1、7.1 差分方程基本知識7.2 市場經濟中的蛛網模型7.3 減肥計劃節食與運動7.4 差分形式的阻滯增長模型7.5 按年齡分組的種群增長第七章 差分方程模型 數學建模7.1 差分方程基本知識1、差分方程： 差分方程反映的是關于離散變量的取值與變化規律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關系，從而建立差分方程。 差分方程就是針對要解決的目標，引入系統或過程中的離散變量，根據實際背景的規律、性質、平衡關系，建立離散變量所滿足的平衡關系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質（平衡性、穩定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規

2、律，進一步再結合其他分析，得到原問題的解。 數學建模Fibonacci 數列問題 13世紀意大利著名數學家Fibonacci在他的著作算盤書中記載著這樣一個有趣的問題： 一對剛出生的幼兔經過一個月可長成成兔，成兔再經過一個月后可以繁殖出一對幼兔. 若不計兔子的死亡數，問一年之后共有多少對兔子？月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 總數 1 1 2 3 5 8 13 21 數學建模 將兔群總數記為 fn, n=0,1,2,，經過觀察可以發現，數列fn滿足下列遞推關系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 +

3、 fn , n=0,1,2, 這個數列稱為Fibonacci數列. Fibonacci數列是一個十分有趣的數列，在自然科學和數學領域中都有著廣泛的應用. Fibonacci數列的一些實例. 1. 蜜蜂的家譜 2. 鋼琴音階的排列 3. 樹的分枝 4. 楊輝三角形 數學建模日常的經濟問題中的差分方程模型1. 銀行存款與利率 假如你在銀行開設了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%. 用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數列就是你每年的存款額： a0, a1, a2, a3, , an, 設r為年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款問題的數學模型是： a0=1000, an

4、+1=(1+r)an, n=1,2,3, 數學建模2. 家庭教育基金 從1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度. 為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金. 若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達式. 預計當子女18歲入大學時所需的費用為100000元，按年利率3%計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元? 設n年后教育基金總額為an，每年向銀行存入x元，依據復利率計算公式，得到家庭教育基金的數學模型為： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 數學建模3 . 抵押貸款 小李夫婦要購買二居室住房一套，

5、共需30萬元. 他們已經籌集10萬元，另外20萬元申請抵押貸款. 若貸款月利率為0.6%，還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？ 設貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個月后的欠款額為an，則 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3, 數學建模一階線性差分方程 在上述模型中，給出了an+1與an之間的遞推公式. 將它們寫成統一的形式： a0=c, an+1=an+b, n=0,1,2,3,稱此類遞推關系為一階線性差分方程. 當b=0時稱為齊次差分方程，否則稱為非齊次差分方程. 定義1 對任意數

6、列A=a1,a2,an,，其差分算子定義如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2, an=an+1-an, 定義2 對數列A=a1,a2,an,，其一階差分的差分稱為二階差分, 記為2A=(A). 即： 2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可以定義n階差分. 數學建模差分方程 an+1= an+b的解 定理1 一階線性差分方程 an+1= an+b 的通解是： 定理2 對一階線性差分方程 an+1= an+b, 若 | |1, 則 an逐漸遠離平衡解 b/(1- ) (發散型不動點). 數學建模則被稱為方程對應的 齊次

7、線性差分方程 。若所有的 ai(t)均為與t無關的常數，則稱其為 常系數差分方程，即n階常系數線性差分方程可分成（7.1） 的形式，其對應的齊次方程為（7.2） 容易證明，若序列與均為方程（7.2）的解，則也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2為任意常數，這說明，齊次方程的解構成一個 線性空間（解空間）。 此規律對于（7.1）也成立。 數學建模 方程（7.1）可用如下的代數方法求其通解：（步一）先求解對應的特征方程 （7.3） （步二）根據特征根的不同情況，求齊次方 程(7.2）的通解 情況1 若特征方程（7.3）有n個互不相同的實根, ，則齊次方程（7.2）的通解為 (C1,Cn為任意常數

8、)，情況2 若是特征方程（7.3）的k重根，通解中對應 于的項為為任意常數，i=1,k。情況3 若特征方程（7.3）有單重復根 通解中對應它們的項為 為的模，為的幅角。 數學建模情況4 若 為特征方程（7.3）的k重復根，則通 解對應于它們的項為為任意常數，i=1,2k。 .若yt為方程(7.2)的通解,則非齊次方程 (7.1)的通解為（步三） 求非齊次方程 (7.1)的一個特解 求非齊次方程（7.1）的特解一般要用到 常數變易法，計算較繁。對特殊形式 的b(t)也可使用 待定系數法。 數學建模初始條件為y(0)=2和y(1)=3，求方程的齊次解。例2.系統的差分方程特征根為于是由初始條件解得

9、：故齊次解解：特征方程為 數學建模2、特解 特解得求法：將激勵x(n)代入差分方程右端得到自由項，特解的形式與自由項及特征根的形式有關。（1）自由項為nk的多項式1不是特征根：1是K重特征根： 數學建模（2）自由項為 不是特征根，則特解 是特征單根，則特解 是k重特征根，則特解 數學建模（3）自由項為正弦 或余弦 表達式（4）自由項為正弦 不是特征根 是特征根 數學建模例3： 求下示差分方程的完全解其中激勵函數 ，且已知解：特征方程：齊次通解：將 代入方程右端，得12)1()1()(22-=-=-nnnnxnx設特解為 形式，代入方程得 數學建模 數學建模 數學建模日常的經濟問題中的差分方程模

10、型1. 銀行存款與利率 假如你在銀行開設了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%. 用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數列就是你每年的存款額： a0, a1, a2, a3, , an, 設r為年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款問題的數學模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 數學建模2. 家庭教育基金 從1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度. 為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金. 若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達式. 預計當子女18歲入大學時所

11、需的費用為100000元，按年利率3%計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元? 設n年后教育基金總額為an，每年向銀行存入x元，依據復利率計算公式，得到家庭教育基金的數學模型為： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 數學建模家庭教育基金模型的解 由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 得通解: 將 a0=x, =1+r, b=x 代入, 得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解是: 將 a18=100000,r=0.03 代入計算出 x=3981.39. 數學建模3 . 抵押貸款 小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元. 他們已

12、經籌集10萬元，另外20萬元申請抵押貸款. 若貸款月利率為0.6%，還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？ 設貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個月后的欠款額為an，則 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3, 數學建模購房抵押貸款模型的解 由 a0=200000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,2,3,將 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解: 若在第N個月還清貸款，令 aN=0, 得: 將 a0=200000, r =0.006, N=20*12=240 代入計算出 x

13、=1574.70 數學建模4 . 分期付款 小王看到一則廣告：商場對電腦實行分期付款銷售. 一臺售價8000元的電腦，可分36個月付款，每月付300元即可. 同時他收到了銀行提供消費貸款的消息：10000元以下的貸款，可在三年內還清，年利率為15%. 那么，他買電腦應該向銀行貸款，還是直接向商店分期付款？ 經過分析可知，分期付款與抵押貸款模型相同. 設第n個月后的欠款額為an，則 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3, 貸款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3, 數學建模7.2 市場經濟中的蛛網模型問 題供大

14、于求現象商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定價格下降減少產量增加產量價格上漲供不應求描述商品數量與價格的變化規律數量與價格在振蕩 數學建模蛛 網 模 型gx0y0P0fxy0 xk第k時段商品數量；yk第k時段商品價格消費者的需求關系生產者的供應關系減函數增函數供應函數需求函數f與g的交點P0(x0,y0) 平衡點一旦xk=x0，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 數學建模xy0fgy0 x0P0設x1偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩定平衡點P1P2P3P4P0是不穩定平衡點xy0y0

15、 x0P0fg曲線斜率蛛 網 模 型 數學建模在P0點附近用直線近似曲線P0穩定P0不穩定方 程 模 型方程模型與蛛網模型的一致 數學建模 商品數量減少1單位, 價格上漲幅度 價格上漲1單位, (下時段)供應的增量考察 , 的含義 消費者對需求的敏感程度 生產者對價格的敏感程度小, 有利于經濟穩定 小, 有利于經濟穩定結果解釋xk第k時段商品數量；yk第k時段商品價格經濟穩定結果解釋 數學建模經濟不穩定時政府的干預辦法1. 使 盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變2. 使 盡量小，如 =0靠經濟實力控制數量不變xy0y0gfxy0 x0gf結果解釋需求曲線變為水平供應曲線變為豎直 數學建模

16、模型的推廣 生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。生產者管理水平提高設供應函數為需求函數不變二階線性常系數差分方程x0為平衡點研究平衡點穩定，即k, xkx0的條件 數學建模方程通解(c1, c2由初始條件確定)1, 2特征根，即方程 的根 平衡點穩定，即k, xkx0的條件:平衡點穩定條件比原來的條件 放寬了模型的推廣 數學建模7.4 減肥計劃節食與運動背景 多數減肥食品達不到減肥目標，或不能維持 通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分析 體重變化由體內能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少

17、體重指數BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重; BMI30 肥胖. 數學建模模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗200千卡 320千卡(因人而異), 相當于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。 數學建模某甲身高1.70米，體重100千克，BMI=34.6.目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變。現欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1

18、千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。 數學建模 確定某甲的代謝消耗系數即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡基本模型w(k) 第k周(末)體重c(k) 第k周吸收熱量 代謝消耗系數(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡 w=100千克不變 數學建模 第一階段: w(k)每周減1千克, c(k)減至下限10000千卡第一階段10周, 每周減1千克，第10周末體

19、重90千克吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃 數學建模 第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克 1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型 數學建模 第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克 第二階段19周, 每周吸收熱量保持10000千卡, 體重按 減少至75千克。 數學建模運動 t=24 (每周跳舞8小時或自行車10小時), 14周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃根據資料每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡): 跑步 跳舞 乒乓 自行車(中速) 游泳(50米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運動時間(小時)基本模型 數學建模3）達到目標體

20、重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數C，使體重w不變 不運動 運動(內容同前) 數學建模7.3 差分形式的阻滯增長模型連續形式的阻滯增長模型 (Logistic模型)t, xN, x=N是穩定平衡點(與r大小無關)離散形式x(t) 某種群 t 時刻的數量(人口)yk 某種群第k代的數量(人口)若yk=N, 則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點 數學建模離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩定性一階(非線性)差分方程 (1)的平衡點y*=N討論 x* 的穩定性變量代換(2)的平衡點 數學建模(1)的平衡點 x*代數方程 x=f(x)的根穩定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點x*是(2)和(1)的穩定平衡點x*是(2)和(1)的不穩定平衡點補充知識一階非線