1、三角函數的圖象和性質教 師：4. 三角函數的圖象和性質基礎秘訣與數學方法(問中學)問1 總結正弦型函數 y=A sin(x+)的性質(傻瓜表)問2 寫出“五點法”畫曲線 y=Asin(x+)的傻瓜步驟.問3 試總結三角函數中的數形(1) 圖象法：(2) 終邊法范例評注(例中學)例1由曲線 y=sinx (xR)經過怎樣的變換得到曲線 y sin(1 x ) (xR) ?26按下列程序分別作答.先平移后伸縮:.先伸縮后平移:.uur例2把曲線 y cos x + 2 y 1 = 0 按向量 a = (, 1) 平移后, 得到的曲線方程是 2.例3把函數 y sin(x )的圖象各點橫坐標變為原來

2、的 3 倍,再把所得圖象向左平移6, 則所得圖象的2個式為.- 第 1 頁 -天地精華教育科技關于函數 f (x) 4 sin(2x )( xR ), 有下列命題:例43x1x2 必是的整數倍; 由 f ( x1 )= f ( x2 ) = 0 y= f ( x )的單調減區間是k , k 7(k Z) ;1212 y= f ( x )的圖象關于點( , 0) 對稱;12 y= f ( x )的圖象關于直線 x 對稱12其中正確命題的序號是已知兩個簡諧振動:f1=3sin( t ) ,f2=3 3 sin( t ) ,例534則復合振動 f1 + f2 的振幅為,34最小正周期為.函數 f (

3、x) sin( x )(| | 1) 的圖象如圖, 則 f (x) 例6yA. sin(1 x)C. sin(x 1)B. sin(1 x)D. sin(1 x)Ox1如果函數 y 3cos2x 是奇函數，那么| | 的最小值為例7643D. 2A.B.C.x 對任意 x 都有 f (x) f ( x) 成立, 則 f ( ) 例8若函數 f24B. 5C. 5D. 1A.5- 第 2 頁 -天地精華教育科技例9已知sin sin , 那么下列命題成立的是若、若、若、若、是第一象限角，則cos cos 是第二象限角，則tan tan 是第三象限角，則cos cos 是第四象限角，則tan ta

4、n 例10 已知sin( ) 0,A. tan cot cos( ) 0, 則下列不等關系中必定成立的是B. tan cot 2222C. sin cos D. sin cos 2222例11 已知點 P(sin cos , tan ) 在第一象限, 則在 0, 2 內的取值范圍是A. ( , 3 ) U ( ,5 )B. ( , ) U ( ,5 )244424C. ( ,3 ) U (5 , 3D. ( , ) U (3 , )2442424sin x sin 3x例12 函數 y 的最小正周期是cos x cos 3x- 第 3 頁 -天地精華教育科技例13函數 y sin(2x ) 的

5、遞減區間是.3例14函數 y |3sin(2x )|的單調遞增區間是4 ) cos(x ) cos2 x 3 .例15 已知函數 f (44(1) 求函數 f (x) 的最小正周期和單調遞減區間；(2) 求函數 f (x) 在 , 25 上的最大值和最小值.1236例16 設 f (x)= a b, 其中向量 a =(2cosx, 1)，b = (cosx,3 sin2x), xR.若 f (x) =1- 3 且 x , ，求 x；(1)3 3若函數 y = 2sin2x 的圖象按向量 c =(m，求實數 m，n 的值(2)n) ( |m|)平移后得到函數 y= f (x)的圖象,2- 第 4

6、 頁 -天地精華教育科技幻燈片 1幻燈片 2- 第 5 頁 -天地精華教育科技基礎秘訣與數學方法(問中學)問1 總結正弦型函數 y =Asin(x+ )的性質(傻瓜表)解 函數 f (x)=Asin(x+)的性質:曲線 y=Asin(x+)有對稱軸 x=x0 sin(x0+) =1曲線 y=Asin(x+)有對稱中心 (x0 ,0) sin(x0+) =0定義域值域周期性對稱性(奇偶性)單調性特值與符號4.三角函數的圖象和性質智能數學創始人著名數學特級教師特殊津貼“高考問題解決”中國數學高級數學競賽命題MPA、MBA輔導幻燈片 3幻燈片 4- 第 6 頁 -天地精華教育科技問3 試總結三角函數

7、的數形結合方法.解 三角函數的“數形結合”主要有兩種方法:.圖象法.終邊法不要只知道圖象法,還要掌握終邊法.特別是“高速選填”,終邊法卓有成效.問2 寫出“五點法”畫曲線y=Asin(x+)的步驟.評注 注意五個關鍵點和曲線的升降.“五點法”傻瓜三步:求x 和公差d： x 0, d T .114列表描圖xx1x1+dx1+2dx1+3dx1+4dy0A0A0幻燈片 5幻燈片 6- 第 7 頁 -天地精華教育科技例2 把曲線 y cos x + 2 y 1 = 0 按向量uura = (, 1)平移后,得到的曲線2方程是 ( y +1) sin x + 2 y +1 = 0 .解 用平移傻瓜法則

8、.范例評注(例中學)例1 由曲線y=sinx (xR)經過怎樣的變換得到曲線y sin(1 x )( x R)?26按下列程序分別作答:(1) 先平移后伸縮;(2) 先伸縮后平移.解 (1)右移 21y sin x 6 y sin(x ) y sin( x ).626(2) 2x右移 (1 )y sin x y sin 3 y sinx .226幻燈片 7幻燈片 8- 第 8 頁 -天地精華教育科技例4關于函數 f) R)有下列命題: 由f (x1) =f (x2)=0 x1x2 必是 的整數倍;周期性 yf (x)的單調減區間是k , k 7(k Z);1212減區間不等式 2k 2 x 2

9、k 3( 232 yf (x)的圖象關于點,0)對稱；與相悖12 yf (x)的圖象關于直線 x 對稱.充要條件12其中正確題的序號是 例3 把函數 y sin(x ) 的圖象各點橫坐標變為6原來的 3倍,再把所得圖象向左平移 2 個,則所得圖象的式為 y sin x3解 用傻瓜法則.幻燈片 9幻燈片 10- 第 9 頁 -天地精華教育科技例6 函數f (x)=sin(x+) ( |=1 )y的圖象如圖, 則f (x)= ( D )A. sin(1+x)B. sin(1x)O 1xC. sin(x1)D. sin(1x)解 檢驗零點 x 1, 排除A, B,在C, D中;但該零點“最小”, 故

10、選 D.例5兩個簡諧振動: f1 3sin( 3 t 4 ), f2 3 3 sin( 3 t 4 ),則復合振動f 1+ f 2的振幅為 6 , 最小正周期為 6 .解 一般化猜想即知最小正周期為 6. 再求振幅: 變角 , 設 x t , 則34f f 3 sin( x ) 3 3 sin x122 3 cosx )6振幅為 6 . 幻燈片 11幻燈片 12- 第 10 頁 -天地精華教育科技例8 若函數 f (x)=sinx+2cosx 對任意x都有f ( x) f ( x)成立, 則 f () ( C )24A.5B. 5C. 5D. 1解 f ( x) 5 sin( x ) ,由 f

11、 ( x) f ( x)恒成立,知2y f ( x)的圖象有對稱軸 x .4f () 5, 故選 C.4例7 如果函數y=3cos(2x+) 是奇函數,那么| |的最小值為( D )A. B. C. D. 6432解 f ( x) 3 cos(2 x ) 是奇函數 cos 0 k (k Z)2 | | , 故選 D.min2幻燈片 13幻燈片 14- 第 11 頁 -天地精華教育科技例10 已知sin(+)0,則下列不等關系中必定成立的是( A)A. tan cot B. tan cot 2222C.sin cos D.sin cos 2222解 (終邊法)由已知得 sin 0, cos 0

12、,所以 是第二象限角.畫 的終邊圖如圖, 2由圖得 tan cot ,故選A.22例9 已知sinsin那么下列命題成立的是( D )若、 是第一象限角，則cos cos若、 是第二象限角，則tan tan若、 是第三象限角，則cos cos若、 是第四象限角，則tan tan解 (終邊法)對于角終邊(按逆時針向為正), 三角函數在每個象限都有單調性.在第四象限對于角終邊的正弦和正切的單調性相同, 故選D.幻燈片 15幻燈片 16- 第 12 頁 -天地精華教育科技例12 函數y sin x sin 3 x 的最小正周期是 cos x cos 3 x解 y sin x)cos x)2 sin

13、22 cos 2由角 x 終邊圖可知所求函數的最小正周期不是 , 而是 .2例11 已知點P(sin cos , tan )在第一象限, 則在 0, 2 內 的取值范圍是( B )A.( , 3 )U ( , 5 )B.( , )U ( , 5 )244424C.( , 3 )U (5 , 3 )D.( , )U (3 , )2442424解法1 檢驗特例: tan 0, 排除A,C,D(它們都有第二象限的角)故選B.解法2 終邊法:sin cos 角 滿足tan 0在 0, 2 內畫出角的終邊圖, 由圖選B.幻燈片 17幻燈片 18- 第 13 頁 -天地精華教育科技例14 函數 y |3s

14、in(2 x )| 的單調遞增區間是4 k , k 3 (k Z)2828解 (圖象法) 原問題 求 u |sin(2x )| 的增區間.4用“五點法” 畫y sin(2x )的半周期的圖象, 即得4函數u |sin(2x )|一個周期的圖象 (其周期為 ).4u2依圖答出所求增區間.O35x888例13 函數 y sin(2 x ) 的遞減區間是3 k 5 , k 2 (k Z) 123解(終邊法)令 2 x ,3畫角的終邊圖, 由圖得2k 2 x 2k 23幻燈片 19幻燈片 20- 第 14 頁 -天地精華教育科技例15 已知 f )cos( x ) cos2 x 3.44(2) 求函數

15、f (x)在 , 25 上的最大值和最小值.12 36解 (2) y 2 sin(2 x ),6令 2 x , 11 ,639畫角的終邊圖,得當 x 時, f (x) 2sin( ) 3;12min3當 x 時, f ( x) 2.3max例15 已知 f )cos( x ) cos2 x 3.44求函數f (x)的最小正周期和單調遞減區間;求函數f (x)在 , 25 上的最大值和最小值.12 36解 (1) f ( ) cos( x ) cos2 x 3 44 2 3 cos2 x) 3 3 sin 2x cos 2x,f ( x) = 2 sin(2 x ) .6f (x)的最小正周期為 .2k 2 x 2k 3 k x k 5 ,26236 單調遞減區間為 k , k 5 (k Z).36.幻燈片 21幻燈片 22- 第 15 頁 -天地精華教育科技咨詢：例16 設 f ( x) ur uruura b , 其中向量 a (2cos x, 1),urb(cosx R .(2) 若函數y = 2sin2x的圖象按向量 ur (m, n)(| m| )c2平移得到函數y= f (x)的圖象,求實數m, n的值解(2)曲線y 2sin2x 按uur(m,n)曲線y 1 2sin(2x ),c6 2( x m) 2 x 2k 6(