1、 課時(shí)規(guī)范練29等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 基礎(chǔ)鞏固組1.(2020河南開(kāi)封三模,文3)已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若S5=4a2,則a7=()A.-2B.0C.2D.102.(2019全國(guó)1,理9)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知S4=0,a5=5,則()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n3.(2020河北滄州一模,理3)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a3=7,S3=9,則a10=()A.25B.32C.35D.404.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2,前n項(xiàng)和為Sn,若S8=S10,則a18=()A.-4B.-2C.0D.25.(20

2、20陜西寶雞三模,文5)將正奇數(shù)排成一個(gè)三角形陣,按照如圖排列的規(guī)律,則第15行第3個(gè)數(shù)為()135791113151719A.213B.215C.217D.2196.(2020北京,8)在等差數(shù)列an中,a1=-9,a5=-1.記Tn=a1a2an,nN*,則數(shù)列Tn()A.有最大項(xiàng),有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng),有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)7.(2020安徽安慶二模,理14)在等差數(shù)列an中,a2+2a16a11,nN*),則()A.a4=7B.S16=240C.a10=19D.S20=38111.(2020山東濰坊二模,6)周髀算經(jīng)是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作,其記載的“日月

3、歷法”曰:“陰陽(yáng)之?dāng)?shù),日月之法,十九歲為一章,四章為一部,部七十六歲,二十部為一遂,遂千百五二十歲,.生數(shù)皆終,萬(wàn)物復(fù)蘇,天以更元作紀(jì)歷”.某老年公寓住有20位老人,他們的年齡(都為正整數(shù))之和恰好為一遂,其中年長(zhǎng)者已是奔百之齡(年齡介于90至100歲),其余19人的年齡依次相差一歲,則年長(zhǎng)者的年齡為()A.94B.95C.96D.9812.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a10,a3+a100,a6a70的最大自然數(shù)n的值為.13.(2020陜西二模,文17)在等差數(shù)列an中,已知a1+a3=12,a2+a4=18,nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求a3+a6+a9+a3n.創(chuàng)新

4、應(yīng)用組14.(2020全國(guó)2,理4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699塊B.3 474塊C.3 402塊D.3 339塊15.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為.16.對(duì)于由正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列An,若對(duì)任意m,nN*且mn,Am+An也是An中的項(xiàng),則稱An為“Q數(shù)列”.設(shè)數(shù)列an滿

5、足a1=6,8a212.(1)請(qǐng)給出一個(gè)an的通項(xiàng)公式,使得an既是等差數(shù)列也是“Q數(shù)列”,并說(shuō)明理由;(2)根據(jù)你給出的通項(xiàng)公式,設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn,求滿足Sn100的正整數(shù)n的最小值.參考答案課時(shí)規(guī)范練29等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.B由S5=4a2,得5a1+10d=4a1+4d,即a1+6d=0,所以a7=0.2.A由題意可知,S4=4a1+432d=0,a5=a1+4d=5,解得a1=-3,d=2.故an=2n-5,Sn=n2-4n,故選A.3.C設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,則a3=a1+2d=7,S3=3a1+3d=9,解得a1=-1,d=4,an=4n-5,a10=41

6、0-5=35.故選C.4.B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由S8=S10,得a9+a10=0,所以2a1+17d=0,且a1=2,所以d=-417,得a18=a1+17d=2+17-417=-2.故選B.5.B由題意知,在三角形數(shù)陣中,前14行共排了1+2+3+14=14(1+14)2=105個(gè)數(shù),則第15行第3個(gè)數(shù)是數(shù)陣的第108個(gè)數(shù),即所求數(shù)字是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列的第108項(xiàng),則a108=1+(108-1)2=215.故選B.6.B由題意知,公差d=a5-a15-1=-1+95-1=2,則an=a1+(n-1)d=-9+(n-1)2=2n-11,可知數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列,且前5項(xiàng)為

7、負(fù)值,自第6項(xiàng)開(kāi)始為正值.可知T1=-90,T3=-3150為最大項(xiàng),自T5起均小于0,且逐漸減小.所以數(shù)列Tn有最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng).7.16方法1:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由a2+2a16a13a11,得31d-2a10,a16+a17=2a1+31d0,即a17-a160,所以n=16時(shí),Sn取得最大值.方法2:設(shè)公差為d,由a2+2a16a13a11,得31d-2a130d,故d0,且15-a1d1,nN*),則Sn+2+Sn=2(Sn+1+1),兩式相減,得an+2+an=2an+1,且當(dāng)n=2時(shí),解得a3=4,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差d=4-2=2的等差數(shù)列.所以an=2+2(n

8、-2)=2n-2,所以an=1,n=1,2n-2,n2,故S16=a1+a2+a16=1+15(2+30)2=241.a4=24-2=6.a10=210-2=18.S20=a1+a2+a20=1+19(2+38)2=381.故選項(xiàng)D正確.11.B根據(jù)題意可知,這20位老人年齡之和為1 520歲,設(shè)年紀(jì)最小者年齡為n,年紀(jì)最大者年齡為m,m90,100,則有n+(n+1)+(n+2)+(n+18)+m=19n+171+m=1 520,則有19n+m=1 349,則m=1 349-19n,所以901 349-19n100,解得651419n66519,因?yàn)槟挲g為整數(shù),所以n=66,則m=1 349

9、-1966=95.故選B.12.12設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d.a6+a7=a3+a100,即2a1+11d0,且a6a70,a60,a70.d=a7-a60.又a7=a1+6d0,2a1+12d0時(shí),2a1+(n-1)d0.由2a1+11d0,2a1+12d0知n-1最大為11,即n最大為12.13.解 (1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列,a1+a3=12,a2+a4=18,所以2a1+2d=12,2a1+4d=18.解得a1=3,d=3.則an=3+(n-1)3=3n,nN*.(2)a3,a6,a9,a3n構(gòu)成首項(xiàng)為a3=9,公差為9的等差數(shù)列.則a3+a6+a9+a3n=

10、9n+12n(n-1)9=92(n2+n).14.C由題意可知,從上到下,從內(nèi)到外,每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成以9為首項(xiàng),9為公差的等差數(shù)列,設(shè)為an.設(shè)上層有n環(huán),則上層扇面形石板總數(shù)為Sn,中層扇面形石板總數(shù)為S2n-Sn,下層扇面形石板總數(shù)為S3n-S2n,三層扇面形石板總數(shù)為S3n.因?yàn)閍n為等差數(shù)列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等差數(shù)列,公差為9n2.因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=279+272629=3 402.故選C.15.-49由Sn=na1+n(n-1)2d得10a1+45d=0,15a1+105d=25,解得a1=-3,d=23,則Sn=-3n+n(n-1)223=13(n2-10n),所以nSn=13(n3-10n2),令f(x)=13(x3-10 x2),則f(x)=x2-203x=xx-203,當(dāng)x1,203時(shí),f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x203,+時(shí),f(x)單調(diào)遞增,又因?yàn)?2037,f(6)=-48,f(7)=-49,所以nSn的最小值為-49.16.解 (1)給出的通項(xiàng)公式為an=2n+4.因?yàn)閷?duì)任意nN*,an+1-an=2(n+1)+4-2n-4=2,所以an是公差為2的等差數(shù)列.對(duì)任意m,nN*且mn,am+an=2m+4+2n