1、本科畢業論文題目：函數f Q)=( + xj 的泰勒級數的收斂域及分析性質學院：數學與計算機科學學院班級：數學與應用數學2007級6班姓名：張彩霞指導教師： 何美 職稱： 副教授完成日期：2011年 5月18函數/ Q）=（十斷）的泰勒級數的收斂域及分析性質摘要：本文主要討論了二項式級數/Q）=G +Jx （a W 0,1,2，）的收斂區間端點的 斂散性，和它推廣后所得的形如/Q）=（十型J （用為正有理數且aw 0,1,2，）的泰 勒級數的收斂域及其函數/Q）=（十型J （用為正有理數且aw 0,1,2，）的泰勒級數 逐項微分、逐項積分后所得級數的收斂域.由于推廣后的函數/Q）=（十型J Q

2、m為正有理數且aw 0,1,2，）的泰勒級數的收斂半徑相同，所以本文重點旨在對收斂區間 端點的討論，進而得到有規律的收斂域.這樣我們在以后遇到此類形式的函數的泰勒 級數時，便能根據具體的a,加，很快寫出其收斂域，而不需要再對其收斂區間端點的 斂散性進行分析.關鍵詞：泰勒級數；逐項微分；逐項積分；收斂區間；收斂域.目錄 TOC o 1-5 h z 預備理論 1冪級數理論 1函數的冪級數展開理論 2超越幾何級數的收斂域 32函數f （x ）=（十x隙I （ m為正有理數且aw 0,1,2,）的泰勒級數收斂域.3函數f Q）=G + x1的泰勒級數及其收斂域3函數f （x ）=（十xm ） （ m為

3、正整數且aw 0,1,2,）的泰勒級數及其收斂域5函數f （x ）=（+xm （ m為正有理數且aw 0,1,2,）的泰勒級數及其收斂域63函數f （x ）=（十xm ） （m為正有理數且aw 0,1,2,）的泰勒級數的分析性質.8函數f （x ）=（十xm ） （ m為正有理數且aw 0,1,2,）的泰勒級數的可微性質8 TOC o 1-5 h z 函數f （x ）=1 + x的泰勒級數的可微性質8函數f （x ）=（+xm （ m為正整數且aw 0,1,2,）的泰勒級數的可微性質 8函數f （x ）=（十xm ） （ m為正有理數且aw 0,1,2,）的泰勒級數的可微性質 9函數f （x

4、）=（十xm） （ m為正有理數且aw 0,1,2,）的泰勒級數的可積性質9函數f （x ）=G + x%的泰勒級數的可積性質9函數f （x ）=（+xm） （ m為正整數且aw 0,1,2,）的泰勒級數的可積性質 10函數f （x ）=（十xm ） （ m為正有理數且aw 0,1,2,）的泰勒級數的可積性質 11參考文獻 13謝 辭 151 預備理論幕級數理論定義 1 口 形如 a （x - x ）n = a + a （x - x ） + a （x - x ）2 hb a （x 一 x ）n h的函數級數稱為冪級數：其中ao,aa2，,an,為常數，稱為冪級數的系數.這是一類 最簡單的函數項

5、級數?！北疚膶⒅赜懻? 0,即冪級數 a xn = a + a x + a x2 hh a xn +（1）的情形.n=0以及冪級數G ）在收斂域內逐項求導后得到的冪級數 TOC o 1-5 h z na xn-1 = a + 2a x + 3a x2 hh na xn-1 h（2）n=1與冪級數G）在收斂域內逐項積分后得到的冪級數寸 a.a 一,aa乙 n xn+1 = a x + 1 x2 + 2 x3 HH n xn+1 H(3)n +1 o 23n +1n=0定理11（阿貝爾定理）1）若冪級數G）在x = xo w 0收斂，則冪級數G）在V x: |x| |xj都發散.由此定理知道：冪

6、級數G）的收斂域時以原點為中心的區間.若以2R表示區間的長 度，則稱R為冪級數的收斂半徑，其實它就是使得冪級數G）收斂的那些收斂點的絕 對值的上確界.注：當x = R時，幕級數G）可能收斂也可能發散.我們稱（-R,+R）為冪級數G）的收斂區間.定理2 1lim an+1 = lnf8 a n對于冪級數G），即 a x n(Llim an nn-8)n=0,nn則冪級數G）的收斂半徑-,0 l +8,j7八R = + 8, l = 0,0,l = +8.定理3口冪級數G）與冪級數（2）,（3）具有相同的收斂區間.注：雖然幕級數。、（2）、G）的收斂半徑相等，但是它的收斂域不一定相同.定理4M設冪

7、級數G）在收斂區間（-R,+R）上的和函數為f Q）,若x為（-R,+R）內 任意一點，則（i）fQ）在x可導，且f,（x）=na xn-i ；nn=1（ii）f （x）在0與x這個區間上可積，且Jxf （tt = .an Xn+1 .0n=0 n + 1此定理說明冪級數在收斂區間內可逐項求導與逐項求積.1.2函數的幕級數展開理論若函數f （x ）在x = x 0處存在任意階的導數，這時稱形式為(4)于(x0)+ 于(x 0)x - x0)+(x - x 0，+fn(x-x 0，+的級數為函數f Q）在x0的泰勒級數.對于級數（4）能否在x0附近確切地表達f Q），或說f Q）在x0的泰勒級數

8、在x0附 近的和函數是否就是f Q），有如下定理5定理51設f Q）在點x0具有任意階導數，那么f Q）在區間（x0 - r,x0 + r）內等于它的泰勒級數的和函數的充要條件是：對一切滿足不等式|x-x0| r的x，有lim R （x）= 0nf8 n這里Rn Q）是f Q）在x 0的泰勒公式余項.如果f Q）能在x0的某領域上等于其泰勒級數的和函數，則稱函數f Q）在x0的這 一領域內可以展開成泰勒級數，并稱等式于(x )=f (x0)+ f,(x 0)x - x0)+ f-(x-x 0、+f(x-x 0)+的右邊為f Q）在x = x 0處得泰勒展開式，或稱塞級數展開式.定理6 W (冪

9、級數展開式的惟一性)若函數f Q)在X0的某鄰域內可展為冪級數f Q)=立an Q - x J ()n=0則其系數a =p0-(n = 0,1,2，)這里規定 0!= 1,f(。) = f (x 0)在實際應用在中，主要討論函數在x 0 = 0處的展開式，這時(4 )式可寫成f(0)+ f G)x + 9 X2 + 逆 xn + 2!n!稱之為麥克勞林級數.1.3超越幾何級數的收斂域對于超越幾何級數回F Q P, Y, x )= 1 T a Cx +1)Cx + n 1) P , C|3 +1) 。+ n 1)n!y (y +1)一% + n1)n=1的斂散性情況如下表1：JI 1發散x =

10、1y -a P 0 y a P 00 y a P 1y a P a ( m為正有理數且a中0,1,2,)的泰勒級數收斂域函數f Q)= G+xh的泰勒級數及其收斂域當a為正整數時，由二項式定理直接展開，就得到f Q)的展開式.(所以在下面的探討中都是假定a豐0,1,2,)因為 f (n)Q)= a (a 1)(a - n +1)( + xb-n, n = 1,2，從而有 f Q)(0)=a(a 1)Q n +1)n = 1,2, 于是，fQ)的麥克勞林級數是-a (a -1)a1 + ax +x 2 + + 2!a Q -1) Q - n +1)(a -1)Q - n +1)xn + 一,.n

11、!（5）n!Xn則運用比式判別法，lim 憂 n+1 = lim可得級數（5）的收斂半徑R = 1.現在（-1,1）內考察它的柯西余項G+ox K,0 o i.()a(a - 1)-.(a -n)n!運用比式判別法級數次n=0a (a -1) Ca - n)xn+1n!當|x| -1有1 + 0 x 1 -0，且0 1，從而有1 + 0 x再當卜| 1 時，有 0 G + 0 x-1 G + |x I） 無關的有界量；當a 1時，也有同樣結論.綜上所述，當x 1時，lim R （x）= 0n8 n-1 1時，所以，在Q 1,1)上(1 + x 卜=1 + ax + a(a -1) x 2 +

12、a(a -1)Q-n +1) x +2!n! 00 a 1a 0a 0絕對收斂 發散二項式級數在X = 1處斂散性的證明見文獻.所以，二項式級數(6)(1 + )a _ 1 + a a(a -1)2 + + a(a -1)(a - n +1) +2!n!的收斂域為:當a -1時，收斂域為Q 1,1);當-1 a 0時，收斂域為I-1,1.函數f Q)=l + xma ( m為正整數且a中0,1,2,)的泰勒級數及其收斂域由上面對f (x )=G + xb的泰勒級數討論，我們容易得到+ Xm )_ 1 + axm +應且X2m + + 應Xnm + .2!a Q -1) Q - n +1)Xmn

13、n!n!(7 )由比式判別法，ulim n+1 _ lima nXmn +1Xm可得(7)的收斂半徑R _ 1，此處我們重點放在對收斂區間端點的討論上.1 當a-1 時，當 X _ 1 時，Xm _ 1當 X _ -1 時，Xm _ 1 或 Xm _ -1 .把Xm看做一個整體作為因變量，由表2知道，Xm _1在當a-1時都發散， 所以，這時級數(7 )的收斂域為Q1,1).2當-1 a0時，當X = 1時，xm = 1.級數（7）收斂;當X = -1時，Xm = 1或Xm =一1.級數（7）收斂;所以，這時級數（7）的收斂域為：L 1,11綜上所述，級數aQ -1) X 2 m + .+2!

14、a(a -1)Q - n +1)Xnm t .n!(7 )的收斂域為：當a-1時，收斂域為（一 1,1）；廣（-1,1m為奇數當-1 a 0時，收斂域為L 1,1.2.3函數f Q）= + Xmh （ m為正有理數且a手0,1,2,）的泰勒級數及其收斂域設m = , (p,q)= 1且q p. , p,q勻為正整數. P由上面對f （x ）=G + x,的泰勒級數討論，我們容易得到,a (a -1) 2.aQ-1)Q- n +1) n .=1 + Ox p +x p +x p + .2!n!(8)1。當p為偶數時 由比式判別法，q只能為奇數.（此時收斂域只能是由非負數組成的）.=lim得到，級

15、數（8）的收斂區間為bD下面將重點探討X = 1時的斂散性.當X = 1時，xp = 1.由表2得當a-1時，級數（8）收斂;所以，這時級數（8）的收斂域為：當a-1時，收斂域為b,1.2。當p為奇數時， 由比式判別法，ulim n+1 = lim得到，級數（8）的收斂區間為（-1,1）.下面將重點探討x = 1處的斂散性.當q為奇數時，q當 x = 1 時，Xp = 1q當 x = -1 時，xp = -1.結合表2,易得到表3：x 1qx p = 1a 0-1 a 0a 0a 0絕對收斂 發散所以，級數（8）的收斂域為：當a-1時，收斂域為（-1,1）；當-1 a 0時，收斂域為L 1,1

16、1當q為偶數時， q當 x 1 時，x p = 1結合表2,易得到表4：x = 1qx p = 1a 01 a 0a -1絕對收斂 條件收斂 發散x = -1所以，級數（8）的收斂域為：當a-1時，收斂域為L 1,11；綜上所述級數,qa（a -1）1 + ax p +2!2.qa Cx 1）Ca n + 1）xn-: + .（8）n!的收斂域為:當p為偶數時，當a-1時，收斂域為b,1l當p為奇數時，當q為奇數時，當a -1時，收斂域為(-1,1)；當-1 a 0時，收斂域為L 1,11當q為偶數時，當a -1時，收斂域為L 1,1；3函數f Q)=l + xm ) ( m為正有理數且a豐0

17、,1,2,)的泰勒級數的分析性質函數f Q)=l + xm ) ( m為正有理數且a手0,1,2,)的泰勒級數的可微性質函數f (x )=(1 + x，的泰勒級數的可微性質由級數(6 )知)(a - 1)a -2)(a - 1)G -2). Q-n)f f(x )=a1 + va - 1)x +x2 + +xn + 2!n!G)=a G + x K1利用級數(6 )的收斂域的結論得到級數6)的收斂域為：當a -1 -1即a 0時，收斂域為(-1,1);當-1 a-1 0即0 a 0即a 1時，收斂域為L 1,1.函數f Q)=l + xm ) ( m為正整數且a手0,1,2,)的泰勒級數的可微

18、性質由級數(7 )知f，Q)=a mxm-11 ( A(a-1)Q- 2)(a-1)Q- 2)(a - n)1 + a - 1 )x m +x2 m + +xnm + 2!n!=a mxm-1 1 + xm(10)又由級數(7 )的收斂域的結論得到級數(10)的收斂域為:當a1 -1即a 0時，收斂域為(-1,1)；r (-1,1m為奇數當1 a1 0即0 a 0即a 1時，收斂域為L 1,11L1,1m為偶數3.1.3函數f Q)=l + xm ) ( m為正有理數且a手0,1,2,)的泰勒級數的可微性質設m = , (p,q)= 1且q p. , p,q勻為正整數 Pf f(x)=a .

19、xP-1 P (.) (a 1)G, 2) 2.(a 1)G, 2)Q-n) n.1 + a - 1 )x p +x p + +x p + 2!n!.xqp-1pf、a-1. q1 + XpI J(11)由級數(8)的收斂域的結論得到級數G1)的收斂域為：當p為偶數時，當a 0時，收斂域為h1.當p為奇數時，當q為奇數時，當a 0時，收斂域為Q 1,1)；當0 a 1時，收斂域為L 1,1.當q為偶數時，當a 0時，收斂域為L 1,1；函數f Q)= + xm (m為正有理數且a手0,1,2,)的泰勒級數的可積性質函數f (x )=(1 + x的泰勒級數的可積性質由級數(6 )知當a W 1時

20、，(a +1%Q +1% (a n + 2)1 + (a + 1)x +x2 + +xn + 2!n!(12 )（13）當a = -1時，JX G +1 dt =x - - + + （-1）-1 2 + = lnG + x ）023n易知，級數。3）的收斂域為（-1,1血.利用級數（6 ）的收斂域的結論得到級數62）的收斂域為：當a +1 -1即a -2時，收斂域為（-1,1）；當-1 a +1 0 即-2 a 0即a-1時，收斂域為L 1,1.所以，函數卜G +1卜dt的泰勒級數的收斂域為： 0當a -2時，收斂域為（-1,1）；當-2 a-1時，收斂域為L 1,1.函數f Q）=l + x

21、m） （ m為正整數且a中0,1,2,）的泰勒級數的可積性質n=1Xma(a -1) x2maQ-1)(a-n +1)+.+ . +m +12!2 m +1:a (a - 1)(a - n +1) Xnmn!n=1a Q -1)Q - n +1)mn +1n!n!Xnmmn +1Xnm*Hmn +1(14)5）容易知道，級數。4）與級數。5）有相同的收斂域.所以，下面討論級數。5）的收斂域.對于級數。5），令va Q -1), Q - n +1) nrn)Xnm，則由比式判別法，Vlim n+1 = limQ - n). (mn +1)(n +1)- (mn + m +1)Xm = Xm可得6

22、5）的收斂半徑R = 1，下面關鍵探討收斂區間端點的斂散性.容易知道，級數（15）是超越幾何級數的特殊情形，并且可從后者當a=-a, P=y-1 = 1時，以-x代替x而 m得出，所以這時超越幾何級數中的y-a-P=a+1，再結合表1，級數5）在它的收斂區間的端點X = 1上的斂散性情況如表5：x = 1xm = 1a -12 a 1a -12 a 1a -1a -1絕對收斂 發散所以，級數Jxf（t%=x1 +0:a (x 1)(x + n -1)n=1n!Xnmmn +1(14)的收斂域為:當a-2時，收斂域為（-1,1）；（-1,11m為奇數當2 a -1時，收斂域為L 1,11m為偶數

23、3.2.3函數f Q）=l + xma （ m為正有理數且a中0,1,2,）的泰勒級數的可積性質設 m = ，(P, q)= 1 且q P. P，P，勻為正整數1,：a (a 1)Q+ n -1)x pn=1n!(16)在上面的討論中，我們知道當m=q為有理數時，對應于超越幾何級數中的Py-a-0=a+1與 m 無關，故10當P為偶數時，q只能為奇數. 由比式判別法，（此時收斂域只能是由非負數組成的）.(x- n )-vlim n+1 = lim(n +1)-得到，級數（16）的收斂區間為hi）.下面將重點探討X = 1時的斂散性.q當X = 1時，XP = 1.由表5得當a-2時，級數（16

24、）收斂;所以，這時級數（16）的收斂域為：當a-2時，收斂域為b,112。當p為奇數時，由比式判別法，vlim -1-n. -12 a 1a -1絕對收斂X - -1Xp - 1a -1發散所以，級數66）的收斂域為：當a-2時，收斂域為（-1,1）；當-2 a-1時，收斂域為L 1,11當q為偶數時，4當 x = 1 時，x p = 1結合表5,易得到表7：x = 1qxp 一 1a -12 a 一1a -2絕對收斂 條件收斂 發散x = -1所以，級數（16 ）的收斂域為：當a -2時，收斂域為L 1,1；綜上所述，級數JxfGM = x1+aQ-1）Q+n-：.上L（16）0n=1n!

25、n q +1Lp的收斂域為：當p為偶數時， 當a-2時，收斂域為b,1.當p為奇數時，當q為奇數時，當a-2時，收斂域為（-1,1）；當-2 a-1時，收斂域為L 1,1.當q為偶數時，當a-2時，收斂域為L 1,1；參考文獻1華東師范大學數學系.數學分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001： 4456.r-M-菲赫金哥爾茨.微積分學教程（第二版第二卷）M.北京:高等教育出版社，2006：209300.3胡克.Adjacent coefficient of mean Vnivalent functionsJ.of Math, 1993, 13 （4）： 413418.4裘敬華.二項式級

26、數在土 1處的斂散性的又一種證法J.黃河水利職業技術學院學報， 1999,11(1).5張鳴.超越幾何級數的斂散性再討論J.武當學刊(自然科學版)，1995, 12(5).6劉俊先.級數(4-1)-Gi + 1)xn在x = 1斂散性的討論J.成都教育學院學報，2002,16 n!.n=17楊靜.二項式級數在收斂區間端點處的斂散性J.高等數學研究，2004,7:21228張迎秋.冪級數逐項求導、逐項積分后收斂域的討論J.安徽農業技術師范學院學報，2000,14 (2) :6667A. Yu. Semusheva. On the convergence domains of hypergeome

27、tric series in several variablesJ.Siberian Mathematical Journal.2005,10(4): 732739Subrata Chakraborty.On Some New a-Modified Binomial and Poisson Distributions and Their ApplicationsJ. Communications in Statistics - Theory and Methods2008,37(11):17551769Function of The Taylor Series Convergence And

28、AnalysisPropertiesAbstract: this paper mainly discusses the binomial series f (x)=G + x ( a 豐 0,1,2,)convergence interval endpoint convergence, and it after the promotion from shaped like f(x)=(1+xm)a (m for the rational number and a 牛 0,1,2,)is the convergence Taylor is its function f (x )= I + xm ) (m for the rational number and a 中 0,1,2，)differential, item by item, Taylor series of the series after item by item, integral income convergence. Because the function f(x)= (1 + xm)a (m for promoting the rational number and a 豐 0,1,2，)is the convergent ra