1、數學建模講座第一講第一講 什么是數學模型什么是數學模型玩具、照片 實物模型實物模型風洞中的飛機 物理模型物理模型地圖、電路圖 符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。模型模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見的模型什么是數學模型什么是數學模型建立數學模型建立數學模型你碰到過的數學模型你碰到過的數學模型“航行問題航行問題” 甲乙兩地相距750 公里，船從甲到乙順水航行需30 小時，從乙到甲逆水航行需50 小時，問船的速度是多少。用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx求解得到 x=20, y=

2、5,答：船速每小時答：船速每小時2020公里公里航行問題建立數學模型的基本步驟航行問題建立數學模型的基本步驟 作出簡化假設（船速、水速為常數）； 用符號表示有關量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數學式子（二元一次方程）； 求解得到數學解答（x=20, y=5）； 回答原問題（船速每小時20公里）。數學模型 (Mathematical Model) 和數學建模（Mathematical Modeling)數學模型數學模型: :對于一個現實對象對象，為了一個特定目的目的，根據其內在規律規律，作出必要的簡化假設假設，運用適當的數學工具數學工具，得到的一

3、個數學結構數學結構。數學建模：數學建模：建立數學模型的全過程全過程（包括建立、求解、分析、檢驗）。數數 學學 建建 模模 的的 重重 要要 意意 義義 電子計算機的出現及飛速發展 數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。數學建模計算機技術如虎添翼如虎添翼知識經濟建模示例 椅子能在不平的地面上放穩？問題椅子能在不平的地面上放穩嗎？1.椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個點，四腳的連線呈正方形；2.地面高度是連續變化的，沿任何方向都不會出現間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數學上的連續曲面；3.對于椅腳的間距和椅腿的長度

4、而言，地面是相對平坦的，使椅子的任何位置至少有三只腳同時著地。模型假設ABCDtABCDOx模型構成椅腳連線為正方形ABCD(如右圖)。t 椅子繞中心點O旋轉角度f(t)A,C兩腳與地面距離之和g(t)B,D兩腳與地面距離之和 f(t), g(t) 0模型構成由假設1，f和g都是連續函數由假設3，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地：對任意t ，f(t)和g(t)中至少有一個為0。當t=0時,不妨設g(t)=0,f(t)0,原題歸結為證明如下的數學命題：已知f(t)和g(t)是t的連續函數,對任意t, f(t) g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。則存在t0，使f(t0)= g(t0)=0

5、模型求解OxABCDABCDt最后，因為f(t) g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。令h(t)= f(t)-g(t),則h(0)0和h( ) 0，由f和g的連續性知h也是連續函數。根據連續函數的基本性質,必存在t0 （0t00可知g( )0,f( )=022建模示例建模示例 商人們怎樣安全過河商人們怎樣安全過河問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從河小船(至多2人)隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步決策過程決策決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求要求在安全的前提下(兩

6、岸的隨從數不比商人多),經有限步使全體人員過河模型構成xk第k次渡河前此岸的商人數yk第k次渡河前此岸的隨從數xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)過程的狀態S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態集合uk第k次渡船上的商人數vk第k次渡船上的隨從數dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k狀態轉移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S按按轉移律轉移律由由s1=(3,3)到達

7、到達sn+1=(0,0).多步決策問題模型求解xy3322110 窮舉法 編程上機圖圖解解法法狀態s=(x,y) 16個格點 10個 點允許決策D 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11給出安全渡河方案評注和思考表格化方法表格化方法, , 易于推廣易于推廣考慮考慮4名商人各帶一隨從的情況名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態SS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2D=(u , v) u+v=1, 2 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10

8、20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995人口(億) 3 4.7 6 7 10.1 11.3 12研究人口變化規律研究人口變化規律控制人口過快增長控制人口過快增長建模示例建模示例 如何預報人口的增長如何預報人口的增長指數增長模型常用的計算公式kkrxx)1 (0馬爾薩斯（1766-1834）提出的指數增長模型(1798)x(t) 時刻t人口r 人口(相對)增長率(常數)ttrxtxttx)()()(今年人口 x0, 年增長率 rk年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0

9、trx)1 (0隨著時間增加人口按指數規律無限增長隨著時間增加人口按指數規律無限增長指數增長模型的應用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合 適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測 不符合19世紀后多數地區人口增長規律 不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)阻滯增長模型 (Logistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假定：) 0,()(srsxrxrr固有增長率(x很小時)xm人口容量（資源、環境能容納的最大數量）)1 ()(mxx

10、rxrr是x的減函數mxrs 0)(mxr阻滯增長模型 (Logistic模型)rxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110 tx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2模型的參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數 r 或 r, xm 利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位百萬）1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5r=0.207

11、2, xm=464 專家估計模 型 檢 驗用模型預報1990年美國人口，與實際數據比較/ )1980(1)1980()1980()1980()1990(mxxrxxxxx實際為251.4 (百萬)5 .250)1990(x模 型 應 用人 口 預 報用美國17901990年人口數據重新估計參數r=0.2083, xm=457.6x(2000)=275.0 x(2010)=297.9Logistic模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)基本方法機理分析機理分析測試分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規律將研究對象看作“黑箱”,通過對量測數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學習。以下建模主要指機理分析二者結合二者結合 機理分析建立模型結構,測試分析確定模型參數 數學建模的方法和步驟數學建模的方法和步驟數數 學學 建建 模模 的的 一一 般般 步步 驟驟模型準備模型假設模型構成模型