1、 第二章 單自在度系統在簡諧鼓勵下的受迫振動2.1.1 振動微分方程2.1.2 受迫振動的振幅B、相位差的討論2.1.3 受迫振動系統力矢量的關系 2.1.4 受迫振動系統的能量關系 2.1.5 等效粘性阻尼 2.1.6 簡諧鼓勵作用下受迫振動的過渡階段 受迫振動鼓勵方式系統在外界鼓勵下產生的振動。 外界鼓勵普通為時間的函數，可以是周期函數，也可以是非周期函數。 簡諧鼓勵是最簡單的鼓勵。普通的周期性鼓勵可以經過傅里葉級數展開成簡諧鼓勵的疊加。有阻尼系統在簡諧鼓勵力作用下的運動微分方程 微分方程全解：齊次方程的解加非齊次方程的特解齊次解: x1(t)特解: x2(t)有阻尼系統在簡諧鼓勵下，運動

2、微分方程的全解2.1.1 振動微分方程 2.1.1 振動微分方程 簡諧激振力以平衡位置O為坐標原點，x軸鉛直向下為正，物塊運動微分方程為 具有粘性阻尼的單自在度受迫振動微分方程，是二階常系數線性非齊次常微分方程。 有阻尼系統在簡諧鼓勵下，運動微分方程的全解 x2(t)-有阻尼系統簡諧鼓勵呼應中的特解是指不隨時間衰減的穩態呼應：2.1.1 振動微分方程 它與鼓勵同頻，但有一個相位差簡諧鼓勵下的全解、瞬態振動和穩態振動 可見，對于工程實踐來說，更關懷的是穩態振動，由于瞬態振動只在振動開場后的一段時間內才有意義。By substituting the particular solution to b

3、e determined into the differential equation of motion We arrive at Using the trigonometric relations Equating the coefficients of and onboth sides of the resulting equation, we obtainSolution of the above equation gives the amplitude and phase angle of the steady state response of the damped mass-sp

4、ring system under harmonic excitation:穩態受迫振動的振幅與滯后相位差均與初始條件無關，僅僅取決于系統和鼓勵的特性。2.1.1 振動微分方程 2.1.2 受迫振動的振幅B、相位差 的討論 在低頻區和高頻區，當 1的區域(高頻區或慣性控制區)， ， ，呼應與鼓勵反相；阻尼影響也不大。3、 1的附近區域(共振區)， 急劇增大并在 1略為偏左處有峰值。通常將1，即 pn 稱為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻呼應曲線愈峻峭，峰值越大。4、在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小， 1時，總有， /2 ,這也是共振的重要景象。2.1.2 受迫振動的振幅B、相位差 的討論

5、 5 質量因子與半功率帶寬共振(仍按 思索)時的放大因子稱為質量因子。由前面的公式得質量因子與半功率帶寬在1兩側，幅頻特性曲線可以近似地看成是對稱的。放大因子為 的兩個點稱為半功率點。對應于這兩個點的鼓勵頻率分別為 和 ，它們的差 稱為半功率帶寬。利用放大因子的表達式，可以求得兩個半功率點對應的頻率比，即外鼓勵頻率，留意到 可得質量因子反映了系統阻尼的強弱和共振峰的峻峭程度。利用上式，可以根據實驗估算質量因子或阻尼比。例題. 質量為M 的電機安裝在彈性根底上。由于轉子不平衡，產生偏心，偏心距為e，偏心質量為m。轉子以勻角速w轉動如圖示，試求電機的運動。彈性根底的作用相當于彈簧常量為k的彈簧。設

6、電機運動時遭到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數為c。 解：取電機的平衡位置為坐標原點O，x軸鉛直向下為正。作用在電機上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如下圖。 轉子偏心引起的受迫振動根據達朗貝爾原理，有= h轉子偏心引起的受迫振動電機作受迫振動的運動方程為當激振力的頻率即電機轉子的角速度等于系統的固有頻率pn時，該振動系統產生共振，此時電機的轉速稱為臨界轉速。 阻尼比z 較小時，在l=1附近，b值急劇增大，發生共振。由于激振力的幅值me2與2成正比。當0時，0，B0；當1時，1，Bb，即電機的角速度遠遠大于振動系統的固有頻率時，該系統受迫振動的振幅趨近于 。

7、幅頻特性曲線和相頻特性曲線轉子偏心引起的受迫振動簡諧力和轉子偏心引起的受迫振動的比較The form of this equation is identical to that of Eq., where z replaces x and replaces . the differential equation of motion isMaking the substitutionEq. becomeswhere y = Y has been assumed for the motion of the base. Thus the solution can be immediately wri

8、tten as Response of a damped system under the harmonic motion of the base If the absolute motion x of the mass is desired, we can solve for x = z + y. Using the exponential form of harmonic motion givesSubstituting into Eq., we obtainandResponse of a damped system under the harmonic motion of the ba

9、se The steady-state amplitude and phase from this equation areandResponse of a damped system under the harmonic motion of the base Response of a damped S.D.O.F. system under the harmonic motion of the base Stop here after 100 minutes 幅頻特性曲線和相頻特性曲線也可以不按相對運動求解見鄭兆昌，而直接求解質量塊的絕對運動。此時的運動微分方程為即相當于質量塊遭到了兩個簡

10、諧鼓勵的作用。不論是利用三角函數關系還是利用復指數函數，所得結果與上述結果一樣。2.1.3受迫振動系統力矢量的關系 知簡諧激振力穩態受迫振動的呼應為現將各力分別用 B、 的旋轉矢量表示。運用達朗貝爾原理，將彈簧質量系統寫成式不僅反映了各力間的相位關系，而且表示著一個力多邊形。慣性力阻尼力彈性力激振力a力多邊形 (b) z 1 (c) z = 1 (d) z 12.1.3受迫振動系統力矢量的關系 2.1.4受迫振動系統的能量關系 從能量的觀念分析，振動系統穩態受迫振動的實現，是輸入系統的能量和耗費的能量平衡的結果。現將討論簡諧激振力作用下的系統，在穩態受迫振動中的能量關系。受迫振動系統的穩態呼應

11、為周期 1. 激振力在系統發生共振的情況下，相位差 ，激振力在一周期內做功為 ，做功最多。 對于無阻尼系統(除共振情況外)相位差 。因此，每一周期內激振力做功之和為零，構成穩態振動。 或2. 粘性阻尼力 做的功 上式闡明，在一個周期內，阻尼做負功。它耗費系統的能量。而且做的負功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動在共振區內振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動的方法是用耗費系統的能量而實現的。2.1.4受迫振動系統的能量關系 3. 彈性力 做的功能量曲線 闡明彈性力在一個振動周期內做功之和為零。 在一個振動周期內激振力做功之和等于阻尼力耗費的能量2.1.4受

12、迫振動系統的能量關系 2.1.5簡諧鼓勵作用下受迫振動的過渡階段 系統在過渡階段對簡諧鼓勵呼應是瞬態呼應與穩態呼應疊加。先思索在給定初始條件下無阻尼系統對簡諧鼓勵的呼應,系統的運動微分方程和初始條件寫在一同為通解是相應的齊次方程的通解與特解的和,即根據初始條件確定C1、C2 。于是得到全解為其特點是振動頻率為系統的固有頻率,但振幅與系統本身的性質及鼓勵要素都有關。無鼓勵時的自在振動系統對初始條件的呼應對于存在阻尼的實踐系統,自在振動和自在伴隨振動的振幅都將隨時間逐漸衰減,因此它們都是瞬態呼應。穩態強迫振動伴隨鼓勵而產生自在振動, 稱為自在伴隨振動2.1.5簡諧鼓勵作用下受迫振動的過渡階段 共振

13、時的情況假設初始條件為由共振的定義, 時上式是 型,利用洛必達法那么算出共振時的呼應為 2.1.5簡諧鼓勵作用下受迫振動的過渡階段 可見,當時 ,無阻尼系統的振幅隨時間無限增大.經過短暫時間后,共振呼應可以表示為此即共振時的受迫振動.反映出共振時的位移在相位上比激振力滯后 ,且振幅與時間成正比地增大 2.1.5簡諧鼓勵作用下受迫振動的過渡階段 圖 共振時的受迫振動有阻尼系統在過渡階段對簡諧鼓勵的呼應.在給定初始條件下的運動微分方程為 全解為式中2.1.5簡諧鼓勵作用下受迫振動的過渡階段 假設初始位移與初始速度都為零，那么成為可見過渡階段的呼應仍含有自在伴隨振動。 2.1.5簡諧鼓勵作用下受迫振

14、動的過渡階段 過渡階段的呼應在簡諧鼓勵的作用下，有阻尼系統的 總呼應由三部分組成 無鼓勵時自在振動的初始條件呼應，其振幅與鼓勵無關。 伴隨鼓勵而產生的自在振動自在伴隨振動，其振幅不僅與系統特性有關，而且與鼓勵有關。 以鼓勵頻率作簡諧振動，其振幅不隨時間衰減穩態受迫振動。 第一部分和第二部分振動的頻率都是自在振動頻率pd；由于阻尼的作用，這兩部分的振幅都時間而衰減。2.1.5簡諧鼓勵作用下受迫振動的過渡階段 假設系統無阻尼，即使在零初始條件下，也存在自由伴隨振動項，并且由于無阻尼，因此振動不會隨時間衰減。 因此，無阻尼系統受簡諧鼓勵產生的受迫振動，普通總是pn和 兩個不同頻率簡諧振動的疊加。2.1.5簡諧鼓勵作用下受迫振動的過渡階段 2.1.6 阻尼實際在工程實踐中，系統的阻尼大多是非粘性阻尼。為了便于振動分析，經常運用能量方法將非粘性阻尼簡化成等效粘性阻尼。等效的原那么是：粘性阻尼在一周期內耗費的能量等于非粘性阻尼在一周期內耗費的能量。假設在簡諧激振力作用下，非粘性阻尼系統的穩態呼應依然是簡諧振動，即非粘性阻尼在一個周期內耗費的能量：粘性阻尼在一周期內耗費的能量：得到