),I*IL_LL有AG二九xAB卩yAC=1(ABAC),卩+y=11L得和1，于是得1+1=3。0，則厶ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是A、B、C、D、4、5、例1、已知AABC中，有(、1-1-AB+竺BC=0和ABa，竺竺=1，試判斷ABC的形狀。ABAC練習(xí)1、已知AABC中，AB=a，BC=b，B是厶ABC中的最大角，若ab0,試判斷ABC的形狀。運用向量等式實數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題例2、已知是4ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足OA2，PC2=OB2，AC2=OC2，AB2，則O是AABC的A、重心B、垂心C、外心運用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題D、內(nèi)心例3、已知卩是厶ABC所在平面內(nèi)的一動點，且點P滿足OP=OA+X+，九g(0,+J,問網(wǎng)則動點P定過AABC的A、重心