1、2021-2022高考數學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示，下列說法中錯誤的是（ ）A收入最高值與收入最低值的比是B結余最高的月份是月份C與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相

2、同D前個月的平均收入為萬元2如圖是甲、乙兩位同學在六次數學小測試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列說法錯誤的是（ ）A甲得分的平均數比乙大B甲得分的極差比乙大C甲得分的方差比乙小D甲得分的中位數和乙相等3在等腰直角三角形中，為的中點，將它沿翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為（ ）.ABCD4設是虛數單位，則“復數為純虛數”是“”的（ ）A充要條件B必要不充分條件C既不充分也不必要條件D充分不必要條件5下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（ ）ABCD6已知等比數列的前項和為，若，且公比為2，則與的關系正確的是（ ）ABCD7已知雙曲線的左焦點為，直線經過點且與雙曲線的一

3、條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，若，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD8設集合，則集合ABCD9已知集合A0，1，B0，1，2，則滿足ACB的集合C的個數為（）A4B3C2D110在復平面內，復數對應的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11小明有3本作業本，小波有4本作業本，將這7本作業本混放在-起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業本的概率為( )ABCD12已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（ ）APA，PB，PC兩兩垂直B三棱錐P-ABC的體積為CD三棱錐P-ABC的側面積為二、填空題：本題

4、共4小題，每小題5分，共20分。13函數的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_14已知，求_.15某大學、四個不同的專業人數占本校總人數的比例依次為、，現欲采用分層抽樣的方法從這四個專業的總人數中抽取人調查畢業后的就業情況，則專業應抽取_人16正四面體的各個點在平面同側，各點到平面的距離分別為1，2，3，4，則正四面體的棱長為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某企業現有AB兩套設備生產某種產品，現從A，B兩套設備生產的大量產品中各抽取了100件產品作為樣本，檢測某一項質量指標值，若該項質量指標值落在內的產品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從A設備抽取

5、的樣本頻率分布直方圖，表1是從B設備抽取的樣本頻數分布表.圖1：A設備生產的樣本頻率分布直方圖表1：B設備生產的樣本頻數分布表質量指標值頻數2184814162（1）請估計AB設備生產的產品質量指標的平均值；（2）企業將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質量指標值落在內的定為一等品，每件利潤240元；質量指標值落在或內的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120元.根據圖1、表1的數據，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件相應等級產品的概率.企業由于投入資金的限制，需要根據A，B兩套設備生產的同一種產品每件獲得利潤的

6、期望值調整生產規模，請根據以上數據，從經濟效益的角度考慮企業應該對哪一套設備加大生產規模？18（12分）已知函數，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.19（12分）已知函數.（1）若，解關于的不等式；（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.20（12分）如圖為某大江的一段支流，岸線與近似滿足，寬度為圓為江中的一個半徑為的小島，小鎮位于岸線上，且滿足岸線，現計劃建造一條自小鎮經小島至對岸的水上通道（圖中粗線部分折線段，在右側），為保護小島，段設計成與圓相切設 （1）試將通道的長表示成的函數，并指出定義域；（2）若建造通道的費用是每公里100萬元，則建造此

7、通道最少需要多少萬元？21（12分）已知函數（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.22（10分）設，其中（1）當時，求的值；（2）對，證明：恒為定值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤綜上，故選2B【解析】由平均數、方差公式和極差、中位數概念，可得所求結論【詳解】對于甲，；對于乙，故正確；甲的極差為，乙的極差為

8、，故錯誤；對于甲，方差.5，對于乙，方差，故正確；甲得分的中位數為，乙得分的中位數為，故正確故選：【點睛】本題考查莖葉圖的應用，考查平均數和方差等概念，培養計算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題3D【解析】如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據幾何關系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知， 翻折后, ，設外接圓的半徑為， ， ，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設幾何體外接球的半徑為， ， 四面體的外接球的表面積為.故選：D【點睛】本題考查幾何

9、體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑 容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，比如三條側棱兩兩垂直的三棱錐，或是構造直角三角形法，確定球心的位置，構造關于外接球半徑的方程求解.4D【解析】結合純虛數的概念，可得，再結合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數為純虛數，則，所以，若，不妨設，此時復數，不是純虛數，所以“復數為純虛數”是“”的充分不必要條件.故選：D【點睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數的概念，理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵，屬于基礎題.

10、5C【解析】根據三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.故選：C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎題.6C【解析】在等比數列中，由即可表示之間的關系.【詳解】由題可知，等比數列中，且公比為2，故故選：C【點睛】本題考查等比數列求和公式的應用，屬于基礎題.7A【解析】直線的方程為，令和雙曲線方程聯立，再由得到兩交點坐標縱坐標關系進行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設.則，且將代入雙曲線方程中，得到設則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A【點睛】此題考查雙曲線和直線相交問題，聯立直線和雙曲線方程得

11、到兩交點坐標關系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.8B【解析】先求出集合和它的補集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結果.【詳解】對于集合A，解得或，故.對于集合B，解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數不等式的解法，考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是：先將二次項系數化為正數，且不等號的另一邊化為，然后通過因式分解，求得對應的一元二次方程的兩個根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.9A【解析】由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符

12、合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.10B【解析】化簡復數為的形式，然后判斷復數的對應點所在象限，即可求得答案.【詳解】對應的點的坐標為在第二象限故選：B.【點睛】本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題.11A【解析】利用計算即可，其中表示事件A所包含的基本事件個數，為基本事件總數.【詳解】從7本作業本中任取兩本共有種不同的結果，其中，小明取到的均是自己的作業本有種不同結果，由古典概型的概率計算公式，小明取到的均是自己的作業本的概率為.故選：A.【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題，考查學生的基本運算能力

13、，是一道基礎題.12C【解析】根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計算可得.【詳解】解：根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，.三棱錐P-ABC的側面積為.故正確的為C.故選：C.【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131.【解析】求函數的導數，根據導數的幾何意義結合直線垂直的直線斜率的關系建立方程關系進行求解即可【詳解】函數的圖象在處的切線與直線垂直,函數的圖象在的切線斜率 本題正確

14、結果：【點睛】本題主要考查直線垂直的應用以及導數的幾何意義，根據條件建立方程關系是解決本題的關鍵14【解析】求出向量的坐標，然后利用向量數量積的坐標運算可計算出結果.【詳解】，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于基礎題.15【解析】求出專業人數在、四個專業總人數的比例后可得【詳解】由題意、四個不同的專業人數的比例為，故專業應抽取的人數為故答案為：1【點睛】本題考查分層抽樣，根據分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數量是按比例抽取的16【解析】不妨設點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別

15、相交于點E，F，根據題意F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設棱長為a， 求得，再用余弦定理求得：，從而求得，再根據頂點A到面EDF的距離為，得到，然后利用等體積法求解，【詳解】不妨設點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F，如圖所示：由題意得：F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設棱長為a， ，頂點D到面ABC的距離為所以，由余弦定理得：，所以，所以，又頂點A到面EDF的距離為，所以，因為，所以，解得，故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應用，還考查了轉化化歸的思想和空間想

16、象，運算求解的能力，屬于難題，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）30.2，29；（2）B設備【解析】（1）平均數的估計值為組中值與頻率乘積的和；（2）要注意指標值落在內的產品才視為合格品，列出A、B設備利潤分布列，算出期望即可作出決策.【詳解】（1）A設備生產的樣本的頻數分布表如下質量指標值頻數41640121810.根據樣本質量指標平均值估計A設備生產一件產品質量指標平均值為30.2.B設備生產的樣本的頻數分布表如下質量指標值頻數2184814162根據樣本質量指標平均值估計B設備生產一件產品質量指標平均值為29.（2）A設備生產一件產品的利潤記為X，B

17、設備生產一件產品的利潤記為Y，X240180120PY240180120P若以生產一件產品的利潤作為決策依據，企業應加大B設備的生產規模.【點睛】本題考查平均數的估計值、離散隨機變量的期望，并利用期望作決策，是一個概率與統計綜合題，本題是一道中檔題.18（1）；（2）【解析】（1）由,可求出的值,進而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結合兩個函數的值域間的關系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,解得,故.（2）因為,所以,所以，則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍是.【點睛】本題考查了三角函數的恒等變換,考查了二次函數及三角函數值域的求法,考查了學生的計算求解

18、能力,屬于中檔題.19（1）（2）【解析】（1）利用零點分段法將表示為分段函數的形式，由此求得不等式的解集.（2）對分成三種情況，求得的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，由此可知，的解集為（2）當時，的最小值為和中的最小值，其中，.所以恒成立.當時，且，不恒成立，不符合題意.當時，若，則，故不恒成立，不符合題意；若，則，故不恒成立，不符合題意.綜上，.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查根據絕對值不等式恒成立求參數的取值范圍，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.20（1），定義域是（2）百萬【解析】（1）以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系，設，利用直線與圓相切得到，再代入這一關系中，即可得答案；（2）利用導數求函數的最小值，即可得答案；【詳解】以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系 設，則，因為，所以直線的方程為，即，因為圓與相切，所以，即，從而得，在直線的方程中，令，得，所以，所以當時，設銳角滿足，則，所以關于的函數是，定義域是（2）要使建造此通道費用最少，只要通道的長度即最小令，得，設銳角，滿足，得列表：0減極小值增所以時，所以建造此通道的最少費用至少為百萬元【點睛】本題考查三角函數模型的實際應用、利用導數求函數的最小值，考查函數與方程思想、轉化