1、控制系統的狀態空間分析與綜合2引引 論論v經典控制理論經典控制理論: : 數學模型數學模型: :線性定常高階微分方程和傳遞函數; 分析方法分析方法: : 時域法(低階13階) 根軌跡法 頻域法 適應領域適應領域: :單輸入單輸出（SISO）線性定常系統 缺缺 點點: :只能反映輸入輸出間的外部特性，難以揭示系統內部的結構和運行狀態。v現代控制理論：現代控制理論： 數學模型數學模型: :以一階微分方程組成差分方程組表示的動態方程 分析方法分析方法: :精準的時域分析法 適應領域適應領域：（1 1）多輸入多輸出系統（MIMO、SISO、MISO、SIMO） （2 2）非線性系統 （3 3）時變系統

2、 優越性：優越性：（1 1）能描述系統內部的運行狀態 （2 2）便于考慮初始條件（與傳遞函數比較） （3 3）適用于多變量、非線性、時變等復雜大型控制系統 （4 4）便于計算機分析與計算 （5 5）便于性能的最優化設計與控制 內容：內容：線性系統理論、最優控制、最優估計、系統辨識、自適應控制近似分析3第一章 控制系統的狀態空間描述第二章 線性系統的運動分析第三章 控制系統的李雅普諾夫穩定性分析第四章 線性系統的可控性和可觀測性第五章 線性系統非奇異線性變換及系統的規范分解第六章 線性定常控制系統的綜合分析4v1.1 1.1 系統數學描述的兩種基本方法系統數學描述的兩種基本方法 v1.2 1.2

3、 狀態空間描述常用的基本概念狀態空間描述常用的基本概念v1.3 1.3 系統的傳遞函數矩陣系統的傳遞函數矩陣 v1.4 1.4 線性定常系統動態方程的建立線性定常系統動態方程的建立第一章 控制系統的狀態空間5 典 型 控 制 系 統 方 框 圖執行器被控對象傳感器控制器控制輸入觀測y控制u被控過程x反饋控制 被 控 過 程puuu21nxxx,21qyyy21 1.1 1.1 系統數學描述的兩種基本方法系統數學描述的兩種基本方法6 典型控制系統典型控制系統由被控對象、傳感器、執行器和控制器組成。 被控過程被控過程具有若干輸入端和輸出端。 數學描述方法數學描述方法： 輸入輸出描述輸入輸出描述（外

4、部描述）:高階微分方程、傳遞函數矩陣。 狀態空間描述狀態空間描述（內部描述）：基于系統內部結構，是對系統的一種完整的描述。71)輸入：輸入：外部對系統的作用（激勵）； 控制：控制：人為施加的激勵； 輸入分控制與干擾。1)輸出：輸出：系統的被控量或從外部測量到的系統信息 。若輸出是由傳感器測量得到的，又稱為觀測觀測。2)2)狀態、狀態變量和狀態向量狀態、狀態變量和狀態向量 ：能完整描述和唯一確定系統時域行為或運行過程的一組獨立（數目最小）的變量稱為系統的狀態；其中的各個變量稱為狀態變量。當狀態表示成以各狀態變量為分量組成的向量時，稱為狀態向量。3)3)狀態空間狀態空間：以狀態向量的各個分量作為坐

5、標軸所組成的n維空間稱為狀態空間。4)狀態軌線：狀態軌線：系統在某個時刻的狀態，在狀態空間可以看作是一個點。隨著時間的推移，系統狀態不斷變化，并在狀態空間中描述出一條軌跡，這種軌跡稱為狀態軌線或狀態軌跡。 5)狀態方程：狀態方程：描述系統狀態變量與輸入變量之間關系的一階向量微分或差分方程稱為系統的狀態方程，它不含輸入的微積分項。一般情況下，狀態方程既是非線性的，又是時變的，可以表示為 6)輸出方程：輸出方程：描述系統輸出變量與系統狀態變量和輸入變量之間函數關系的代數方程稱為輸出方程，當輸出由傳感器得到時，又稱為觀測方程。輸出方程的一般形式為7)動態方程：動態方程：狀態方程與輸出方程的組合稱為動

6、態方程，又稱為狀態空間表達式 。一般形式為( )( ), ( ),x tf x t u t t( )( ), ( ),y tg x t u t t1.2 1.2 狀態空間描述常用的基本概念狀態空間描述常用的基本概念8或離散形式 ( )( ),( ),( )( ),( ),x tfx tu tty tgx tu tt1()( ), ( ),( )( ), ( ),kkkkkkkkx tfx tu tty tg x tu tt9)線性系統：線性系統：線性系統的狀態方程是一階向量線性微分或差分方程，輸出方程是向量代數方程。線性連續時間系統動態方程的一般形式為10)線性定常系統：線性定常系統：線性系統

7、的A，B，C，D或G，H，C，D中的各元素全部是常數。即 ( )( ) ( )( ) ( )y(t)C(t)x(t)D(t)u(t)x tA t x tB t u t(t)Ax(t)Bu(t)y(t)Cx(t)Du(t)x 或離散形式(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu kA xB uyC xD ux 若有9分別寫出狀態矩陣狀態矩陣 A、控制矩陣、控制矩陣 B、輸出矩陣、輸出矩陣 C、前饋矩陣、前饋矩陣 D :已知：nxxxx21puuuu21qyyyy21nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211npnnppbbbbbbbbbB21222

8、2111211qnqqnncccccccccC212222111211111212122212ppqqqpddddddDddd 為書寫方便，常把連續系統和離散系統分別簡記為S(A,B,C,D)和S(G,H,C,D)。 11)11)線性系統的結構圖線性系統的結構圖 ：線性系統的動態方程常用結構圖表示。nn圖中，I為( )單位矩陣，s是拉普拉斯算子，z為單位延時算子。10v討論： 1、狀態變量的獨立性。 2、由于狀態變量的選取不是唯一的，因此狀態方程、輸出方程、動態方程也都不是唯一的。但是，用獨立變量所描述的系統的維數應該是唯一的，與狀態變量的選取方法無關。 3、動態方程對于系統的描述是充分的和完

9、整的，即系統中的任何一個變量均可用狀態方程和輸出方程來描述。 例例1 11 1 試確定圖8-5中（a）、（b）所示電路的獨立狀態變量。圖中u、i分別是是輸入電壓和輸入電流，y為輸出電壓，xi為電容器電壓或電感器電流。 x3x3解解 并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨立變量。對圖8-5（a），不失一般性，假定電容器初始電壓值均為0，有11 因此，只有一個變量是獨立的，狀態變量只能選其中一個，即用其中的任意一個變量作為狀態變量便可以確定該電路的行為。實際上，三個串并聯的電容可以等效為一個電容。 對圖（b） x1 = x2，因此兩者相關，電路只有兩個變量是獨立的，即（x1和x3）或(x2和

10、x3)，可以任用其中一組變量如（x2，x3）作為狀態變量。13232xcccx13223xcccx12令初始條件為零，對線性定常系統的動態方程進行拉氏變換，可以得到 11( )()( )( )()( )X ssIABU sY sC sIABD U s系統的傳遞函數矩陣（簡稱傳遞矩陣）定義為 DBAsICsG1)()(例例1-21-2 已知系統動態方程為2121212121100110012010 xxyyuuxxxx 試求系統的傳遞函數矩陣。解解 已知 0,1001,1001,2010DCBA 故 210)2(11201)(11ssssssAsI210)2(111001210)2(111001

11、)(1ssssssssBAsI1.3 1.3 系統的傳遞函數矩陣系統的傳遞函數矩陣131.4 .1 1.4 .1 由物理模型建動態方程由物理模型建動態方程根據系統物理模型建立動態方程1.4 1.4 線性定常系統動態方程的建立線性定常系統動態方程的建立 RLC 電路 例例1-31-3 試列寫如圖所示RLC的電路方程，選擇幾組狀態變量并建立相應的動態方程，并就所選狀態變量間的關系進行討論。解解 有明確物理意義的常用變量主要有：電流、電阻器電壓、電容器的電壓與電荷、電感器的電壓與磁通。根據獨立性要求，電阻器的電壓與電流、電容器的電壓與電荷、電感器的電流與磁通這三組變量不能選作為系統的狀態。 根據回路

12、電壓定律eidtCdtdiLRi1 電路輸出量 y 為 1cyeidtC 1) 設狀態變量為電感器電流和電容器電壓，即 則狀態方程為ix 1idtCx12eLxLxLRx11211121xCx 輸出方程為 2xy14其向量-矩陣形式為 2121211001011xxyeLxxCLCRxx簡記為 cxybeAxx式中， 10,01,011,2121cLbCLCRAxxxxxx 2)設狀態變量為電容器電流和電荷，即 則有 idtxix21,21212110,01011xxCyeLxxLCLRxx 3)設狀態變量 （ 無明確意義的物理量），可以推出 idtCxRiidtCx1,1211x)()(11

13、2121exLRxxRCdtdiRxx 2212)(11xyxxRCiCx15其向量-矩陣形式為 2121211001111xxyLRxxRCRCRCLRRCxx可見對同一系統，狀態變量的選擇不具有唯一性，動態方程也不是唯一的。 例例1-41-4 由質量塊、彈簧、阻尼器組成的雙輸入三輸出機械位移系統如圖所示，具有力F和阻尼器氣缸速度V 兩種外作用，輸出量為質量塊的位移，速度和加速度。試列寫該系統的動態方程。 分別為質量、彈簧剛度、阻尼系數；x為質量塊位移。 雙輸入三輸出機械位移系統解解 根據牛頓力學可知，系統所受外力F與慣性力m 、阻尼力f( V )和彈簧恢復力 構成平衡關系，系統微分方程如下

14、: 這是一個二階系統，若已知質量塊的初始位移和初始速度，系統在輸入作用下的解便可唯一確定，故選擇質量塊的位移和速度作為狀態變量。設 。由題意知系統有三個輸出量，設 x x kxFkxVxfxm)( fk,m,xxxx21,xyxxyxxy 32211,16于是由系統微分方程可以導出系統狀態方程FkxVxfmxxxx12221)(1 其向量-矩陣形式為 VFmfmxxmfmkxx10010212111223100001001yxFyxVkffymmmm1.4.2 1.4.2 由高階微分方程建動態方程由高階微分方程建動態方程1) 1) 微分方程不含輸入量的導數項微分方程不含輸入量的導數項 ：uya

15、yayayaynnnnn001)2(2)1(1)( 選n個狀態變量為 有 )1(21,nnyxyxyx11211013232xyuxaxaxaxxxxxxxnnnnn得到動態方程 cxybuAxx17式中 121012100100000100,10000010nnnxxxAbcxxaaaa 系統的狀態變量圖 2) 2) 微分方程輸入量中含有導數項微分方程輸入量中含有導數項 ：ubububuyayayaynnnnnn01)1(1)(01)1(1)( 一般輸入導數項的次數小于或等于系統的階數n。首先研究情況，為了避免在狀態方程中出現輸入導數項，可按如下規則選擇一組狀態變量，設 18其展開式為 ni

16、uhxxuhyxiii, 3 , 21101uhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhyuhxxuhyxnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112102231011201 式中， 是n個待定常數。是n個。 110,nhhh由上式的第一個方程可得輸出方程是n個。 uhxy01其余（n）個狀態方程如下 n個。 uhxxuhxxuhxxnnn11232121對式求導，有 ：( )( )(1)011(1)( )( )(1)11000011()nnnnnnnnnnnxyh uhuh uaya ya yb ub uh uhuh u19由展開式將 均以 及 u 的各階導數表示，經整理可得 yyy

17、n,)1(ixuhahahabuhahahbuhahbuhbxaxaxnnnnnnnnnnnnn)()()()(0011110012111)1(0111)(0110令上式中 u 的各階導數的系數為零，可確定各 h 值01211101110hahabhhabhbhnnnnnn記 0011110hahahabhnnn故 uhxaxaxnnnn110則系統的動態方程為 ducxybuAxx式中 012112100001100001000010hdchhhhbaaaaAnnn20 若輸入量中僅含次導數且 ，可將高于次導數項的系數置0，仍可應用上述公式。 nm 1.4 .3 1.4 .3 由系統傳遞函數

18、建立動態方程由系統傳遞函數建立動態方程 01111110)()()(asasasbsbsbsbsUsYsGnnnnnnn應用綜合除法有 )()()(01110111sDsNbasasasssbsGnnnnnnn 式中， 是直接聯系輸入、輸出量的前饋系數，當G(s)的分母次數大于分子次數時， ， 是嚴格有理真分式，其分子各次項的系數分別為 nb0nb)()(sDsNnnnnnnbabbabbab111111000下面介紹由 導出幾種標準型動態方程的方法：1 1） 串聯分解串聯分解 如圖，取z為中間變量，將 分解為相串聯的兩部分，有 )()(sDsN)()(sDsNzzzyuzazazaznnnn

19、n01)1101)11)(（選取狀態變量 )1(21,nnzxzxzx)()(sDsN21則狀態方程為 1223(1)01101121nnnnnxxxxxa za zazua xa xaxu 輸出方程為 nnxxxy12110其向量-矩陣形式 cxybuAxx式中， naaaaA2101000010000101000b110nc當 具有以上形狀時， 陣稱為友矩陣，相應的狀態方程則稱為可控標準型。 bA和A0121n時， 的形式不變， bA和000c22 當 時， 不變，)()()(sDsNbsGncbA,ubcxyn當 時，若按下式選取狀態變量 0nbTocAA Toccb Tocbc 式中，

20、T為轉置符號，則有1210100010001000naaaaA110nb100c注意注意 的形狀特征。若動態方程中的 具有這種形式，則稱為可觀測標準型。自行證明證明：可控標準型和可觀測標準型是同一傳遞函數的不同實現。可控標準型和可觀測標準型的狀態變量圖如圖 ：cA,cA, （對偶關系 ） 可控標準型狀態變量圖 可觀測標準型狀態變量圖 23例例1-61-6 設二階系統微分方程為 ，試列寫可控標準型、可觀測標準型動態方程，并分別確定狀態變量與輸入，輸出量的關系。 解解 系統的傳遞函數為 21221)()()(nssTssUsYsG21221)()()(nssTssUsYsG于是，可控標準型動態方程

21、的各矩陣為21cccxxx2102cA10cbTcc1由G(s)串聯分解并引入中間變量z有 22zzzuyTzz對y求導并考慮上述關系式，則有 TuTzzTzzTy2)21 ( 令 可導出狀態變量與輸入，輸出量的關系；,1zxc,2zxc)21 ()()21 ()21 (22222221TTTuTyyxTTuTyyTxcc可觀測標準型動態方程中各矩陣為 22yyyTuu21oooxxx2102oATbo110oc24狀態變量與輸入，輸出量的關系為 122ooxyyTuxy該系統的可控標準型與可觀測標準型的狀態變量圖 ： （a）可控標準型實現 （b）可觀測標準型實現2 2） 只含單實極點時的情況

22、只含單實極點時的情況 當 只含單實極點時，動態方程除了可化為可控標準型或可觀測標準型以外，還可化為對角型動態方程，其A陣是一個對角陣。設D(s)可分解為 D(s)= 式中， 為系統的單實極點，則傳遞函數可展成部分分式之和 )()(sDsN)()(sDsN)()(21nsssn,211( )( )( )( )niiicY sN sU sD ss25而 ，為 在極點 處的留數，且有Y(s)= U(s)iiisssDsNc)()()()()(sDsNiniiisc1若令狀態變量 其反變換結果為 )(1)(sUssXiini, 2 , 11( )( )( )( )( )iiiniiixtxtu ty

23、tc xt展開得 11 12221 122nnnnnxxuxxuxxuyc xc xc x其向量-矩陣形式為 （其狀態變量如圖(a)所示 ）11122301101nnnxxxxuxx 1212nnxxycccx26若令狀態變量則 Y(s)= )()(sUscsXiiiniisX1)(進行反變換并展開有 11 11222212nnnnnxxc uxxc uxxc uyxxx其向量-矩陣形式為 1111223200nnnnxxcxxcuxxc131 11nxxyx其狀態變量圖如圖(b)所示 ，兩者存在對偶關系 對角型動態方程狀態變量圖 如下：27 （a） （b） 對角型動態方程狀態變量圖 3 3）

24、 含重實極點時的情況含重實極點時的情況 當傳遞函數除含單實極點之外還含有重實極點時，不僅可化為可控標準型或可觀測標準型，還可化為約當標準型動態方程，其A陣是一個含約當塊的矩陣。設D(s)可分解為 D(s)= 式中 為三重實極點， 為單實極點，則傳遞函數可展成為下列部分分式之和： )()(sDsN)()()(431nsss1n,4131112321111( )( )( )( )()()niiiccY sN sccU sD sssss28其狀態變量的選取方法與之含單實極點時相同，可分別得出向量-矩陣形式的動態方程： 111111212113131444101001101nnnxxxxxxuxxxx

25、 1112134nycccccx11111111212112131311344441010nnnnxxcxxcxxcucxxcxx00011yx29其對應的狀態變量圖如圖（a），（b）所示。上面兩式也存在對偶關系。約當型動態方程狀態變量圖 301.4 .4 1.4 .4 由差分方程和脈沖傳遞函數建立離散動態方程由差分方程和脈沖傳遞函數建立離散動態方程單輸入-單輸出線性定常離散系統差分方程的一般形式為：)() 1() 1()()() 1() 1()(011011kubkubnkubnkubkyakyankyankynnn兩端取z變換并整理得1111011011110110( )( )( )nnn

26、nnnnnnnnnnb zbzb zbzzY zG zbU zzaza zazaza za G(z)稱為脈沖傳遞函數 ，利用z變換關系 和 ，可以得到動態方程為：)()(1kxzXii) 1()(1kxzzXii1122110121011( )0(1)0100( )0(1)0010( )( )0(1)00011(1)( )( )( )( )nnnnnnnx kx kxkxku kxkxkxkaaaaxky kx kb u k 簡記為 )()()()()()1(kdukcxkykhukGxkx311.4 .5 1.4 .5 由傳遞函數矩陣建動態方程由傳遞函數矩陣建動態方程 （傳遞函數矩陣的實現傳

27、遞函數矩陣的實現） 給定一傳遞函數矩陣G(s)，若有一系統（A，B，C，D）能使 成立，則稱系統（A，B，C，D）是G(s)的一個實現。這里僅限于單輸入-多輸出和多輸入-單輸出系統。1)SIMO系統的實現：系統的實現：1()( )C sIABDG s單輸入多輸出系統結構圖 1）系統可看作由q個獨立子系統組成，傳遞矩陣為：)()()()()()()()()()()(2121221121sGdsGsGsGdddsGdsGdsGdsGsGsGsGqqqqq32式中，d為常數向量； 為不可約分的嚴格有理真分式（即分母階次大于分子階次）函數。通常 , , 的特性并不相同，具有不同的分母，設最小公分母為：

28、), 2 , 1)(qisGi)(1sG)(2sG)(,sGq0111)(asasassDnnn 的一般形式為 )(sG11,1111012,121201,1101( )( )nnnnnq nqqssssG sD sss將 作串聯分解并引入中間變量Z，令若將A陣寫為友矩陣，便可得到可控標準型實現的狀態方程：)(sG)1(21,),()()(nnzxzxzxsDsUsZ12101210010000010000011nnnxxxuAxbuxaaaax 每個子系統的輸出方程 ：33每個子系統的輸出方程 ：11110111,1220212,12201,1nnqqq nqqqyxdyxdyuCxduyx

29、d 可以看到可以看到，單輸入，q維輸出系統的輸入矩陣為q維列向量，輸出矩陣為（q n）矩陣，故不存在其對偶形式，即不存在可觀測標準型實現。不存在可觀測標準型實現。2)MISO系統的實現系統的實現: :多輸入單輸出系統結構圖 系統由p個獨立子系統組成，系統輸出由子系統輸出合成為 ：34式中 11221212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )ppppY sG s U sG s UsGs UsU sUsG sG sGsG s U sUs1212221212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )pppppG sG s

30、G sGsdG sdG sdGsdddG sG sGsdG s同理設 , , 的最小公分母為D（s），則)(1sG)(2sG)(,sGq011,101111, 121)(1)(ppnpnnpsssssDdddsG若將A陣寫成友矩陣的轉置形式，便可得到可觀測標準型實現的動態方程 ：10210110111212211222232311,12,1,112000100010001001ppppnnnnp npuxauxauxaxAxBuuaxyxddducxdu35 可見可見，p維輸入，單輸入系統的輸入矩陣為（n p）矩陣輸出矩陣為一行矩陣，故不存在其對偶形式，即不存在可控標準型實現不存在可控標準型實

31、現。 14)2)(1(3)(ssssssG例例1-7 1-7 已知單輸入-多輸出系統的傳遞函數矩陣為 ，求其傳遞 矩陣的可控標準型實現及對角型實現。例例1-7 1-7 已知單輸入-多輸出系統的傳遞函數矩陣為 ，求其傳遞 矩陣的可控標準型實現及對角型實現。解解 由于系統是單輸入，多輸出的，故輸入矩陣只有一列，輸出矩陣有兩行。將 化為 嚴格有理真分式( )G s)(13)2)(1(310131)2)(1(3)(sGdsssssssssG(s)G各元素的最小公分母D（s）為 2)1)(s(sD(s)故 63323110)2( 332)1)(s(s110)(2sssssssG 則可控標準型動態方程為

32、： 12010231xxAxbuux 12310631xyCxduux 36 由 可確定系統極點為-1，-2，它們構成對角形狀態矩陣的元素。鑒于輸入矩陣只有一列，這里不能選取極點的留數來構成輸入矩陣，而只能取元素全為1的輸入矩陣。于是，對角型實現的狀態方程為 ：( )0D s 12101021xxAxbuux 其輸出矩陣由極點對應的留數組成， 在-1，-2處的留數分別為：(s)G01)2( 3311)2( )(32)2( 3321) 1( )(221111sssssssssGcsssssGc故其輸出方程為 duxccduCxy2137v本章作業：本章作業：83，84，85，8738第二章 線性

33、系統的運動分析v2.1 線性定常連續系統的自由運動v2.2 狀態轉移矩陣的性質v2.3 線性定常連續系統的受控運動v2.4 線性定常離散系統的分析v2.5 連續系統的離散化39 在控制u=0u=0情況下，線性定常系統由初始條件引起的運動稱為線性定常系統的自由線性定常系統的自由運動運動，可由齊次狀態方程齊次狀態方程描述 ：齊次狀態方程求解方法：冪級數法冪級數法、拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法和凱萊哈密頓定理法凱萊哈密頓定理法。 1)1)冪級數法冪級數法: :設齊次方程的解是t的向量冪級數式中， 都是n維向量，且 ，求導并考慮狀態方程，得 2.1 2.1 線性定常連續系統的自由運動線性定常連續系統的

34、自由運動)()(tAxtxkktbtbtbbtx2210)(,10kbbbx0)0(bx)(2)(2210121kkkktbtbtbbAtkbtbbtx等號兩邊對應的系數相等，有010323021201!1161312121bAkAbkbbAAbbbAAbbAbbkkk40故 2 211( )() (0)2!kkx tIAtA tA txk定義 2 201112!AtkkkkkeIAtA tA tA tkk則 )0()(xetxAt 稱為矩陣指數函數，簡稱矩陣指數 ,又稱為狀態轉移矩陣，記為 ： 求解齊次狀態方程的問題，核心就是計算狀態轉移矩陣的問題 。2)拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 ：At

35、e( )Atte)()(tAxtx對 進行拉氏變換，有： 進行拉氏反變換，有： 與 相比有：它是 的閉合形式。 )0()()(1xAsIsX)0()(L)(11xAsItx)0()(xetxAt11=L()AtesIAAte例例 2-1 2-1 設系統狀態方程為 ，試用拉氏變換求解。)()(3210)()(2121txtxtxtx解解 321321000ssssAsI41狀態方程的解為 :ssssAsIAsIadjAsI213)2)(1(1)()(12211221221112112sssssssstttttttteeeeeeeeAsILt2222112222)()()0()0(2222)0()

36、0()()()(2122222121xxeeeeeeeexxttxtxtttttttt3)凱萊哈密頓定理凱萊哈密頓定理 矩陣A A滿足它自己的特征方程。即若設n階矩陣A的特征多項式為0111)(aaaAIfnnn 則有 :0)(0111IaAaAaAAfnnn42 從該定理還可導出以下兩個推論：推論推論1 1 矩陣A的 次冪，可表為A的（n-1）階多項式 ：)(nkkmnmmkAA10)(nk 推論推論2 2 矩陣指數 可表為A的（n-1）階多項式，即： 且各作為時間的函數是線性無關的。 Ate10( )nAtmmmet A在式推論1中用A的特征值替代A后等式仍能滿足：10( )iktjjij

37、et利用上式和k個就可以確定待定系數 ：1)1)若若 互不相等互不相等 ：可寫出各所構成的n元一次方程組為 ：( )jti12210112111210122212210121ktkktkktkkkkkeee 43 求解上式，可求得系數 ， ， ，它們都是時間t的函數，將其代入推論2式后即可得出 。011kAte例例2-2 2-2 已知 ，求 。 3122AAte解解 首先求A的特征值： 0IA31022254011 24 將其代入 ，有： 10( )iktjjijet01401( 1)( 4)ttee404141331133tttteeee01AteIA2213)3131(1001)3134(

38、44tttteeee4444441211333322213333ttttAttttteeeeeeeee 2)2)若矩陣若矩陣 A A 的特征值是的特征值是 m m 階的：階的： 則求解各系數的方程組的前m個方程可以寫成：1101111tkke 1121211 112111 11 112(1)(1)!(1)!(1)!2!()!tkkmtk mmmmkmdekddmkemmdkm 其它由 組成的（k - m）個方程仍與第一種情況相同，它們上式聯立即可解出各待定系數。(1,2,1)iikm45例例2-32-3 已知 ，求 。2012AAte解解 先求矩陣 A A 的特征值，由得： 200122440

39、1,22 20121( 2)ttete2021( )(12 )( )tttettte10121021001)21 (222teteteetttAt462.2 2.2 狀態轉移矩陣的性質狀態轉移矩陣的性質狀態轉移矩陣 具有如下運算性質： )(tI)0(1)( )( )( )tAtt A 2)()()()()(122121tttttt3)11( )(),()( )tttt 4) 表明 與 可交換，且 ( )At( ) t AA)0( 在式 3）中，令 便可證明；表明 可分解為 的乘積，且 是可交換的。21ttt)(21tt )()(21tt與)()(21tt與Itttttt)0()()()()()

40、()(t1( )( ) (0),(0)( ) ( )() ( )x tt xxt x tt x t證明:由性質3）有根據 的這一性質，對于線性定常系統，顯然有5)()()(1122txtttx)()()()()0(),0()()(1111111txttxtxxttx)()()()()()0()()(11211222txtttxttxttx)(1tx)(2tx)(12tt 證明 ：由于 則 即由轉移至的狀態轉移矩陣為47)(02tt )(12tt )(01tt 6)()()(0022txtttx)()()(0011txtttx)()()(1122txtttx)(12tt )(01tt )(0tx

41、)(02tt )(0tx 證明：由 和得到 )()(kttk)()()()(kteeetktAkAtkAtkBAAB AtBtBtAttBAeeeee)( 7 )8) 若，則 證明： tttttttteeeeeeeet22222222)(At),(1例例2-4 2-4 已知狀態轉移矩陣為，試求 。解：解：根據狀態轉移矩陣的運算性質有3210442222)0(2222)()(0222222221ttttttttttttttttteeeeeeeeAeeeeeeeett9) 若1APAP，則11( )( )AtAttePePPt P482.3 2.3 線性定常連續系統的受控運動線性定常連續系統的受控

42、運動線性定常系統的受控運動線性定常系統的受控運動: 線性定常系統在控制作用下的運動，數學描述為：)()()(tButAxtx主要有如下兩種解法：)()()(tBuetAxtxeAtAt1) 1) 積分法積分法 由上式由于( )( )( ) ( )( )AtAtAtAtdex tAex tex tex tAx tdt 積分后有 0( )(0)( )tAtAex txeBu t d()00( )(0)( )( ) (0)()( )ttAtA tx te xeBu t dt xtBu t d即 式中，第一項為零輸入響應；第二項是零狀態響應。通過變量代換，上式又可表示為：dtBuxttxt)()()0

43、()()(0若取 作為初始時刻，則有0t000()()000( )( )( )() ( )()( )ttA t tA tttx tex teBudttx ttBud492) 2) 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 將 式兩端取拉氏變換，有 11( )(0)( )( )( )()(0)()( )sX sxAX sBU sX ssIAXsIABU s進行拉氏反變換有)()()0()()(1111sBUAsILxAsILtx例例2-52-5 設系統狀態方程為uxxxx103210212112(0)(0)(0)Txxx( )1( )u tt且 試求在作用下狀態方程的解。( )1( )u tt()1u tB

44、dxttxt0)()0()()(解解 由于前面已求得22222( )222tttttttteeeeteeee222200220111( )2222ttttttteeeeeeddeeeeee )()()(tButAxtx50222112222211( )(0)2( )22( )(0)222ttttttttttttx txeeeeeex tx txeeeeee22222002011( )2222ttttttteeeeeeddeeeeee 512.4 2.4 線性定常離散系統的分析線性定常離散系統的分析1)1)遞推法遞推法(線性定常系統) 重寫系統的動態方程如下：(1)()()()()()x kx

45、kG u ky kC x kD u k令狀態方程中的k=0，1，k-1，可得到T，2T，kT 時刻的狀態，即： k=0: k=2: k=1: k=k-1:于是，系統解為:(1)( ) (0)( ) (0)xT xG T u 2(2)( ) (1)( ) (1)( ) (0)( )( ) (0)( ) (1)xT xG T uT xT G T uG T u )2()()2()()3(uTGxTx)2()() 1 ()()()0()()()0()(23uTGuTGTuTGTxT110( )( ) (1)( ) (1)( ) (0)( )( ) ( )kkkiix kT x kG T u kT xT

46、 G T u i 110( )( )( )( ) (0)( )( ) ( )( )kkkiiy kCx kDx kCT xCT G T u iDu k 110110( )(0)( )( )(0)( )( )kkkiikkkiix kxGu iy kCxCGu iDu k 522.5 2.5 連續系統的離散化連續系統的離散化2.5.1 2.5.1 線性定常連續系統的離散線性定常連續系統的離散化化xAxBu)(0tx已知線性定常連續系統狀態方程 在及 作用下的解為: tudButtxtttxtt)(),()(),()(000kTt 0)()()(0kxkxtxTkt)1() 1() 1()(kxT

47、kxtx令，則；令則 并假定在 區間內， ，于是其解化為1,kkt 常數ktutu)(.,) 1()(,) 1() 1()1(kuBdTkkxkTTkkxTkkT(1)( )(1) , kTkTG TkTBd0( )( )TG TBd )()()()() 1(kuTGkxTkx)(T)(t( )( ) |t TTt 若記 變量代換得到 故離散化狀態方程為 式中，與連續狀態轉移矩陣的關系為 532.5.2 2.5.2 非線性時變系統的離散化及分析方法非線性時變系統的離散化及分析方法 1( ) (1)( )x kx kx kT(1)( ) ( ), ( )x kx kTf x k u k對于非線性

48、時變系統，常采用近似的離散化處理方法。當采樣周期T足夠小時，按導數定義有 代入（8-5a）得到離散化狀態方程 對于非線性時變系統，一般都是先離散化，然后再用遞推計算求數值解的方法進行對于非線性時變系統，一般都是先離散化，然后再用遞推計算求數值解的方法進行系統的運動分析。系統的運動分析。v本章作業：本章作業：88，89，81154v3.1 李雅普諾夫穩定性概念 v3.2 李雅普諾夫穩定性間接判別法 v3.3 李雅普諾夫穩定性直接判別法 v3.4 線性定常系統的李雅普諾夫穩定性分析 第三章 控制系統的李雅普諾夫穩定性分析 55如果對于所有t，滿足 的狀態 稱為平衡狀態（平衡點）。(, )0eexf

49、 x tex 0 x 1) 1) 平衡狀態平衡狀態: :3.1 3.1 李雅普諾夫穩定性概念李雅普諾夫穩定性概念 平衡狀態的各分量不再隨時間變化；若已知狀態方程，令 所求得的解 x ,便是平衡狀態。 （1）只有狀態穩定，輸出必然穩定； （2）穩定性與輸入無關。2) 2) 李雅普諾夫穩定性定義李雅普諾夫穩定性定義： 如果對于任意小的 0，均存在一個 ，當初始狀態滿足 時，系統運動軌跡滿足lim ，則稱該平衡狀態xe 是李雅普諾夫意義下穩定的，簡稱是穩定的。 表示狀態空間中x0點至xe點之間的距離，其數學表達式為：0),(0texx0extxtx),;(00exx02021100)()(nenee

50、xxxxxx3) 3) 一致穩定性：一致穩定性： 通常與、t0 都有關。如果與t0 無關，則稱平衡狀態是一致穩定的。定常系統的與t0 無關，因此定常系統如果穩定，則一定是一致穩定的。 564 4）漸近穩定性：）漸近穩定性： 系統的平衡狀態不僅具有李雅普若夫意義下的穩定性，且有： textxtx0),;(lim00 稱此平衡狀態是漸近穩定的。 5 5）大范圍穩定性：）大范圍穩定性： 當初始條件擴展至整個狀態空間，且具有穩定性時，稱此平衡狀態是大范圍穩定的，或全局穩定的。 此時 。 ,( ),Sx 6 6）不穩定性）不穩定性 ： 不論取得得多么小，只要在 內有一條從x0 出發的軌跡跨出 ，則稱此平

51、衡狀態是不穩定的。 ( )S( )S注意注意：按李雅普諾夫意義下的穩定性定義，當系統作不衰減的振蕩運動時則認為是穩定的，同經典控制理論中的穩定性定義是有差異的。經典控制理論的穩定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩定。57穩定性定義的平面幾何表示 v 設系統初始狀態 x0 位于平衡狀態 xe 為球心、半徑為的閉球域內，如果系統穩定，則狀態方程的解在的過程中，都位于以 xe 為球心，半徑為的閉球域內。 （a）李雅普諾夫意義下的穩定性 （b）漸近穩定性 （c）不穩定性583.2 3.2 李雅普諾夫穩定性間接判別法李雅普諾夫穩定性間接判別法 李雅普諾夫第一法（間接法）李雅普諾夫第一法（間接法） 是利用狀態

52、方程解的特性來判斷系統穩定性的方法，它適用于線性定常、線性時變及可線性化的非線性系統。 線性定常系統的線性定常系統的特征值判據特征值判據 系統 漸近穩定的充要充要條件是：系統矩陣A的全部特征值位于復平面左半部，即證明證明：( (略略) )Axx 0)Re(ini, 1 59 李雅普諾夫第二法（直接法）基本原理李雅普諾夫第二法（直接法）基本原理 ：根據物理學原理，若系統貯存的能量（含動能與位能）隨時間推移而衰減，系統遲早會到達平衡狀態。 實際系統的能量函數表達式相當難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數，稱之為李雅普諾夫函數李雅普諾夫函數。它與 及t 有關，是一個標量函數標量函數，記以 ；若不顯

53、含t ，則記以 。 考慮到能量總大于零，故為正定函數正定函數。能量衰減特性用 或 表示。 實踐表明表明，對于大多數系統，可先嘗試用二次型函數二次型函數 作為李雅普諾夫函數。3.3 3.3 李雅普諾夫穩定性直接判別法李雅普諾夫穩定性直接判別法 nxx,1( , )V x t( )V x( , )V x t( )V xPxxT603.3.1 3.3.1 標量函數定號性標量函數定號性 正定性：正定性：標量函數 在域S中對所有非零狀態 有 且 ，則稱 均在域S內正定。如 是正定的。負定性負定性：標量函數 在域S中對所有非零x有 且 ，則稱 在域S內負定。如 是負定的。 如果 是負定的，則 一定是正定的

54、。負（正）半定性：負（正）半定性： ，且 在域S內某些狀態處有 ，而其它狀態處均有 （ ），則稱 在域S內負（正）半定。 設 為負半定，則 為正半定。如 為正半定不定性不定性: : 在域S內可正可負，則稱 不定。如 是不定的。 ( )V x)0(x0)(xV0)0(V2221)(xxxV( )V x0)(xV0)0(V( )V x)()(2221xxxV( )V x( )V x( )V x0)0(V( )V x0)(xV0)(xV0)(xV( )V x( )V x( )V x221)2()(xxxV( )V x( )V x21)(xxxV二次型函數二次型函數 是一類重要的標量函數，記nnnnn

55、nTxxppppxxPxxxV111111)(其中，P 為對稱矩陣，有 。 jiijpp61當的各順序主子行列式均大于零時 ，即0, 0, 011112221121111nnnnppppppppp 則 正定，且稱 P為正定矩陣。當 P的各順序主子行列式負、正相間時，即 ( )V x0) 1( , 0, 011112221121111nnnnnppppppppp則 負定，且稱 P為負定矩陣。若主子行列式含有等于零的情況，則 為正半定或負半定。不屬以上所有情況的 不定。( )V x( )V x( )V x62 設系統狀態方程為 ，其平衡狀態滿足 ,不失一般性地把狀態空間原點作為平衡狀態,并設在原點

56、鄰域存在 對 x 的連續一階偏導數。 3.3.2 3.3.2 李雅普諾夫第二法諸穩定性定理李雅普諾夫第二法諸穩定性定理 ),(txfx 0), 0(tf( , )V x t( , )V x t( , )V x t( , )V x t定理定理1 1 若（1） 正定，（2） 負定；則原點是漸近穩定的。 負定表示能量隨時間連續單調地衰減，故與漸近穩定性定義敘述一致。( , )V x t( , )V x t 定理定理2 若（1）正定；（2）負半定，且在非零狀態不恒為零；則原點是漸近穩定的。( , )V x t( , )0V x t ),;(00txtx0),(txV負半定表示在非零狀態存在 ，但在從初

57、態出發的軌跡 上，不存在的情況，于是系統將繼續運行至原點。狀態軌跡僅是經歷能量不變的狀態，而不會維持在該狀態。( , )V x t( , )V x t0),(txV 定理定理3 3 若（1）正定；（2）負半定，且在非零狀態恒為零；則原點是李雅普，表示系統能維持等能量水平運行，使系統維持在非零狀態沿狀態軌跡能維持諾夫意義下穩定的。而不運行至原點。( , )V x t( , )V x t( , )V x t( , )V x t( , )V x t 定理定理4 4 若（1）正定；（2）正定；則原點是不穩定的。正定表示能量函數隨時間增大，故狀態軌跡在原點鄰域發散。正定，當正半定，且在非零狀態不恒為零時

58、，則原點不穩參考定理2可推論：推論：定。63注意：注意：李雅普諾夫第二法諸穩定性定理所述條件都是充分條件。( , )V x t( , )V x t( , )V x t),;(00ttxtxV0),(txV0 x0),(txV0),(txV具體分析具體分析時，先構造一個李雅普諾夫函數，通常選二次型函數，求其導數再將狀態方程代入，最后根據是否有恒為零：令將狀態方程代入，若能導出非零解非零解，表示對，若導出的是全零解，表示只有原點滿足的條件。的定號性判別穩定性。的條件是成立的；)(2221121xxxxx)(2221212xxxxx01x 02x 02x01x)()(2221xxxV221122)(

59、xxxxxV)(2)(2221xxxV( , )V x t( , )V x t例例3-13-1 試用李雅普諾夫第二法判斷下列非線性系統的穩定性。 解解 令及，可以解得原點（）是系統的唯一平衡狀態。，則 將狀態方程代入有 顯然負定，根據定理1，原點是漸近穩定的。鑒于只有一個平衡狀態，該非線性與t 無關，系統大范圍一致漸近穩定。取李雅普諾夫函數為 系統是大范圍漸近穩定的。因判斷判斷在非零狀態下6421xx 212xxx021 xx22212)(xxxV)(2)(212xxxxV021 xx0)(xV012xx0)(xV)(xV( , )V x t2221)(xxxV222)(xxV02x01x0)

60、(xV0)(xV)(xV例例3-23-2 試判斷下列線性系統平衡狀態的穩定性。 ，解解 令得知原點是唯一的平衡狀態。選則當時，；當時，故不定，不能對穩定性作出判斷，應重選選 ，則考慮狀態方程后得對于非零狀態（如）存在，對于其余非零狀態，故根據定理2，原點是漸近穩定的，且是大范圍一致漸近穩定。負半定。) 0(21kkxx 12xx021xx2221)(kxxxV022)(1221xkxxkxxV0)(xV例例3-33-3 試判斷下列線性系統平衡狀態的穩定性。 ，解解 由可知原點是唯一平衡狀態。選，考慮狀態方程則有 對所有狀態，故系統是李雅普諾夫意義下穩定的。6521xx 212xxx2221)(