1、第第 八八 章章二次型二次型 與與 二次曲面二次曲面 00),(xzyfCy zo繞繞 z 軸軸旋轉一周得旋轉一周得旋轉曲面旋轉曲面 SxCy zo. 00),(xzyf曲線曲線 C繞繞 z 軸軸旋轉一周得旋轉一周得旋轉曲面旋轉曲面 S曲線曲線 C 00),(xzyf繞繞 z 軸軸旋轉一周得旋轉一周得旋轉曲面旋轉曲面 SCSM (x,y,z)N), 0(11zyzz 1Py zo221yxy f (y1, z1)=0.x M(x,y,z) S0),( 22 zyxfS：旋轉曲面旋轉曲面特點特點: :母線母線 C 00),(xzyf0),( 22 zyxfS：C中軸坐標中軸坐標(z) 不變不變,

2、 ,另一坐標另一坐標(y)變為除軸坐標外變為除軸坐標外兩坐標的正負算術平方根兩坐標的正負算術平方根.旋轉曲面旋轉曲面名稱名稱: :與母線名稱對應與母線名稱對應.012222zbyax繞繞x軸軸1 22222bzyax繞繞y軸軸1 22222byazx(1)-旋轉橢球面旋轉橢球面反過來反過來, ,方程中若有兩個變量以方程中若有兩個變量以出現出現, ,這個方程的圖形一般是旋轉曲面這個方程的圖形一般是旋轉曲面. .(2-1)x 012222zbyax 雙曲線雙曲線0y繞繞 x 軸一周軸一周x zbyax 雙曲線雙曲線0zy繞繞 x 軸一周軸一周(2-1)x0zy 得得雙雙葉葉旋旋轉轉雙雙曲曲面面12

3、2222 bzyax. zbyax 雙曲線雙曲線.繞繞 x 軸一周軸一周(2-1)(2-2)a雙曲線雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax xyo(2-2)az繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax xyo雙曲線雙曲線(2-2)a.z 得得單單葉葉旋旋轉轉雙雙曲曲面面122222 byazx.雙曲線雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax xyo(3)yo xpzy 022拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周zyox xpzy 022拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周z(3)ypzyx222 .oxz生活中見過這個曲面嗎？生活中見過這個曲面嗎？. xpzy

4、 022拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周得旋轉拋物面得旋轉拋物面(3)繞y軸旋轉一周又如何?.(4) = zkxy 0直線直線繞繞 x 軸一周軸一周x yo.直線直線繞繞 x 軸一周軸一周x yoz(4) = zkxy 0 x yoz.直線直線繞繞 x 軸一周軸一周得旋轉錐面得旋轉錐面2222xkzy .(4) = zkxy 03.3.沿一條定曲線沿一條定曲線C(準線準線)平行移動的直線平行移動的直線L (母線母線)掃過的曲面叫做柱面掃過的曲面叫做柱面.xzy0母線母線f ( x,y )=0z = 0準線準線M(x,y,z)N (x, y, 0)S M(x, ,y, ,z) S (母線母線

5、z軸軸)柱面柱面特點特點: :柱面柱面名稱名稱: :與母線名稱對應與母線名稱對應.含有兩個變量的方程在空間表示柱面含有兩個變量的方程在空間表示柱面. .f ( x,y )=0z = 0C:12222 byax(1)(1). .zxyo當當 a=b 時時, ,為為222ayx ( z為母線為母線)(2)(2). .zxy = 0y12222 bzaxo(3).(3).pxy22 zxyoF(x, ,y, ,z)=0G(x, ,y, ,z)=0 x= x( t )y= y( t )z= z( t ) t T 如如:x2 + + y2 =1x + + y + + z =3P 同時同時, 又在平行于又

6、在平行于 z軸的方向軸的方向 等速地上升。等速地上升。 其軌跡就是其軌跡就是 圓柱螺線。圓柱螺線。 圓柱面圓柱面222ayx yz0 xa x = y =z =acos tbtM(x,y,z)asin ttM螺線從點螺線從點P Q當當 t 從從 0 2 ，bPQ 2叫螺距叫螺距N.Q（移動及轉動都是（移動及轉動都是 等速進行，所以等速進行，所以 z與與t t成正比。成正比。) )點點P在圓柱面在圓柱面上等速地上等速地 繞繞z軸旋轉；軸旋轉；F(x, ,y, ,z)=0G(x, ,y, ,z)=0 xO OyF(x, ,y, ,z)=0G(x, ,y, ,z)=0z)柱面柱面)f (x,y)=0

7、z = 0 x= x( t )y= y( t )z= z( t )xO Oyx= x( t )y= y( t )z= 0例例1 1: :x2 + + y2 + + z2 =1x2 + + y2 - -x =0 xO Oy , zO Ox 坐標坐標(z0) ,x2 + + y2 + + z2 =1x2 + + y2 - -x =0解解:zO Ox y)x2 + + y2 - -x =0 xO Oyx2 + + y2 + + z2 =1x2 + + y2 - -x =0z2 + + x =1z =0y =0 。平平面面的的投投影影在在的的交交線線及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz

8、22222 yxzyxz1. 11 22zyx解解yxzo得得交線交線L：由由圖例圖例z =0.21 11 22zyxyxzo解解122 yxL 所求投影曲線為所求投影曲線為122 yx 01 22zyx.得得交線交線L：.投影柱面投影柱面 22222 yxzyxz由由。平平面面的的投投影影在在的的交交線線及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 圖例圖例例例2 2: : x = y =z =acos tbtasin t坐標坐標xO Oy 解解: x = y =z =acos t0asin tyO Oz y =z =x =asin tbt0zO Ox x =z =y =acos tbt0例例3 3: :解解:2 22 22 22 22 22 22 22 2橢球面橢球面馬鞍abcyx zoz = h橢圓橢圓y = hz = h拋物線拋物線拋物線拋物線用用z = a 截曲面截曲面用用y = 0 截曲面截曲面用用x = b 截曲