1、實數知識點一、【平方根】如果一個數x的平方等于a，那么，這個數x就叫做a的平方根；也即，當時，我們稱x是a的平方根，記做：。因此：1、當a=0時，它的平方根只有一個，也就是0本身；2、當a0時，也就是a為正數時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數，通常記做：。3、當a0時，也即a為負數時，它不存在平方根。例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。（3）若的平方根是2，則x= ；的平方根是 （4）當x 時，有意義。（5）一個正數的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個正數是多少？知識點二、【算術平方根】： 1、如果一個正數x的平方等于a，即，那么，這個正數

2、x就叫做a的算術平方根，記為：“”，讀作，“根號a”，其中，a稱為被開方數。特別規定：0的算術平方根仍然為0。2、算術平方根的性質：具有雙重非負性，即：。3、算術平方根與平方根的關系：算術平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數共同構成了平方根。因此，算術平方根只有一個值，并且是非負數，它只表示為：；而平方根具有兩個互為相反數的值，表示為：。例2.（1）下列說法正確的是 （ ）A1的立方根是； B； （C）、的平方根是； （ D）、0沒有平方根； （2）下列各式正確的是（ ）A、 B、 C、 D、（3）的算術平方根是 。（4）若有意義，則_。（5）已知ABC的三邊分別是且滿足，求c的取值范圍

3、。（7）如果x、y分別是4 EQ R(,3) 的整數部分和小數部分。求x y的值.（8）求下列各數的平方根和算術平方根.64； ； 0.0004； (25)2； 11. 0，8， ， 441， 196， 104（9）()2等于多少？()2等于多少？（10） ()2等于多少？（11）對于正數a，()2等于多少？我們共學了加、減、乘、除、乘方、開方六種運算.加與減互為逆運算，乘與除互為逆運算，乘方與開方互為逆運算.知識點三、【開平方性質】=_，=_；(2)=_，=_；=_，=_；(4)_，=_.知識點四、【立方根】： 1、如果x的立方等于a，那么，就稱x是a的立方根，或者三次方根。記做：，讀作，3

4、次根號a。注意：這里的3表示的是根指數。一般的，平方根可以省寫根指數，但是，當根指數在兩次以上的時候，則不能省略。2、平方根與立方根：每個數都有立方根,并且一個數只有一個立方根；但是，并不是每個數都有平方根，只有非負數才能有平方根。例3.（1）64的立方根是（2）若，則b等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列說法中：都是27的立方根，的立方根是2，。其中正確的有 （ ）A、1個 B、2個 C、3個 D、4個知識點五、【無理數】： 1、無限不循環小數叫做無理數；它必須滿足“無限”以及“不循環”這兩個條件。在初中階段，無理數的表現形式主要包含下列幾

5、種：（1）特殊意義的數，如：圓周率以及含有的一些數，如：2-，3等；（2）開方開不盡的數，如:等；（3）特殊結構的數：如：2.010 010 001 000 01（兩個1之間依次多1個0）等。應當要注意的是：帶根號的數不一定是無理數，如：等；無理數也不一定帶根號，如：2、 有理數與無理數的區別：（1）有理數指的是有限小數和無限循環小數，而無理數則是無限不循環小數；（2）所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數則不能寫成分數形式。例4.（1）下列各數：3.141、0.33333、0.3030003000003（相鄰兩個3之間0的個數逐次增加2）、其中是有理數的有；

6、是無理數的有。（填序號）（2）有五個數:0.125125,0.1010010001,-,其中無理數有 ( )個A 2 B 3 C 4 D 5 知識點六、【實數】：1、有理數與無理數統稱為實數。在實數中，沒有最大的實數，也沒有最小的實數；絕對值最小的實數是0，最大的負整數是-1，最小的正整數是1.2、實數的性質：實數a的相反數是-a；實數a的倒數是（a0）；實數a的絕對值|a|=，它的幾何意義是：在數軸上的點到原點的距離。3、實數的大小比較法則：實數的大小比較的法則跟有理數的大小比較法則相同：即正數大于0，0大于負數；正數大于負數；兩個正數，絕對值大的就大，兩個負數，絕對值大的反而小。（在數軸上

7、，右邊的數總是大于左邊的數）。對于一些帶根號的無理數，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。4、實數的運算：在實數范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法則和運算順序與有理數的一致。例5.（1）下列說法正確的是（ ）；A、任何有理數均可用分數形式表示 ； B、數軸上的點與有理數一一對應 ；C、1和2之間的無理數只有 ； D、不帶根號的數都是有理數。（2）a，b在數軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是( )b0aA、 B、 C、 D、（3）如右圖所示的數軸上，點B與點C關于點A對稱，A、B兩點對應的實數是和-1，則點C所對應的實數是（ ）A. 1+ B. 2+ C. 2

8、-1 D. 2+1（4）實數、在軸上的位置如圖所示，且，則化簡的結果為（ ）A B. C . D.（5）比較大小(填“”或“”).3 ， ， ， ，（6）將下列各數：，用“”連接起來；_。（7）若，且，則：= 。（8）計算： （9）已知：，求代數式的值。基礎練習一一、選擇題1.下列數中是無理數的是（ ） A.0.12 B. C.0 D.2.下列說法中正確的是（ ）A.不循環小數是無理數 B.分數不是有理數 C.有理數都是有限小數 D.3.1415926是有理數3.下列語句正確的是（ ）A.3.78788788878888是無理數 B.無理數分正無理數、零、負無理數C.無限小數不能化成分數 D.

9、無限不循環小數是無理數4.在直角ABC中，C=90，AC=，BC=2，則AB為（ ）A.整數 B.分數 C.無理數 D.不能確定5.面積為6的長方形，長是寬的2倍，則寬為（ ） A.小數B.分數C.無理數 D.不能確定 6.的化簡結果是（ ） A.2 B.2 C.2或2 D.4 7.9的算術平方根是（ ） A.3 B.3 C. D. 8.(11)2的平方根是 A.121 B.11 C.11 D.沒有平方根9.下列式子中，正確的是（ ）A.B.=0.6 C.=13D.=610.72的算術平方根是（ ） A. B.7 C. D.411.16的平方根是（ ） A.4 B.24 C. D.212.一個

10、數的算術平方根為a，比這個數大2的數是（ ）A.a+2 B.2 C.+2 D.a2+213.下列說法正確的是（ ）A.2是4的平方根 B.2是(2)2的算術平方根 C.(2)2的平方根是2 D.8的平方根是414.的平方根是（ ） A.4 B.4 C.4 D.215.的值是（ ） A.7 B.1 C.1 D.716.下列各數中沒有平方根的數是（ ）A.(2)3 B.33 C.a0 D.（a2+1）17.等于（ ） A.a B.a C.a D.以上答案都不對18.如果a(a0)的平方根是m，那么（ ）A.a2=m B.a=m2 C.=m D.=m19.若正方形的邊長是a,面積為S，那么（ ）A.

11、S的平方根是a B.a是S的算術平方根 C.a= D.S= 二、填空題1.在0.351， ，4.969696, 6.751755175551, 0,5.2333, 5.411010010001中，無理數的個數有_.2._小數或_小數是有理數，_小數是無理數.3.x2=8,則x_分數，_整數，_有理數.(填“是”或“不是”)4.面積為3的正方形的邊長_有理數；面積為4的正方形的邊長_有理數.(填“是”或“不是”) 5.的平方根是_； 6.()2的算術平方根是_； 7.一個正數的平方根是2a1與a+2，則a=_，這個正數是_； 8.的算術平方根是_； 9.92的算術平方根是_； 10.的值等于_，

12、的平方根為_； 11.(4)2的平方根是_，算術平方根是_.三.判斷題 1.0.01是0.1的平方根.( ) 2.52的平方根為5.（ ） 3.0和負數沒有平方根.（ ） 4.因為的平方根是,所以=.（ ） 5.正數的平方根有兩個，它們是互為相反數.（ ）四、解答題 1.已知：在數，,3.1416,0,42,(1)2n,1.424224222中，（1）寫出所有有理數；（2）寫出所有無理數； 2.要切一塊面積為36 m2的正方形鐵板，它的邊長應是多少？ 3.已知某數有兩個平方根分別是a+3與2a15,求這個數. 分母有理化1分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2有理化因式：兩個含

13、有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：單項二次根式：利用來確定，如：，與等分別互為有理化因式。兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如與，分別互為有理化因式。例題：找出下列各式的有理化因式 3分母有理化的方法與步驟：（1）先將分子、分母化成最簡二次根式；（2）將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后結果必須化成最簡二次根式或有理式。例題：把下列各式分母有理化 例題：把下列各式分母有理化：（1） （3） （4） 【練習】1找出下列各式的有理化因式 2把下列各式分母有理化 3計算 4比較大小與 5.把下列各

14、式中根號外面的因式適當改變后移到根號里面： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ；6.計算： (1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) ；計算(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 專題講解：類型一有關概念的識別1、實數的有關概念無理數即無限不循環小數，初中主要學習了四類：含的數，如：等，開方開不盡的數，如等；特定結構的數，例0.010 010 001等；某些三角函數，如sin60，cos45 等。判斷一個數是否是無理數，不能只看形式，要看運算結果，如是有理數，而不是無理數。例1下面幾個數：0.23 ，1.010010001，3，其中，無理數

15、的個數有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4例2.（20XX年浙江省東陽縣） 是 A無理數 B有理數 C整數 D負數 舉一反三：1.在實數中 EQ F(2,3) ，0，3.14，中無理數有（ ） A1個 B2個 C3個 D4個2、平方根、算術平方根、立方根的概念若a0，則a的平方根是，a的算術平方根；若a0，則ab=1；（）2把下列各數分別填入相應的集合里|3|，213，1234， EQ F(22,7) ,0， EQ R(,9) , EQ R(3,f(1,8) , EQ F(,2) , EQ R(,8) , ( EQ R(,2) EQ R(,3) )0，32，1.2121121112中 無理數

16、集合 負分數集合 整數集合 非負數集合 *3已知1x2，則|x3|+ EQ R(,(1-x)2) 等于（）（A）2x（B）2（C）2x（D）24下列各數中，哪些互為相反數？哪些互為倒數？哪些互為負倒數？3, EQ R(,2) 1， 3， 03， 31， 1 + EQ R(,2) ， 3 EQ F(1,3) 互為相反數： ；互為倒數： 互為負倒數： *5已知、是實數，且（X EQ R(,2) ）2和2互為相反數，求，y的值6.若,b互為相反數，c,d互為倒數，m的絕對值是2，則 EQ F(|a+b|,2m2+1) +4m-3cd= 。*7已知 EQ F(（3）224,R(,a+2) 0，則= 。

17、三、解題指導：1下列語句正確的是（）（A）無盡小數都是無理數 （B）無理數都是無盡小數（C）帶拫號的數都是無理數 （D）不帶拫號的數一定不是無理數。2和數軸上的點一一對應的數是（）（A）整數 （B）有理數 （C）無理數 （D）實數4.如果a是實數，下列四種說法：（1）2和都是正數； （2），那么一定是負數，（3）的倒數是 EQ F(1,a) ； （4）和的兩個分別在原點的兩側，幾個是正確的（）（A）0（B）1（C）2（D）3*5比較下列各組數的大小：（1） EQ F(3,4) EQ F(4,5) (2) EQ F(3,2) EQ R(,3) EQ R(,12) (3)ab0時, EQ F(1,

18、a) EQ F(1,b) 6若a,b滿足 EQ F(|4-a2|+r(,a+b),a+2) =0,則 EQ F(2a+3b,a) 的值是 *7實數a,b,c在數軸上的對應點如圖，其中O是原點，且|a|=|c|判定a+b,a+c,c-b的符號化簡|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8數軸上點A表示數1，若AB3，則點B所表示的數為 9已知x0，且y|x|，用連結x，x，|y|，y。10最大負整數、最小的正整數、最小的自然數、絕對值最小的實數各是什么？11（2011廣東茂名，9，3分）對于實數、，給出以下三個判斷： 若，則 若，則 若，則 其中正確的判斷的個數是（ ）A3 B2 C1 D012若的值在兩個整數a與a+1之間，則a= *13.數軸上作出表示 EQ R(,2) ， EQ R(,3) ， EQ R(,5) 的點。四獨立訓練：10的相反數是，3的相反數是， EQ R(3,8) 的相反數是；的絕對值是，0的絕對值是， EQ R(,2) EQ