1、5.1 定義若內有定義的某鄰域在點設函數,),( )( 00 xNxxfy , 0 lim0yx連續點的連續處在點則稱函數fxxxf- - , )( 00第五節第五節 函數的連續性函數的連續性 )(-)(00 xfxxfy+=相應函數的改變量 -0 xxx =自變量的改變量5.1 函數連續的概念: )(0處右連續在xxf )()(lim 00 xfxfxxxyo0 x)(0 xf: )(0處左連續在xxf )()(lim 00 xfxfxx處連續在 )(0 xxf處右連續在 )(0 xxf且左連續，的每一點連續在區間若 )( Ixf5.2. 定義.)(, I )( ICxfxf記為連續在區間則

2、稱. , , 在右端點左連續且在左端點右連續每一點連續. , 也可以是無限的區間可以是有限的區間I 注內連續”指在區間“在區間為閉區間時當區間 , III. )()(在其定義域內是連續的有理分式函數xQxPmn就有只要對于有理分式函數, 0)( , )()()( (1)0 xQxQxPxfmmn=例例 )()(lim 00 xfxfxx. ) , ( cos)( sin)( (2)內連續都在區間和函數xxfxxf.)0)( )()(),()(),()(,)( ),( IICxgxgxfxgxfxgxfCxgxf則如果 . 1 . 5 定理5.2 5.2 初等函數的連續性初等函數的連續性（連續函

3、數的四則運算）（連續函數的四則運算） ) , ( cos sin內連續在和xx,(2) 知由例; 2k sec , tan時連續在xxx. 連續三角函數在其定義域內. k c , cot時連續在xscxx, )( , )( 000uxgxxxgu且連續處在點設函數. 2 . 5 定理 , )( 0則復合函數處連續在點而函數uuufy. ) )(g( 0處也連續在點xxxfy=（復合函數的連續性定理）（復合函數的連續性定理）)(復合函數的極限運算AufxgfuxgxNxuuxguxxo=)(lim)(lim,)(,),( 00)(00則時且當,)(lim,)(lim),(),(000Aufuxg

4、xguufyuuxx設3 .2 定理).(lim()()(lim 000 xgfxgfxgfxxxx=1 ( ) C , () , ( ) xxyyf xxfyIII如果且在上嚴格單增 或單減則它的反函數在對應區間 .3 .5定理 |( ), () .xy yf x xI上存在且單增 或單減且連續（反函數的連續性定理）（反函數的連續性定理）思考：兩個不連續函數復合后是否一定不連續？思考：兩個不連續函數復合后是否一定不連續？R. C 0，對冪函數例：），（xy =, :lnxexy=由于證明 . ln 復合而成的與是由故xueyxyu=() . , 0 2 . 5內連續在知由定理+=xy( )0

5、1( )log(0,)xaf xaaaf xx 例：（且）在（- ，）上連續，從而在上連續. 1 , 1 arcsin , 2 ,2 sin (1) 上單增且連續在區間故上單增且連續在xyxy. 1 , 1 arccos , , 0 cos (2) 上單減且連續在區間故上單減且連續在xyxy. , cotarc 內單減且連續在xy；內單增且連續在同理 , arctan , xy. 內連續反三角函數在其定義域（1）三角函數在其定義域內連續. , ) 1 , 0( (3)內單調且連續在指數函數aaayx基本初等函數的連續性（2）反三角函數在其定義域內連續. , 0 ) 1 , 0( log (4)

6、 內單調且連續在對數函數aaxya . , (5)域內連續在其定義冪函數為何值無論xy 綜上得到：基本初等函數在它們的定義域內都是連續的。一切初等函數在其定義區間內都是連續的。定義區間是指包含在定義域內的區間定義區間是指包含在定義域內的區間. .1. 初等函數僅在其定義區間內連續初等函數僅在其定義區間內連續, 在在其定義域內不一定連續其定義域內不一定連續;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點的鄰域內沒有定義這些孤立點的鄰域內沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點的鄰域內沒有定義點的鄰域內沒有定義.), 1上連續上連續函數在區間函數在區間注意注意注

7、意注意2. 初等函數求極限的方法初等函數求極限的方法代入法代入法.)()()(lim000定義區間定義區間 xxfxfxx幾個常用極限幾個常用極限00000lnlog (1)11. lim ( )ln12. limln ( )(1)13. (1)lim11 llim1imaxxxxxxxxxaaxexxxxax特別特別0)(,)()(xfxfxg冪指函數,)(lim, 0)(lim) 1 (00BxgAxfxxxx=設則.)(lim)(lim)(lim)(000BxgxxxgxxAxfxfxx)(ln)()(00lim)(limxfxgxxxgxxexf證)(ln)(lim0 xfxgxxe)

8、(limln)(lim)(lnlim)(lim0000 xfxgxfxgxxxxxxxxee.)(lim)(lim00BxgxxAxfxx,)(),()2(0處連續在若xxgxf.)(0)(處連續在則xxfxg10lim(1 sin )xxx例. 求下列極限（1） 2210lim(cos1)xxxex（2） :)(0條條件件處處連連續續必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點函函數數xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點點的的不不連連續續點點為為并并稱稱點點或或間間斷斷

9、處處不不連連續續在在點點函函數數則則稱稱要要有有一一個個不不滿滿足足如如果果上上述述三三個個條條件件中中只只xfxxxf5.3 5.3 函數的間斷點及其分類函數的間斷點及其分類1.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數數則則稱稱點點但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續續性性在在討討論論函函數數 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數的跳躍間斷點為函數的跳躍間斷點 xoxy2.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(

10、lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數數義義則則稱稱點點處處無無定定在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數的可去間斷點為函數的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義數的定義, 則可使其變為連續點則可使其變為連續點.如上例中如上例中, 2)1

11、( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續處連續在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點. .特點特點.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數數在在點點 xoxy1123.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數數則則稱稱點點在在右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存處處的的左左、在在點點如如果果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(處處的的連連續續性性在在討討論論函函數數 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數的第二類間斷點為函數的第二類間斷點 x

12、.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間例例.01sin)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為為第第二二類類間間斷斷點點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間注意注意 不要以為函數的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數的間斷點只是個別的幾個點.可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x22( )(1)xxf xx x例. 討論函數的連續性， 并判斷間斷點的類型.5.4 5

13、.4 閉區間上連續函數的性閉區間上連續函數的性質質)(有界性定理.)(, 0MxfbaxM時使當即存在則設,)(,baCxf )(xf. ,上一定有界在ba)5.4( 最大值和最小值定理定理則設,)(,baCxf上一定有在, )( baxf. 最大值和最小值).()()(,21xfxfxfbax有時使當,21baxx即存在1x2xoyxab)(max)(2xfxfbxa)(min)(1xfxfbxa注：. ) 1 (有最大值或最小值不一定非閉區間上的連續函數. , )2(值不一定有最大值或最小上的非連續函數閉區間ba)(xfy aboyx. 0)( ),( =fba使至少存在一個)5.5( 零點定理定理,)() 1 (,baCxf設則, )0)()( ( )( )()2( bfafbfaf即異號與52-220(-1,1)xx 例（1） 證明五次方程 在內至少有一個根.:0,10,1( )ff （2） 設連續函數， 證明0,1,使得.1x2xoyxab Mxf)(2m