1、2 2word專題 12 直線與圓位置關系【母題原題 1】【2018 某某， 理 12】在平面直角坐標系以 AB為直徑的圓 C與直線 l 交于另一點 D若【答案】 3中， A 為直線 上在第一象限內的點， ，則點 A 的橫坐標為 _點睛：以向量為載體求相關變量的取值或 X 圍，是向量與函數、不等式、三角函數、曲線方程等相結合的一類綜合問題 . 通過向量的坐標運算，將問題轉化為解方程或解不等式或求函數值域，是解決這類問題的一般方法 .【母題原題 2】【2017 某某， 理 13】在平面直角坐標系若 PA PB 20, 則點 P 的橫坐標的取值 X 圍是【答案】 5 2,1xOy 中 , A( 1

2、2,0), B(0,6), 點 P 在圓 O： x y 50 上 , .【考點】直線與圓，線性規劃【名師點睛】線性規劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求橫坐標或縱坐標、直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域 X 圍 .1 / 126)word【母題原題 3】【 2016 某某，理 18】 如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，已知以 M 為圓心的圓M : x2 y2 12x 14y 60 0 及其上一點 A(2， 4).(1) 設圓 N與 x 軸相切，與圓 M

3、外切，且圓心 N在直線 x=6 上，求圓 N的標準方程；（2）設平行于 OA的直線 l 與圓 M 相交于 B， C兩點，且 BC=OA，求直線 l 的方程；（ 3）設點 T（t， 0）滿足：存在圓 M 上的兩點 P和 Q，使得 TA TP TQ , ，某某數 t 的取值 X 圍 .【答案】 （1） (x 2 ( y 1)2 1 （2） l : y 2x 5或y 2x 15 （3） 2 2 21 t 2 2 21【解析】2 / 12word(3) 設 P x1 , y1 , Q x2 , y2 .3 / 12word【考點】直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系、平面向量的運

4、算【名師點睛】直線與圓中的三個定理：切線的性質定理，切線長定理，垂徑定理；兩個公式：點到直線距離公式及弦長公式，其核心都是轉化到與圓心、半徑的關系上，這是解決直線與圓的根本思路 . 對于多元問題，也可先確定主元，如本題以 P 為主元，揭示 P 在兩個圓上運動，從而轉化為兩個圓有交點這一位置關系，這也是解決直線與圓問題的一個思路，即將問題轉化為直線與圓、圓與圓的位置關系問題 .【命題意圖】直線與圓是高中數學的 C 級知識點，是高中數學中數形結合思想的典型體現【命題規律】近年來，高考對直線與圓的命題，既充分體現自身知識結構體系的命題形式多樣化，又保持與函數或不等式或軌跡相結合的命題思路，呈現出“綜

5、合應用，融會貫通”的特色，充分彰顯直線與圓的交匯價值【答題模板】解答本類題目，以 2016 年試題為例，一般考慮如下三步：第一步：利用待定系數法求圓標準方程第二步：根據圓中垂徑定理揭示等量關系第三步：利用圓與圓位置關系、坐標表示逐層揭示刻畫多元關系4 / 12word【方法總結】1. 以動點軌跡為圓考查直線與圓、圓與圓位置關系2. 以圓中直角三角形建立函數關系式或方程或不等式3. 利用數形結合揭示與刻畫直線與圓、圓與圓位置關系數學思想, 突出考查方程思想和解析法, 注重考查圓相關幾何性質, 重點考查直線與圓的綜合應用以及數形結合的1【 某某省某某師大附中 2018 屆高三高考考前模擬考試數學試

6、題 】 已知直線 x yb 0 與圓 交于不同的兩點 A， B若 O是坐標原點，且 ，則實數 b 的取值 X 圍是 _【答案】點睛：本題考查向量知識的運用，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，能正確的轉化向量的不等式是解題關鍵，屬于中檔題2【 某某省某某市第五中學校 2018 屆高三上學期期初考試數學（文）試題 】已知 ，若直線上總存在點【答案】【解析】【分析】設兩個切點分別為 A、，使得過點 的 的兩條切線互相垂直，則實數 的取值 X 圍是_B，則由題意可得四邊形 PAOB為正方形，根據圓心 O到直線 的距離 ，5 / 12，過點.中， 圓word進行求解即可得 的 X 圍 .【詳解

7、】圓心為 ，半徑 ，設兩個切點分別為 A、 B，則由題意可得四邊形 PAOB為正方形，故有 ，圓心 O到直線 的距離 ，即，即 ，解得 或 .故答案為： .【點睛】本題主要考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題3 【 某 某 省 某 某 市 2018 屆 高 三 第 三 次 模 擬 考 試 數 學 試 題 】 在 平 面 直 角 坐 標 系與 軸的兩個交點分別為作直線 與圓 ，圓 分別交于 兩點若 為線段【答案】, 其中 在 的右側，以 為直徑的圓記為圓的中點，則直線 的方程為 _6 / 12word點睛： （1）本題主要考查直線的方程，直線與圓的位

8、置關系 , 要在考查學生對這些基礎知識的掌握能力、基本的運算能力和分析推理能力 . (2) 涉及直線與曲線的問題，經常要聯立直線與曲線的方程得到韋達定理，這是一個常規的方法技巧，大家要理解掌握并靈活運用 .4【 某某省蘇錫常鎮四市 2017-2018 學年度高三教學情況調研（二）數學試題已知圓 ，點 ，若圓 上存在點 ，滿足圍是 _【答案】 .】在平面直角坐標系 中，則點 的縱坐標的取值 X7 / 12word點睛 : 本題主要考查圓的基礎知識，考查函數的思想 , 意在考查學生圓的基礎知識的掌握能力和基本運算能力.5【 某某省蘇錫常鎮四市 2017-2018 學年度高三教學情況調研（二）數學試

9、題 】如圖，扇形 的圓心角為90，半徑為 1，點 是圓弧 上的動點，作點 關于弦 的對稱點 ，則 的取值 X 圍為_【答案】 .【解析】 分析 : 先建立直角坐標系，函數表達式，求其最值，即得其取值再設出點 P,Q 的坐標， 利用已知條件求出 P, Q的坐標， 再求出 的X 圍 .詳解 : 以點 O為坐標原點 , 以 OA所在直線作 x 軸，以 OB所在直線作 y 軸，建立直角坐標系 . 則 A(1， 0),B(0 ，1), 直線 AB的方程為 x+y-1=0,設 P ， ，8 / 122 9 2,word點睛： (1) 本題的難點有三，其一是要聯想到建立直角坐標系；其二是要能利用已知求出點

10、P,Q 的坐標，其三是能夠利用三角函數的知識求出函數 的值域 . （2）本題主要考查利用坐標法解答數學問題，考查直線、圓的方程和三角恒等變換，考查三角函數的圖像和性質，意在考查學生基礎知識的掌握能力及推理分析轉化能力，考查學生的基本運算能力 .6【某某省姜堰、某某、前黃中學 2018 屆高三 4 月聯考數學試題 】已知點 A 3,0 , B 1, 2 ，若圓x 2 2y2 r 2 r 0 上恰有兩點 M , N， 使得 MAB 和 NAB 的面積均為 4， 則 r 的取值 X 圍是 _.【答案】2 2【解析】 由題意可得 |AB|=21 322 0 =2 2，根據 MAB和 NAB的面積均為

11、4，可得兩點 M， N 到直線 AB的距離為 2 2；由于 AB的方程為 y 0 = x 3 ，2 0 1 3即 x+y+3=0；若圓上只有一個點到直線 AB 的距離為 2 2，9 / 122 0 3 2word則有圓心（ 2， 0）到直線 AB 的距離為=r+2 2 ，解得 r= ；2 27【 某某省某某市 2018 屆高三第一學期期末檢測數學試卷 】過圓 內一點 作兩條相互垂直的弦 和 ，且 ，則四邊形 的面積為 _【答案】 19.【解析】根據題意畫出上圖，四邊形【點睛】連接 ，過 作 ， ， 為 的中點， 為 的中點， 又 ，為正方形，由圓的方程得到圓心 ，半徑 ，10 / 12x2wo

12、rd本題的關鍵點有以下：1. 利用數形結合法作輔助線構造正方形 ；2. 利用勾股定理求解 .8【 某某省某某市等四市 2018 屆高三上學期第一次模擬數學試題上存在點 ，且點 關于直線上，則 的取值 X 圍是_】在平面直角坐標系 中，若圓的對稱點 在圓【答案】【解析】 關于直線 的對稱圓 ，由題意，圓 與圓 有交點，所以，所以 的 X 圍是 。點睛：本題考查直線和圓的位置關系。由題意，得到關于直線的對稱圓 ，存在點 滿足條件，即圓 與圓有交點，由圖象特點得 ，求得 的 X 圍。直線和圓的題型充分利用圖象輔助解題。9【 2018 年 4 月 2018 屆高三第二次全國大聯考 （某某卷） - 數學 】在平面直角坐標系 中 , 若直線上存在一點 , 圓 上存在一點 , 滿足 , 則實數 的取值 X 圍為 _.【答案】10【某某省某某市 2018 屆高三上學期第一次調研測試數學試題 】在平面直角坐標系 xOy 中，已知點A 4,0 ， B 0,4 ，從直線 AB 上一點 P 向圓 x y2 4 引兩條切線 PC， PD ，切點分別為 C， D .設線段 CD 的中點為 M ，則線段 AM 長的最大值為 _.【答案】 3 2【解析】 由射影定理得設 M x, y , P x1 , y1OD OM OP OM OP 2 42 2x2 y2 x12x x1y1