1、2.3.1 平面向量基本定理南京市金陵中學虞玲玲教學目標：1了解平面向量基本定理及其意義；2理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；3能夠在具體問題中適當地選取基底，其他向量能夠用基底來表達教學重點：平面向量基本定理.教學難點：平面向量基本定理的理解與應用教學過程：一、情境創設火箭在升空的某一時刻，速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個分速度vvxvy6i4j二、意義構建問題1：已知平面中三個向量e1，e2，c，求向量c_e1_e2ce1e2 作 eq oac(sup8(),OA)e1， eq oac(sup8(),OB)e2， eq

2、 oac(sup8(),OC)c，過點C作平行于OB的直線，交直線OA于M；過點C作平行于OA的直線，交OB于N，則有且只有一對實數1，使得 eq oac(sup8(),OM)1e1， eq oac(sup8(),ON)2e2因為 eq oac(sup8(),OC) eq oac(sup8(),OM) eq oac(sup8(),ON)，所以c e1e2向量d_e1_e2de1e1向量f_e1_e2f請同學們自己作出一向量a，并把向量a表示成：a_e1_e2由剛才的幾個實例，可以得出結論：如果給定向量e1， e2，平面內的任一向量a，都可以表示成al1e1l2e2問題2：如果e1，e2是平面內

3、任意兩向量，那么平面內的任一向量a還可以表示成al1e1l2e2的形式嗎?不行，e1，e2必須是平面內兩不共線向量平面向量基本定理：如果e1，e2是平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數1，2，使a 1e12e2我們把不共線向量e1，e2叫做這一平面內所有向量的一組基底一個平面向量用一組基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我們稱它為向量的分解當e1，e2互相垂直時，就稱為向量的正交分解說明：（1）基底不惟一，關鍵是作為基底的兩個向量不共線（2）由定理可將任一向量a在給出基底e1，e2的條件下進行分解，基底給定時，分解形式惟一，即1，2是被a，e1，e2惟

4、一確定的數量三、數學應用例1. 如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點M， eq oac(sup8(),AB)a， eq oac(sup8(),AD)b，試用基底a，b表示 eq oac(sup8(),MC)， eq oac(sup8(),MA)， eq oac(sup8(),MB)和 eq oac(sup8(),MD)分析：利用關系式 eq oac(sup8(),AC) eq oac(sup8(),AB) eq oac(sup8(),AD)和 eq oac(sup8(),MC)eq f(1,2) eq oac(sup8(),AC)來求解A B C D M解： eq oac(su

5、p8(),AC) eq oac(sup8(),AB) eq oac(sup8(),AD)ab因為平行四邊形的對角線互相平分，所以 eq oac(sup8(),MC) eq f(1,2) eq oac(sup8(),AC) eq f(1,2)aeq f(1,2)b所以 eq oac(sup8(),MA) eq oac(sup8(),MC) eq f(1,2)aeq f(1,2)b， eq oac(sup8(),MB) eq f(1,2) eq oac(sup8(),DB) eq f(1,2)（ eq oac(sup8(),AB) eq oac(sup8(), AD)） eq f(1,2)aeq

6、f(1,2)b， eq oac(sup8(),MD) eq oac(sup8(),MB) eq f(1,2)beq f(1,2)aA B D M變式1：如圖所示，DABD中，M是邊BD的中點，且 eq oac(sup8(),AB)a， eq oac(sup8(),AD)b，用a，b表示 eq oac(sup8(),AM)， eq oac(sup8(),MB)解法一：同例1解法二： eq oac(sup8(),AM) eq oac(sup8(),AD) eq oac(sup8(),DM) eq oac(sup8(),AD)eq f(1,2) eq oac(sup8(),DB) eq oac(su

7、p8(),AD)eq f(1,2)( eq oac(sup8(),AB) eq oac(sup8(),AD)eq f(1,2)aeq f(1,2)b， eq oac(sup8(),MB)eq f(1,2) eq oac(sup8(),DB)eq f(1,2)( eq oac(sup8(),AB) eq oac(sup8(),AD)eq f(1,2)aeq f(1,2)b解法三：過M作MEAB交AD于E，過M作MFAD交AB于F，則四邊形AFME為平行四邊形， eq oac(sup8(),AM) eq oac(sup8(),AF) eq oac(sup8(),AE)eq f(1,2)aeq f(1,2)b， eq oac(sup8(),MB)eq f(1,2) eq oac(sup8(),DB)eq f(1,2)( eq oac(sup8(),AB) eq oac(sup8()