1、精品文檔用心整理數(shù)列求和與綜合應(yīng)用【考綱要求】.熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式；.掌握數(shù)列的通項(xiàng) an與前n項(xiàng)和$之間的關(guān)系式.注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析通項(xiàng)的基礎(chǔ)上分解為基本數(shù)列求和或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和，熟 練掌握求數(shù)列的前 n項(xiàng)和的幾種常用方法；.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用， 如增長(zhǎng)率、銀行信貸、濃度匹配、養(yǎng)老保險(xiǎn)、圓鋼堆壘等問(wèn)題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題

2、設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度.與計(jì)算有關(guān)的問(wèn)題主要有：求數(shù)列的某項(xiàng)，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，求有窮數(shù)列或無(wú)窮數(shù)列之和，計(jì)算數(shù)列的極限，將數(shù)列與方程，與不等式，與某些幾何問(wèn)題等聯(lián)系起來(lái)，從而解決有關(guān)問(wèn)題有關(guān)定性問(wèn)題的論證問(wèn)題主要有：考察或論證數(shù)列的單調(diào)性， 將數(shù)列分類定性，考察數(shù)列的圖像特征，考察數(shù)列的極限存在與否等等 .有關(guān)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題： 某些與非零自然數(shù)有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，可用數(shù)列的各項(xiàng)與之對(duì)應(yīng)，然后利用數(shù)列 有關(guān)知識(shí)解答此類應(yīng)用題.數(shù)列的函數(shù)屬性： 因數(shù)列是函數(shù)的特例，故解答有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常與函數(shù)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)考慮【典型例題】類型一：數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用

3、例1.對(duì)于數(shù)列an,規(guī)定數(shù)列Aan為數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列，其中 Aan =an由an (nW N*)；般地，規(guī)定4、口為an的k階差分?jǐn)?shù)列，其中 A、n = Ak/an由Akan且kC N* , k2o資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理5 2 13(1)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an= n n (n w N*)。試證明Aan是等差數(shù)列;22(2)若數(shù)列an的首項(xiàng) ai=-13,且滿足 Van Aan4+an = 22n平(neN*),求數(shù)列考2n 1an及an的通項(xiàng)公式;(3)在(2)的條件下，判斷an是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，說(shuō)明理由。解析：(1)依題意：Aa

4、n=an+an,52 135 2 13：an = (n 1)2 (n 1) - n2 - n =5n -4 TOC o 1-5 h z 2222Aan - Aan =5( n +1) -4 -(5n -4) = 5 ,，數(shù)列3n是首項(xiàng)為1,公差為5的等差數(shù)列。(2) 黑牛=2n, an =22n 17 2n%(n *,nw N*) 22人217(3)令 f (x) =x -x ,217.則當(dāng)x = (g,一)時(shí)，函數(shù)f(x)單倜遞減;4當(dāng)xW(一，十整)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；4又因 an =22n 17 ,2n=(2n)2 17 -2n ,2由 2 173 17叫2 一小2 丁所以當(dāng)n=2

5、時(shí)，數(shù)列an存在最小值，其最小值為一18。3【變式1】已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1 = 35舉一反三:an+=3, n = 1,2,|.2an 1(I)求an的通項(xiàng)公式;一一 ，,. 一112一，(n)證明：對(duì)任意的 x0, an -(-x) , n=1,2,；n 1 x (1 x)2 3n2(m)證明：a1 +a2 +III +an -n.n 1解析:(I)一 3an* an + = 7T 2an 1121二一十, an 133a n1an 1-1 =-(- -1),3 an資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理1又,一1an-1是以2為首項(xiàng),3an1 ，一，一1為公比的等比數(shù)歹U.31-

6、13nan3K33nan = n二32(n)設(shè) f (x)1 x (1 x)2 31(Jr-x),則 f (x)1-(1 x)2 一4一x) 2(1 x)3-x)2(1 x)22(1x)22(1x)212 = an -1 3na aan1 x (1 x)2 3(2-x)1 x (1 x)2 322(2-x) III1 x (1 x)22n-x)1 x (1 x)222 .2相+川+了一僅.22 HL 2-令 3+京+川+7一一=01 2 2 , , 2則 x(_ - I -)=n 3 323n21-(1)33nn(1-1)33n2 .一 .一,2 ,一 . 一*x0,.當(dāng) x-n時(shí)，(*)0；

7、當(dāng)*)時(shí)，f(x)0,33,2 .一一 2、，當(dāng)x =時(shí)，f (x)取得最大值f ()= 3n3n二原不等式成立.(m)由(n)知，對(duì)任意的 a1a2111a3n【變式2】已知數(shù)列an和bn滿足:&312(一-21)1 1-(1 n二原不等式成立.【函數(shù)的極值和最值388566典型例題三其中九為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).(I)對(duì)任意實(shí)數(shù) 九，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列;資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理(n)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論;解析:(I )假設(shè)存在實(shí)數(shù) 九，使得數(shù)列an是等比數(shù)列，則、八4-2al ,a2 , a3 必然滿足 a2 = ai，a3 -4,2_由a?

8、 = a1 a3得9=0,顯然矛盾,即不存在實(shí)數(shù) 九使得數(shù)列an是等比數(shù)列。(n)根據(jù)等比數(shù)列的定義：bn i(-1)n1an3(n 1) 21bn -(-1)n 2-3n 21-2an n-4-3(n 1) 21= _34 -3n 21一|a -2n 14一 3n 21 TOC o 1-5 h z 2 a - 3n 212=-=-3 an-3n 2132即 4 1 = -gbn又b = - d -3 21 = -(18)所以當(dāng)1 = -18時(shí)，數(shù)列bn不是等比數(shù)列；當(dāng) 九# 18時(shí)，數(shù)列bn是等比數(shù)列類型二：數(shù)列與不等式例2.設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，$是其前n項(xiàng)和，證明：10g0.5S

9、n *log0.5 %a log05sn書(shū).2.解析：(1)當(dāng) q=1 時(shí)，S=na1,從而 Sn Sn七 一 S：士=na ( n + 2) a1 一(n +1)2 a； = -a2 0 ,當(dāng)qw1時(shí)，Sn =a1(1 F),從而1 -q二 0.a：2(1-qn)(1-qn 2)-a12(1-qn )2Sn Sn 2 -S2 1 =2 = -afqn(1 -q)2由(1) (2)得：Sn Sn 七 ，、 、-uu i222【變式 1】數(shù)列 Xn滿足：Xl=0, Xn + 1= Xn + Xn+C(n C N)(I)證明：數(shù)列 Xn是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是CX2 = X； + Xi +

10、CU CX12 = 0 TOC o 1-5 h z 得：數(shù)列 Xn是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是CV0(II) (i)假設(shè) Xn是遞增數(shù)列，由 X1 = 0,得 x2=c, x3 = c2+2c。由 x1V x2vx3,得 0V c1都有Xn父JC注意到 Jc -Xn V =X2 +Xn -C + 匯=(1 - MC -Xn)(C - Xn)由式和式可得1 一 JC -Xn A0即Xn 1 0還可得，對(duì)任意n 1都有JC-xn書(shū)W (1 - JC)(Jc-Xn).反復(fù)運(yùn)用式，得C - Xn 三(1 - C)n ( . C -X1) : (1 - C)n /.Xn 1 -Vc和 & -Xn (1

11、 _ VC)n兩式相力口，知2& -1 (1 _ VC)n對(duì)任意nJ成立.根據(jù)指數(shù)函數(shù)y =(1 - 6、的性質(zhì)，得2-. C-1M0, cm1,故0c-. TOC o 1-5 h z 4412(ii)若0 C 0. 4即證Xn 7c對(duì)任意n*成立。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0cW時(shí)，xn,C對(duì)任息n聲成立.41(1)當(dāng)n= 1時(shí)，Xi = 0v Jc M ,結(jié)論成立.21 r(2)假設(shè)當(dāng)n = k(kCN )時(shí)結(jié)論成立，即： 4 C ,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+x+c在區(qū)間(5內(nèi)單調(diào)遞 增，所以Xk+i = f(Xk)v f(dc)=VC,這就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.故xn Xn ,即X n

12、是遞增數(shù)列.1,由(i)(ii)知，使得數(shù)列Xn單調(diào)遞增的c的范圍是(0,一.4資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理【變式2】設(shè)數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1 = a , an = Sn+3n , n w N .(i)設(shè)bn =Sn -3n ,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式； *(口)右an+ an，n n n，求a的取值范圍.角軍析：(I)依題意，Sn 邛一Sn =an4 =Sn +3n，即 Sn 平=2Sn +3n , 由此得 Sn+-3n+ =2(Sn -3n).因此，所求通項(xiàng)公式為 bn =Sn 3n =(a3)2n,，nW N* .(n)由知 Sn =3n +(a -3)2nJ

13、L, nw N*,于是，當(dāng)n22時(shí),an =Sn-Sn=3n(a-3)2n-3n,-(a -3)2n工=23n,(a-3)2nan書(shū)-an =4M3nJL+(a 3)2n/ =2nL2x(1)n +a-3, 當(dāng) n22 時(shí)，an 書(shū) anu L2x(3)n +a-3 0 a -9 .2又 a2 = a + 3 a a1.綜上，所求的a的取值范圍是-9,+g ).類型三：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例3.某地區(qū)現(xiàn)有耕地L0000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加 22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10% ,如果人口年增長(zhǎng)率為1% ,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃？(精確到L公頃)(糧食總產(chǎn)量耕地面積人均糧

14、食占有量總產(chǎn)量總?cè)丝跀?shù)解析：方法一：由題意，設(shè)現(xiàn)在總?cè)丝跒?A人，人均糧食占有量為 b噸，現(xiàn)在耕地共有L04公頃，于Ab .是現(xiàn)在的糧食單廠量 一b噸/公頃，10年后總?cè)丝跒锳(L + 0.0L),人均糧食占有量b(L+0.L)噸，若設(shè)平L04均每年允許減少x公頃，則10年耕地共有(L04-L0 x)公頃，于是10年后糧食單產(chǎn)量為10A(L 0.0L) b(L 0.L)-4噸/公頃.L0 -L0 x由糧食單產(chǎn)10年后比現(xiàn)在增加22%得不等式：10A(L O.O? b(L。三絲(L 0.22)L0 -L0 xL0資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用化簡(jiǎn)可得 104(1 0.01)10 (1 0.1)

15、1.22(104 -10 x)門(mén)口 104 1.22 -104(1 0.01)10(1 0.1) 即 x W-,精品文檔用心整理10 1.22x 0,即 6n9.【變式2】某地區(qū)原有森林木材存量為 a ,且每年增長(zhǎng)率為25% ,因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b ,設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量（1）寫(xiě)出an的表達(dá)式. .7 ,一 19（2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量應(yīng)不少于a ,如果b =a ,那 TOC o 1-5 h z 972么今后該地區(qū)會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，要經(jīng)過(guò)幾年？（取 lg2=0.30）.解析：（1）依題意，第一年森林木材存量為a,1年后

16、該地區(qū)森林木材存量為：a1 = a - b ,455 252年后該地區(qū)森林木材存重為：a2= a1b = （一） a-（一十1）b,44455o5c53年后該地區(qū)森林木材存重為：a3 = a2-b =（一/a -（一）+1b, HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 44444年后該地區(qū)森林木材存量為：a4 =5a3-b = （-）4a-（5）3 + （-）2+-+1b,44444資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark67 o Current Document 5n 5 n

17、 15 n 25n年后該地區(qū)森林木材存量為：an=() a -(-) 一+() 一 +. +1b HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 444419 7(2)若b = a時(shí)，依題意該地區(qū)今后會(huì)發(fā)水土流失，則森林木材存量必須小于一a ,729即(5)na 4(5)n 1M19a 5,即 n 1g - lg5 , 44. Ig5 1-ig2 1 - n = 7 ，1g5 -21g 2 1 -31g 2n =8.答：經(jīng)過(guò)8年該地區(qū)就開(kāi)始水土流失.【變式3】某種汽車購(gòu)買時(shí)的費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合計(jì)9千元，汽車的維修費(fèi)平均為第一年

18、2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數(shù)列遞增，問(wèn)這種汽車使用多少 年后報(bào)廢最合算？(即年平均費(fèi)用最少)【答案】 設(shè)汽車使用年限為n年，f(n)為使用該汽車平均費(fèi)用1 I,f n )= 10 0.9n (0.2 0.40.2n) 1n1 _1 2 =310 nr n 10當(dāng)且僅當(dāng),即n=10 (年)時(shí)等到號(hào)成立.10 n因此該汽車使用10年報(bào)廢最合算.【變式4】某市2010年底有住房面積1200萬(wàn)平方米，計(jì)劃從 2011年起，每年拆除20萬(wàn)平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.(1)分別求2011年底和2012年底的住房面積；(2)求2030年底的住房面積.(計(jì)算結(jié)果以萬(wàn)平方米為單位，且精確到0.01)【答案】2011年底的住房面積為 1200(1+5%)20=1240 (萬(wàn)平方米)，2012年底的住房面積為1200(1+5%)220(1+5%)20=1282 (萬(wàn)平方米)，2011年底的住房面積為1240萬(wàn)平方米；2012年底的住房面積為1282萬(wàn)平方米.2011年底的住房面積為1200(1+5%) 20萬(wàn)平方米，2012年底的住房面積為1