1、 第四節 曲線與方程考綱解讀了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系，理解曲線與方程的概念命題趨勢探究從內容上看，求曲線的方程是解析幾何的基本問題之一，是高考中的一個熱點和重點，在歷年高考中出現的頻率較高，一般與平面向量結合。從形式上看，以解答題為主，難度中檔。從能力要求上看，高考中注重考查學生的邏輯思維，運算，分析和解決問題的能力，而軌跡方程這一熱點，恰好能很好的反映學生在這些能力方面的掌握程度。預測2019年高考中，求曲線方程的題目若出現在主觀題中，則綜合性比較強，屬于較南題：若出現在客觀題中，則通常可以利用圓錐曲線的定義解題，為容易題。軌跡問題是每年必考內容之一，求解方程比較有規律，難度以中

2、等偏難為主。知識點精講一、曲線的方程和方程的曲線 在直角坐標系中，如果是某曲線（看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程的實數解建立了如下的關系：曲線上的點的坐標都是這個方程的解（完備性）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點（純粹性）那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫方程的曲線。事實上，曲線可以看作一個點集，以一個二元方程的解作為坐標的點也組成一個點集，上訴定義中 二、直接法求動點的軌跡方程 利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：建系-建立適當的坐標系設點-設軌跡上的任一點 列式-列出有限制關系的幾何等式代換-將軌跡所滿足的條件用含的代數式表示，如選用距離和斜率公式等將其

3、轉化為的方程式化簡證明（一般省略）-證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程（對某些特殊值應另外補充檢驗）。簡記為：建設現代化，補充說明。注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線。題型歸納及思路提示題型146 求動點的軌跡方程思路提示：動點的運動軌跡所給出的條件千差萬別，因此求軌跡的方法也多種多樣，但應理解，所求動點的軌跡方程其實質即為其上動點的橫縱坐標所滿足的等量關系式，通常的方法有直譯法，定義法，相關點法（代入法），參數法。一、直譯法 如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系且這些幾何簡單明了且易于表達，那么只需把這些關系“翻譯”成含的等式，就可得到曲

4、線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以被稱為直譯法。例10.30 在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，是動點，且直線與的斜率之積等于，求動點的軌跡方程。分析 設點，將題設中直線與斜率之積等于翻譯成含的等式。解析：因為點與點關于原點對稱，所以點的坐標為，設點，由題意得，化簡得 ，故動點的軌跡方程為變式1 已知動圓過定點，且在軸上截得的弦MN的長為8，求動圓圓心的軌跡的方程解析 如圖10-68所示，設動圓圓心，由題意，當不在軸上時，過作交MN于H，則H是MN的中點，所以，又，所以，化簡得當在軸上時，過作O重合，點的坐標為，也滿足方程，所以動圓圓心的軌跡C

5、的方程為變式2 在平面直角坐標系中，已知點點在直線上，點滿足，點的軌跡為曲線，求的方程。解析 設，因為，M點滿足，所以，由題意可知，即，即。變式3 （2017課標II，理）設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足，求點P的軌跡方程；解析設,設, 。由得。因為在C上，所以。因此點P的軌跡方程為。二、定義法 若動點的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可根據定義直接求出方程中的待定系數，故稱待定系數法。例10.31 和是平面上的兩點，動點滿足 ，求點的軌跡方程.分析 動點滿足，則動點滿足橢圓定義解析 因為，所以由橢圓定義，動點的軌跡是以和為焦點

6、，長軸長為6的橢圓，設橢圓方程為 ，則有 ，半焦距 ，所以 ，所以所求動點的軌跡方程為評注：橢圓的定義：在平面內到兩定點 的距離和等于定長（大于 ）的點的軌跡是橢圓。對于圓，曲線，雙曲線的定義也應熟記。變式1 設圓 與兩圓 重點 一個內切，另一個外切，求的圓心軌跡的方程。解析 設圓C的圓心為C（），半徑為，由題意可知兩圓的圓心分別為，半徑均為2，因為圓C與兩圓中的一個內切，另一個外切，所以或，所以，即圓C的圓心軌跡L是雙曲線。設C（）的軌跡L的方程為，則，圓C的圓心軌跡L的方程為。變式2 已知動圓與定圓外切，又與定直線 相切，那么動圓圓心的軌跡方程是 分析 動圓P與定圓C相外切，又與定直線相切

7、，可得P到定點C（-2，0）的距離等于到直線的距離。解析 如圖10-69所示，設動圓P的半徑為，點P到定點C的距離等于，又點P到直線的距離|PD|等于，易知點P只能在直線的左側。將直線相右平移1個單位得到，則點P到定點C（-2，0）的距離等于P到定直線的距離。這樣點P的軌跡為拋物線，該拋物線的焦點為（-2，0），準線方程為，則方程為。評注 若動點到定點的距離比動點到定直線的距離大或小一個正常數，且這個正常數小于定點到定直線的距離，我們可以通過平移定直線使動點軌跡的描述與拋物線定義吻合。變式3 已知平面內一動點到點 的距離與點到軸的距離的差等于1，求動點的軌跡的方程。解析 設動點P，由題意有，即

8、，當時，；當時，所以動點P的軌跡C的方程為和例10.32 如圖10-15所示，為橢圓的左，右焦點，為橢圓上任因點，過焦點 向 的外角平分線作垂線，垂足為，并延長交 于點 ，則點的軌跡方程是 ，點的軌跡方程是 分析 由平分 ，得，易得到 故 解析 因為 ,所以 故 ,又為中點,所以 , ,則點的軌跡為以為圓心,2為半徑的圓,故點的軌跡為 ,同理,點的軌跡是以 為圓心,4為半徑的圓,故點的軌跡方程為評注: 在應用角平分線性質的同時,要會很好的結合已知曲線的定義,這里用到了圓的定義以及橢圓的定義.變式1 已知 是雙曲線的左，右焦點，是雙曲線上任一點（不是頂點），從焦點引的平分線的垂線，垂足為，則動點

9、的軌跡方程所在的曲線是（ ）A直線 B圓 C橢圓 D雙曲線解析 延長F1P交QF2于點A，連接OP。如圖10-70所示，因為PQ平分，所以PF1=PA，點P平分F1A，所以OP，故點P到原點O的距離為定長，所以點P的軌跡為圓的一部分：。故選B變式2 已知點為雙曲線又支上異于頂點的任一點，連接 ，作的內切圓，其圓心為，則動圓圓心的軌跡所在的曲線是（ ）A直線 B圓 C橢圓 D雙曲線解析 如圖10-71所示，點P為雙曲線右支上異于頂點的任一點，故。據圓內切于，那么，那么可轉化為，得，即，那么Q點為雙曲線的右頂點，連接，則軸，那么動圓圓心的軌跡所在曲線是直線。故選A。變式3 如圖10-16所示，在正

10、方體中，是側面內一動點，若到直線與到直線的距離相等，則動點的軌跡所在的曲線是（ ）A直線 B圓 C雙曲線 D拋物線解析 如圖10-72所示，連接，作于M，動點P到直線BC與到直線C1D1的距離相等，可轉化為動點P到定點C1的距離等于到定直線BC的距離，滿足拋物線的定義。故選D.評注 以空間幾何體為載體，考查平面動點軌跡問題，目的是考查學生的空間想象能力以及分析問題的能力，體現了高考數學在知識的交匯處命題的思想以及數形結合思想的應用。三、相關點法（代入法）有些問題中，所求軌跡上點的幾何條件是與另一個已知方程的曲線上點相關聯的，這時要通過建立這兩點之間關系，并用表示，再將代入已知曲線方程，即得關系

11、式。例10.33已知為橢圓上的點，點坐標為，有 求點的軌跡方程。分析 本題已知（相關點）在橢圓上，點坐標已知，只需用點的坐標表示點的坐標，然后代入橢圓方程便可解出。解析 設， 因為，故 即 代入 得 ，因此點的軌跡方程為 評注 關鍵在于用點的坐標表示點的坐標，然后根據點所滿足的方程就可求得動點的軌跡方程。變式1 如圖10-17所示，設是圓 上的動點，點是在軸上的射影，為上一點，且，當在圓上運動時，求點的軌跡的方程. 解析 設M的坐標為，P的坐標為，因為M為PD上一點，且|MD|=|PD|，所以，又P在圓上，所以，即，故點M的軌跡C的方程為。變式2 如圖10-18所示，已知是橢圓 上兩動點，且直

12、線 與的斜率之積為 （其中為坐標原點），若點滿足 ，問：是否存在兩個定點 ，使得 為定植？若存在，求的坐標：若不存在，說明理由。解析 設，因為直線OM與ON的斜率之積為，所以，即， 由，得，即， 因為點M，N在橢圓上，所以，故把代入上式得，即，所以點P在橢圓上（其中。由橢圓定義知：存在兩定點（即橢圓的焦點），使得為定值。變式3 如圖1019所示，拋物線 ，點在拋物線上，過作的切線，切線為（為原點時， 重合于），當時，切線的斜率為。（1）求的值（2）當 在 上運動時，求線段中點 的軌跡方程。分析 （1）利用導數及切線MA斜率確定切點A的坐標，進而確定點M的坐標，代入拋物線方程確定的值；（2）設出

13、點A,B坐標，利用相關點法，確定動點軌跡方程。解析 （1）因為拋物線上任意一點的切線斜率為，且切線MA的斜率為，所以A點的坐標為，故切線MA的方程為。因為點M在切線MA及拋物線上，于是，由得。（2）設,由N為線段AB中點知， 切線MA，MB的方程為， 由得MA,MB的交點M的坐標為。因為點M在上，即，所以 由得。當時，A,B重合于原點O，AB中點N為O，坐標滿足。因此AB中點N的軌跡方程為。四、參數法 有時不容易得出動點應滿足的幾何條件，也無明顯的相關點，但卻較容易發現（或經分析可發現）該動點常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，解距或時間等）的制約，即動點坐標中的分別隨另一變量的變化而變化，

14、我們稱這個變量為參數，由此建立軌跡的參數方程，這種方法叫參數法（或設參消參法），如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數即可，在選擇參數時，選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數量，直線的斜率及點的橫縱坐標等，也可以沒有具體的意義，還要特別注意選定的參變量的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響。例10.34設橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點，點 是坐標原點，點滿足，求動點的軌跡方程。分析 動點因而動，點因直線而動，直線過定點，故因其斜率（傾斜角）而動，故引如參數-斜率 解析 設 因為，所以 當直線斜率存在時，設斜率為k則 ，由 得 即 則有 ，故 ， 得出

15、即 ，所以 ，解出 化簡得 整理得 (2)當直線的斜率不存在時， ，將代入等式成立綜上（1）（2）得，點的軌跡方程為評注 動點的坐標隨著變量斜率的變化而變化，故利用設參消參的方法求出軌跡方程，千萬要注意，當動直線斜率可變化時，一定要討論斜率的存在與否，歷年高考在該處屢考不鮮。變式1 已知過點 的直線與橢圓交于不同的兩點，若， 求點的軌跡方程。分析 動點P的軌跡隨A，B坐標的變化而變化，A,B兩點的變化是直線斜率的變化而引起的，故選取直線的斜率作為參數來求解動點P的軌跡方程。解析 依題意知，直線的斜率一定存在。若直線斜率為零，即為軸時，則點P為（0，0）；當直線斜率存在且不為零時，設斜率為，則。

16、設，由題意可得。，消去，整理得。（因為點D在橢圓外，需考慮判別式）要使得與橢圓有兩個不同的交點，得，即，解得。，所以，兩式相除得，即，代入得，整理得。點（0，0）也滿足，綜上所述，點P的軌跡為。評注 在圓錐曲線中涉及直線與圓錐曲線位置關系時，一般都聯立直線與圓錐曲線方程，再用韋達定理，該法非常普遍和實用。變式2 （2016高考新課標3理數）已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.解析：設與軸的交點為，則.由題設可得，所以（舍去），.設滿足條件的的中點為.當與軸不垂直時，由可得.而，所以.當與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方

17、程為.最有效訓練題45（限時45分鐘）已知定點不在直線 上，則方程表示一條（ ）A過點且垂直于的直線 B 過點且平行于的直線 C 不過點但垂直于的直線 D 不過點但平行于的直線2過點的直線分別與軸和軸的正半軸交于，點與點關于 軸對稱，為坐標原點，若 且，則點的軌跡方程是（ ） A B C D 3動點在圓上移動時，它與定點連線的中點的軌跡方程是（ ） A B C D 4已知橢圓，為橢圓上一動點， 為橢圓的左焦點，則線段的中點的軌跡是（ ） A 圓 B 橢圓 C 線段 D 一段拋物線5線段的長度是10，它的兩個端點分別在軸，軸上滑動，則中點的軌跡方程是（ ） A B C D 6如圖10-21所示，

18、已知點，動圓與直線切于點，過與圓相切的兩直線相交于點，則點的軌跡方程為（ ） A B C D 7（2017黑龍江哈師大附中三模）已知圓，過點作直線交圓于兩點，分別過兩點作圓的切線，當兩條切線相交于點時，則點的軌跡方程為_8在ABC中，A為動點，B、C為定點，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0)(a0)，且滿足條件sin Csin Beq f(1,2)sin A，則動點A的軌跡方程是_9過定點任作互相垂直的兩直線與，且與軸交于點，與軸交于點，則線段中點的軌跡方程為 10已知P是橢圓eq f(x2,a2)eq

19、 f(y2,b2)1上的任意一點，F1、F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，eq o(OQ,sup16()eq o(PF1,sup16()eq o(PF2,sup16()，則動點Q的軌跡方程是_11（2016高考新課標1卷）（本小題滿分12分）設圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值,并寫出點E的軌跡方程；（ = 2 * ROMAN II）設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.最有效訓練題451.B 解析 因為不再直線上，所以.

20、所以方程表示的直線與平行。又，所以點在方程表示的直線上，即直線過點P。故選B。2.D 解析 設，由，得，即。，得。故選D。3.C 解析 依題意，設AB的中點，滿足點P到線段OB中點的距離為，則，即。故選C。4.B 解析 設點，則，得代入橢圓方程中，得，即線段MF1的中點P的軌跡是橢圓。故選B。5.B 解析 依題意，線段AB中點P滿足|OP|=5，故點P的軌跡方程是，故選B。6.A 解析 設另兩個切點為E,F，如圖10-21所示，則|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|。從而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=20且y0)9.解析 解法一：（直接法）當直線AM斜率存在時，設P，則，于是。因為，所以。整理化簡得。當直線AM軸時，此時MN的中點也滿足上述方程，所以所求點P的軌跡方程為。解法二：（代入法）設,則。因為，所以，化簡得所以所求點P的軌跡方程為。解法三：（參數法）（1）當不平行于軸時，設的斜率為，依題意，因為，所以的斜率為。的方程為，的方程為，在中令，得M點的橫坐標，在中令，得N點的縱坐標，設MN中