1、Ch.3 Ch.3 線性系統的時域分析線性系統的時域分析狀態轉移矩陣的性質與計算狀態轉移矩陣的性質與計算(1/1)3.2 狀態轉移矩陣的性質與計算狀態轉移矩陣的性質與計算 q 下面進一步討論前面引入的狀態轉移矩陣, 主要內容為: 基本定義 矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質 狀態轉移矩陣的性質tttAttABtt00d)(e)(e)()(0)(uxxtttBttBttttt0000d)()()(d)()()()()(0uxuxx)(00e)(ttAtt狀態轉移矩陣的性質與計算狀態轉移矩陣的性質與計算(1/1)tttAttABtt00d)(e)(e)()(0)(uxxtttBttBttttt000

2、0d)()()(d)()()()()(0uxuxx)(00e)(ttAtt3.2.1 狀態轉移矩陣的定義狀態轉移矩陣的定義q 當系統矩陣A為nn維方陣時, 狀態轉移矩陣(t)亦為nn維方陣, 且其元素為時間 t 的函數 下面討論幾種特殊形式的系統矩陣A的狀態轉移矩陣(1) 對角線矩陣對角線矩陣 當A為如下對角線矩陣:A diag1 2 n 則狀態轉移矩陣為 式中, diag表示由括號內元素組成對角線矩陣tttAtnte.eediage)(21狀態轉移矩陣的定義狀態轉移矩陣的定義(2/4)(2) 塊對角矩陣塊對角矩陣 當A為如下塊對角矩陣: A block-diagA1 A2 Al,其中Ai為m

3、imi維的分塊矩陣, 則狀態轉移矩陣為式中, block-diag表示由括號內各方塊矩陣組成塊對角矩陣tAtAtAAtlte.eediag-blocke)(21狀態轉移矩陣的定義狀態轉移矩陣的定義(3/4)(3) 約旦塊矩陣約旦塊矩陣 當Ai為特征值為i的mimi維約旦塊, 則分塊矩陣的矩陣指數函數為10.001.00.)!2()!3(.10)!1()!2(.1ee2312tmtmtmtmttimimimimttAiiiiiiq 對上述三種特殊形式矩陣的狀態轉移矩陣和矩陣指數函數,可利用矩陣指數函數的展開式證明狀態轉移矩陣的定義狀態轉移矩陣的定義(4/4)矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質矩陣指

4、數函數和狀態轉移矩陣的性質(1/4)3.2.2 矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質q 由矩陣指數函數的展開式和狀態轉移矩陣的定義, 可證明矩陣指數函數和狀態轉移矩陣(t)具有如下性質1) (0) eA0 I2) eA(t+s) eAteAs, (t+s) (t)(s), 式中t和s為兩個獨立的標量自變量證明證明: 由指數矩陣函數的展開式, 有)(2222222.)(!.)2(! 2)(.!.! 2.!.! 2stAkkkkkkAsAtstkAststAstAIskAsAAsItkAtAAtIeee矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質(2

5、/4)3) (t2t1)1 (t1t2)4) 對于nn階的方陣A和B,下式僅當AB BA時才成立e(A+B)t eAteBt5) 6) (t)n (nt) 7) (t2t1)(t1t0) (t2t0) eee,( )( )( )dAtAtAtdAAtAtt At )()(1)(211212eeettAttAttA矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質(3/4)q 由狀態轉移矩陣的意義,有x(t2)=(t2-t1)x(t1)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0) 而x(t2)=(t2-t0)x(t0) 因此, 性質 7)表明,

6、在系統的狀態轉移過程中, 既可以將系統的一步狀態轉移分解成多步狀態轉移, 也可以將系統的多步狀態轉移等效為一步狀態轉移, 如上圖所示系統的狀態轉移系統的狀態轉移矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質矩陣指數函數和狀態轉移矩陣的性質(4/4)q 例例3-3 求如下系統的狀態轉移矩陣的逆矩陣q 解解： 對于該系統,在例3-1已求得狀態轉移矩陣為 由于1(t)=(t), 所以求得狀態轉移矩陣的逆矩陣為xx3210ttttttttAtet2222e2ee2e2eeee2)(tttttttttt22221e2ee2e2eeee2)(-)(狀態轉移矩陣計算狀態轉移矩陣計算(1/1)3.3.3 狀態轉移矩陣計算狀

7、態轉移矩陣計算 q 在狀態方程求解中, 關鍵是狀態轉移矩陣(t)的計算 對于線性定常連續系統, 該問題又歸結為矩陣指數函數eAt的計算 上一節已經介紹了基于拉氏反變換技術的矩陣指數函數eAt的計算方法, 下面講述計算矩陣指數函數的下述其他兩種常用方法 級數求和法級數求和法 約旦規范形法約旦規范形法 級數求和法級數求和法(1/3)1. 級數求和法級數求和法 q 由上一節對矩陣指數函數的定義過程中可知:.!.! 222ktAtAAtIkkAte 矩陣指數函數eAt的計算可由上述定義式直接計算 q 由于上述定義式是一個無窮級數, 故在用此方法計算eAt時必須考慮級數收斂性條件和計算收斂速度問題級數求

8、和法級數求和法(2/3)q 顯然, 用此方法計算eAt一般不能寫成封閉的和簡潔的解析形式, 只能得到數值計算的近似計算結果 其計算精度取決于矩陣級數的收斂性與計算時所取的項數的多少 如果級數收斂較慢, 則需計算的級數項數多, 人工計算是非常麻煩的, 一般只適用于計算機計算 因此, 該方法的缺點: 計算量大 精度低 非解析方法, 難以得到計算結果的簡潔的解析表達式 級數求和法級數求和法(3/3)q 例例3-4 用直接計算法求下述矩陣的矩陣指數函數:.31.32.23.1.! 2321032101001.!.! 22222222ttttttttktAtAAtIkkAte3210Aq 解 按矩陣指數

9、函數的展開式計算如下:約旦規范形法約旦規范形法 (1/8)2. 約旦規范形法約旦規范形法 q 上節給出了對角線矩陣、塊對角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣的矩陣指數函數 由于任何矩陣都可經線性變換成為對角線矩陣或約旦矩陣,因此 可通過線性變換將一般形式的矩陣變換成對角線矩陣或約旦矩陣, 再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數函數來快速計算矩陣矩陣指數函數 下面討論之q 下面首先討論矩陣指數函數的一條性質: 對矩陣A, 經變換矩陣P作線性變換后,有則相應地有如下矩陣指數函數的變換關系PPPPAttAtAAteeee111AP AP約旦規范形法約旦規范形法 (2/8)約旦規范形法約旦規范形法 (3/8)PP

10、PktAtAAtIPktAPPtAPPAPtPIktAtAtAIAtkkkkkktAee12211221122.!.! 2.!)(.! 2)(.!.! 2q 該結論可簡單證明如下:q 根據上述性質, 對矩陣A, 可通過線性變換方法得到對角線矩陣或約旦矩陣, 然后利用該類特殊矩陣的矩陣指數函數, 由矩陣指數函數的變換關系來求原矩陣A的矩陣指數函數約旦規范形法約旦規范形法 (4/8)q 例3-5 試求如下系統矩陣的矩陣指數函數51166116110Aq 解解 1. 先求先求A的特征值的特征值 由特征方程可求得特征值為1 1 2 2 3 32. 求特征值所對應的特征向量求特征值所對應的特征向量 由前

11、述的方法可求得特征值1, 2和3所對應的特征向量分別為p1 1 0 1 p2 1 2 4 p3 1 6 9 特征值、特征向量及將A變換為對角矩陣的變換矩陣P已由2.4節求出約旦規范形法約旦規范形法 (5/8)故將A變換成對角線矩陣的變換矩陣P及其逆陣P1為12/ 3134322/ 539416201111PP3. 對角線規范形及對應的轉移矩陣:ttttAAPPA321e000e000ee300020001約旦規范形法約旦規范形法 (6/8)2/e27e16-2/5ee9e12-e3e9e8-e6e6-2/e3e4-2/5eee3-e3ee3232323232321tttttttttttttttttAAtPPtttttttt323232e9-e122e-e6-6ee-e3e2-q 例3-6 試求如下系統矩陣的矩陣指數函數032100010A4. 由系統矩陣和矩陣指數函數的變換關系, 得約旦規范形法約旦規范形法 (7/8)q 解解 1. 先求先求A的特征值的特征值 由特征方程可求得特征值為1 2 2 3 1 2. 由于矩陣A為友矩陣, 故將A變換成約旦矩陣的變換矩陣P和其逆陣P1分別為336128121912141120112101112222121PPtttttAtAPPAe00ee000ee100110002213.