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文檔簡介

1、1微積分2回憶:一、內積 3定義內積，推廣到n維向量空間記作若 為行向量，42. 內積運算規律定義了內積的向量空間稱為歐氏空間.5對稱性線性性非負性推廣63. 長度 （或稱為模(長)，或范數)(2) 單位向量 若則對任一非零向量可將其單位化:7為了引入夾角的概念4. 定理 Cauchy-Schwarz(柯西施瓦茲)不等式證8910則稱向量與向量正交.勾股定理（2）零向量與任何向量都正交.5. 夾角注（1）零向量與一個向量的夾角可以取 的任意值11解例12二 、標準正交基 1. 正交向量組若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組注意 :正交向量組的每個向量均要求非零.13例 設

2、A 是 n 階反對稱矩陣，x 是 n 維列向量，且 Ax=y , 證明：x 與 y 正交 . 證反對稱矩陣即證內積為零14正交向量組的性質證明定理:15反之不對：線性無關向量組未必是正交向量組。定理:16解例解之得17 2. 標準正交向量組 18線性無關向量組不一定是標準正交向量組但是任一線性無關向量組都可標準正交化 .19 將一組線性無關的向量化為與之等價的標準正交向量組的方法三、施密特正交化方法利用施密特正交化方法，20設向量 是線性無關的.第一步:取第二步:取第三步:取（1）正交化21第三步:取22得非零正交向量組:此方法稱為施密特正交化方法（2）單位化，取23（1）正交化，取 ，一般地

3、24（2）單位化，取25例 用施密特正交化方法，將下列向量組標準正交化解 先正交化，取26再單位化，得標準正交向量組如下27解練一練28單位化29解取兩個線性無關的解：例30把其正交化：31定義性質(2)正交矩陣是可逆矩陣，且四、正交矩陣32證明定理 A為正交矩陣的充要條件是A的行(列)向量組都是標準正交向量組當且僅當A的行(列)向量組都是標準正交向量組設A按行分塊一般的：33解 （1）所以它不是正交矩陣考察矩陣的第一列和第二列，由于例 判別下列矩陣是否為正交陣34所以它是正交矩陣或35解練一練36求與都正交的全部向量解問題化為解方程組例37問題化為解方程組解為求與都正交的全部向量38求與都正交的單位向量例39練一練分析40 證41 例 設 A 是奇數階正交矩陣, 且 detA=1 .證明 ： 1 是 A 的特征值 .證或分析所以1 是 A 的特征值 .42小 結1. 內積2. 長度 3. 夾角434將一組基標準正交化的方法： 先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將其單位化

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