1、線 性 代 數主講：劉開宇引引 言言 歷史上線性代數的第一個問題是關于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創立與發展，這些內容已成為我們線性代數教材的主要部分。 線性方程組問題大都是來源于生活實踐。比如，數值天氣預報、土木結構設計等實際問題都可歸結為大規模線性方程組的求解。因此，我們有必要進一步了解線性方程組的理論體系。引引 言言 本章中我們首先介紹 n 階行列式的定義并討論它的性質和計算方法, 然后再介紹用 n 階行列式求解 n 元線性方程組的克萊姆法則。完完 行列式出現于線性方程組的求解，它最早是一種速 記的表達式，現在已經是數學中一種非常有用的

2、工具。1750 年，瑞士數學家克萊姆利用行列式并給出了現在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則，在此基礎上線性方程組的理論體系得以逐步建立起來。 目 錄第一章行列式行列式第二章矩陣理論矩陣理論第三章 向量空間向量空間第四章線性方程組線性方程組 第五章二次型二次型48學時的初步分配：第一章：用4次課; 第二章：用6次課; 第三章：用7次課; 第四章：用3次課; 第五章：用4次課; 1. 準確、熟練地掌握基本概念、基本解法，了解相關的基本理論.注意由高維到低維，再由低維到高維的一般學習方法；注意邏輯性、嚴密性；掌握演繹、類比、歸納、反證等線代學習的方法和技巧。2. 認真聽好課，及時預習和復習; 按質

3、、按量及時完成作業;要勤于思考，要反復練習.學習要求成績評定：平時(考勤和作業)20%+三次機考30%+期終考試50%參考書:1） 線性代數 同濟大學第五版2） 線性代數輔導書 西安交通大學出版社(內容提要,基本方法,釋疑解惑,典型例題,自測題)第一章行列式第一章行列式n 階行列式的定義階行列式的定義行列式按行（列）展開定理行列式按行（列）展開定理與克拉默法則與克拉默法則結束結束行列式的性質行列式的性質第一章第一章 行行 列列 式式第一、二節第一、二節 行列式及其基本性質行列式及其基本性質本節教學要求： 知道數組的排列、排列的逆序數。 了解 n 階行列式的概念及其性質。 能熟練地計算二、三階行

4、列式。 能運用行列式的性質計算高階(n4)行列式。一一. 二、三階行列式二、三階行列式二二. 有序數組排列的逆序數有序數組排列的逆序數三三. n 階行列式的定義階行列式的定義第一、二節第一、二節 行列式及其基本性質行列式及其基本性質四四. 行列式的基本性質行列式的基本性質一. 二、三階行列式1. 二階、三階行列式的概念2. 二、三階行列式的對角線法4. 行列式的基本性質3. 幾種特殊的行列式用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，

5、得兩式相減消去2x1. 二、三階行列式的概念;212221121122211baabxaaaa）（，得類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（時，當021122211aaaa方程組的唯一解為，211222112122211aaaabaabx）（ 3.211222112112112aaaaabbax由方程組的四個系數確定. 二階行列式的定義 : 2 2 2 2列的數表行、個數排成將22211211aaaajia數行在所數列在所 , 21122211記為為數表所對應的行列式則稱aaaa 2112221122211211。aaaaaaaa , ) ( 稱之為二階行列式。

6、數或列依據它的行項共 ! 2 三階行列式 : 3 3 3 2列的數表行、個數排成將 333231232221131211aaaaaaaaa 322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 則稱 , 記為為數表所對應的行列式 322311332112312213。aaaaaaaaa 322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa , ) ( 稱之為三階行列式。數或列依據它的行項共 ! 3 2. 二、三階行列式的對角線法 二階行列式的對角線法 2112221122211211

7、。aaaaaaaa 22211211aaaa 主對角線 副對角線的乘積積副對角線上的元素主對角線上的元素的乘 333231232221131211aaaaaaaaa 三階行列式的對角線法 素的乘積的和元與平行于主對角線上的積主對角線上的元素的乘 322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 三階行列式的對角線法 素的乘積的和元與平行于副對角線上的積副對角線上的元素的乘 322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa

8、例解解 5 4 230 3 2 41 。計算D 243)2()3()4(501D 53)4(14)3(20)2( 72)60()12(024240。例解解 1111cossin1sincos 。計算xxxxD 1111cossin1sincos xxxxD sincos22。xx 1) 1(sin1 1 sin1coscosxxxx 1sinsincos1) 1(1cos1xxxx 若二元線性方程組 , 1212111bxaxa , 2222121bxaxa , 0 解則該線性方程組有唯一的系數行列式D . , 2211DDxDDx , 其中. , ,221111222212112221121

9、1babaDababDaaaaD) 1 (時，當021122211aaaa方程組的解為，211222112122211aaaabaabx.211222112112112aaaaabbax , 1212111bxaxa , 2222121bxaxa.性方程組的克拉默法則公式（1）稱為二元線 , 0 解則該線性方程組有唯一的系數行列式D方程組類似地，對于三元線性 , 1313212111bxaxaxa , 2323222121bxaxaxa 3333232131bxaxaxa. , , 332211DDxDDxDDx , 其中 . , , ,3323122221112113333312322113

10、11123332323222131211333231232221131211baabaabaaDabaabaabaDaabaabaabDaaaaaaaaaD)2(.性方程組的克拉默法則公式（2）稱為三元線3. 幾種特殊的行列式 .)1轉置行列式 , , 序而不改變各行各列的順的行列互換將行列式 D , 記為的轉置行列式原行列式所得到的新行列式稱為D 。或DDT , 333231232221131211aaaaaaaaaD 332313322212312111。則aaaaaaaaaDT3. 幾種特殊的行列式 .)2三角形行列式 , 全部為零的主對角線一側的元素若行列式 D 00033232213

11、1211aaaaaaD 為三角形行列式。則稱 D ; 列式為零的稱為上三角形行主對角線下側的元素全 ; 列式為零的稱為下三角形行主對角線上側的元素全 000333231222111aaaaaaD 上三角形 下三角形 的元素為零。主對角線上不排除3. 幾種特殊的行列式 .)3對角形行列式 , 全部為零的主對角線兩側的元素若行列式 D 000000332211aaaD 為對角形行列式。則稱 D 的元素為零。主對角線上不排除 000000332211332211。aaaaaaD 000332211332322131211。aaaaaaaaaD 000332211333231222111。aaaaaa

12、aaaD :直接進行計算可得 ) ( 對角形 ) (上三角形 ) (下三角形。乘積為主對角線上各元素的 D3. 幾種特殊的行列式 .)4對稱行列式 , 為對稱行列式。則稱的元素滿足若行列式DaaDi jj i 。式反對稱行列為則稱的元素滿足若行列式DaaDi jj i, ) (上的元素必全為零。線角對主的反對稱行列式 , 332313232212131211aaaaaaaaaD 對稱行列式 , 000 231323121312aaaaaaD 反對稱行列式 0 。于三階的反對稱行列式等例 :稱的、反對稱的下列行列式中那個是對 065623531 065603530 005003530 10001

13、0001 對稱的 反對稱的 都不是 反對稱的 對稱的7414031324. 行列式的基本性質 1 性質 式相等。行列式與它的轉置行列 。TDD 332313322212312111aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa4. 行列式的基本性質 2 性質 , ) ( 行列式僅改變符號。列對調行列式的任意兩行 333231131211232221aaaaaaaaa 12112221aaaa 2 的推論性質 ) ( 零。的元素相同的行列式為列有兩行4. 行列式的基本性質 3 性質 , ) ( 個數的所有元素都乘以同一列行列式的某一行 乘以這個行列式。等于用數 333

14、231232221131211aaaaaaaaa 22211211aaaa 1 3 的推論性質 ) ( 等于零。的元素全為零的行列式列有一行 2 3 的推論性質 ) ( 行列式的外面。元素的公因子可以提到列行列式的某一行 , ) ( 的對應元素成比例列若行列式的兩行 則該行列式為零。3 3 的推論性質4. 行列式的基本性質 4 性質 333231232221131312121111aaaaaabababa 333231232221131211333231232221131211。aaaaaabbbaaaaaaaaa ) ( 列可以是對某一行4. 行列式的基本性質 5 性質 , ) ( 數后的各

15、元素乘以同一個常列將行列式的某一行 , ) ( 行列式的值不變。的對應元素上列加到另一行 333231232221231322122111aaaaaakaakaakaa 333231232221131211aaaaaaaaa二. 有序數組排列的逆序數 :數組的排列 , , , , 21組成的一個有序數字組個數字由naaan 級排列。稱為一個 n ! 級排列。個個數字共有nnn定定 義義 , ,個數的左邊比它大的數字的數字在一組排列中ia 的逆序數。稱為數字ia ),( , , , , , : 2121。記為稱為該排列的逆序數數的和中的各個數字的逆序級排列一個nnaaaaaan 排列32514

16、中， 故此排列的逆序數為3+1+0+1+0=5.例3 2 5 1 40 1 0 3 1逆序數為奇數的排列稱為奇排列;逆序數為偶數的排列稱為偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性 計算下列排列的逆序數，并討論它們的奇偶性. 2179863541解解45368971254431001018 此排列為偶排列.54 0100134 例 321212 nnn解解12 ,21 nn當 時為偶排列；14 ,4 kkn當 時為奇排列.34 , 24 kkn1 n 2 n 32121 nnn1 n 2 n三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaa

17、aaaa332112322311312213aaaaaaaaa說明說明(1) 三階行列式共有 項，即 項6! 3(2) 每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積 每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三個 元素的下標排列例如322113aaa列標排列的逆序數為, 211312322311aaa列標排列的逆序數為, 101132偶排列奇排列正號,負號 322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa : 6 , 3 2 1 個共有三個數字組成的排列、由 6 3 ！ ; 0)3 , 2 , 1 ( ; 2) 1 , 3 , 2( ; 2)

18、2 , 1 , 3( ; 3) 1 , 2 , 3( ; 1)3 , 1 , 2( ; 1)2 , 3 , 1 ( 偶 奇 偶 偶 奇 奇 322311332112312213。aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa ; 0)3 , 2 , 1 ( 偶 ; 2) 1 , 3 , 2( 偶 ; 2)2 , 1 , 3( 偶 322311332112312213aaaaaaaaa ; 3) 1 , 2 , 3( 奇 ; 1)3 , 1 , 2( 奇 ;

19、 1)2 , 3 , 1 ( 奇 322311332112312213。aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa ) 1() 1() 1(322113)2, 1 , 3(312312)1 , 3 , 2(332211)3 , 2, 1(aaaaaaaaa ) 1() 1() 1(322311)2, 3 , 1(332112)3 , 1 , 2(312212)1 , 2, 3(aaaaaaaaa。 ) 1(),(321),(321321321jjjjjjjjjaaa ; 3 2 1 ),( 321的所有排列

20、、表示數字其中jjj 式三階行列式的一般定義 333231232221131211aaaaaaaaa。 ) 1(),(321),(321321321jjjjjjjjjaaa ; 3 2 1 ),( 321的所有排列、表示數字其中jjj ; ),( 321),(321求和表示對所有排列jjjjjj ),( ),(321321的逆序數。是排列jjjjjj 階行列式推廣至n ) 1(),(21),(212121nnnjjjnjjjjjjaaa ; )2( 2 1 ),(21的所有排列、表示數字nnjjjn ; ),( 21),(21求和表示對所有排列njjjjjjn ),( ),(2121的逆序數。

21、是排列nnjjjjjj則稱列的數表行、個數排成將 , 2nnn 212222111211nnnnnnaaaaaaaaa , , )( det , 其中或記為階行列式為一個ijnaDn三. n 階行列式的定義說明說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而定義的;2、 階行列式是 項的代數和;n! n3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積;nn4、 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆;aa 5、 的符號為nnpppaaa2121.1),(21nppp計算行列式0004003002001000分析展開式中項的一般形式是43214321p

22、pppaaaa41p若, 011 pa從而這個項為零，所以 只能等于 , 1p4同理可得1, 2, 3432 ppp例解解0004003002001000432114321.24即行列式中不為零的項為.aaaa41322314計算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211例分析展開式中項的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211nnnaaa2211121.2211nnaaa 解解nnnnaaaaaa00022211211?800065001240

23、4321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 例同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21證明對角行列式例n 2111, 212111nnnnnaaa .12121nnn 證明證明第一式是顯然的,下面證第二式.若記,1, iniia 則依行列式定義11,21nnnaaa 證畢已知 1211123111211xxxxxf .3的系數求 x思考題解答思考題解答解解含 的項有兩項,即3x 1211123111211xxxxxf 對應于433422111243

24、1aaaa44332211)1234(1aaaa,1344332211)1234(xaaaa343342211124321xaaaa. 13的系數為故 x四. 行列式的基本性質 行列式的性質相同。階行列式的性質與三階n , ,212222111211nnnnnnnaaaaaaaaaD例如 , 212221212111。且則TnnnnnnnnTnDDaaaaaaaaaD 轉置行列式 行列式與它的轉置行列式相等. .定義定義在排列中，將任意兩個元素對調，其余元素不動，這種作出新排列的手續叫做對換將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbb

25、aaa111nmlccabbbaa111baab對換與排列的奇偶性的關系對換與排列的奇偶性的關系定理定理1 1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性證明證明設排列為mlbbabaa11對換 與abmlbbbaaa11除 外，其它元素的逆序數不改變.b,aabba當 時，ba ab的逆序數不變;經對換后 的逆序數增加1 ,經對換后 的逆序數不變， 的逆序數減少1.ab因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.設排列為nmlcbcbabaa111當 時，ba 現來對換 與a.b次相鄰對換mnmlccbbabaa111次相鄰對換1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相鄰

26、對換12 m,111nmlcacbbbaa所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab :根據排列的性質 , 其逆序數變更奇偶性。數字任意對換排列中的兩個 :可以得知 2! , ! 項為其中項級排列共有個數字的所有nnnn 2! , 項為奇排列。偶排列n ! 個既不同行每一項是。項階行列式共有nnn )( 。不含元素符號帶負號 2! , 2! , 項項帶正號其中有元素的乘積又不同列的nn 階行列式也可定義為n,) 1()()()(2122112121nnnnnqqqqpqpqpqqqpppaaaD其中 是兩個 級排列， 為行標排列逆序數與列標排列逆

27、序數的和. .nnqqq,ppp2121n 思思 考考證明證明的轉置行列式記)det(ijaD ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabjiij即按定義.1121212121npppnpppTnnaaabbbD 又因為行列式D可表示為.12121npppnaaaD 行列式與它的轉置行列式相等. . 互換行列式的兩行（列）,行列式變號. .設行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD說明說明 行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.是由行列式 互換 兩行得到的, ijaDdetji,于是n

28、jinpjpippbbbbD1111,1為自然排列其中nji.1的逆序數為排列njipppp,11的逆序數為設排列nijpppp則有即當 時,jik, ;kpkpab 當 時,jik,ipjpjpipabab njinpipjppaaaa111,111nijnpjpippaaaa例如,111故.11111DaaaaDnijnpjpipp證畢,571571 266853.825825 361567567361266853 同學們課后自行證明。階行列式的其余性質請n2101044614753124025973313211 D3 應用舉例應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式計算行列式常用方法

29、：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 例2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 22

30、20020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第 列都加到第一列得n, 3 , 2解解計算 階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 例 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例解解 解方程 0 ) 1(111121111111111 。xnxx , , ,得每一行都減去第一行從第二行起運用性質 )2(0000100