1、實驗二連續計息問題【實驗目的】1加深對極限、微分求導、極值等基本概念的理解。2討論了微分學中的實際應用問題。3掌握MATLAB軟件中有關極限、級數、導數等命令。【實驗內容】若銀行一年活期年利率為，那么儲戶存10萬元的人民幣，一年到期后結算額為10×（1）萬元。如果銀行允許儲戶在一年內可任意次結算，在不計利息稅的情況下，若每三月結算一次，由于復利，儲戶存的10萬元一年后可得10×1/4萬元，顯然這比一年結算一次要多，因為多次結算增加了復利。結算越頻繁，獲利越大。現在我們已進入電子商務時代，允許儲戶隨時存款或取款，如果一個儲戶連續不斷存款取款，結算本息的頻率趨于無窮大，每次結算

2、后將本息全部存入銀行，這意味著銀行要不斷地向儲戶支付利息，稱為連續復利問題。連續復利會造成總結算額無限增大嗎？隨著結算次數的無限增加，一年后該儲戶是否會成為百萬富翁？如果活期存款年利率為2.9%，那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定為多少才是等價的？【實驗準備】1極限和連續極限是高等數學最基本的概念，它帶來了很多深刻的結果。數列極限：如果對0，存在正整數，使得當時有|（1）則稱為數列的極限，或稱收斂于。記為，或 （2）直觀上表示：趨于無窮大時，無限接近。函數極限：如果當時，有，則稱為函數當時時的極限。記為 （3）若僅當且，（或）時有，則稱為當時的右極限（或左極限），記為（或）。當時，的極限

3、存在且等于這個值。連續：若（），則在處右連續（或左連續）。若在處右連續且左連續國，則稱在處連續。若在區間（，）內每一點都連續，則稱在開區間（，）連續。進一步，若還在處右連續而且在處左連續，則稱在閉區間，連續。定理1連續函數在閉區間上必然能達到最大值和最小值，且可取得最大值和最小值間的任意值。2微分與導數設與是相關聯的兩個變量，用函數表示為。對于的一個無限小的增量（稱為差分），引起的一個無限小的增量，若 （4）其中是不依賴于的常數，而是的高階無窮小量（即/0），那么稱在可微，并記為 （5）其中，分別稱為和的微分。函數在點的導數定義為 （6）它反映了在點附近函數的變化率。當0，函數在點附近是上升的

4、，反之0，函數在點附近是下降的，而當0，往往（但不一定）標志函數在點達到局部極小或局部極大。定理2函數在點附近達到局部極小（或局部極大）的充分條件是0，且0，或0。從幾何意義上說，是函數在點切線的斜率，顯然有，可見導數是微分的商，所以也稱微商。由導數的定義，若在處可導，設0且足夠小，由（6）式的右極限得由（6）式的左極限得分別稱為向前差商和向后差商。事實上，對于連續函數，兩式正好求得右導數和左導數，兩式平均得（7）稱為中心差商，用中心差商求得的導數精度較高。Taylor公式是微分學中一個非常重要的結論，當在含有某個開區間內具有直到1階的導數，那么當（，）有（8）其中是與之間的某個值。Taylo

5、r公式表明，一個可微性很好的函數可局部地用多項式函數近似地代替。特別地，當0可得到微分中值定理 （9）它表明在與之間存在一點，使得恰為從到的平均變化率，但中值定理不能給出的確定位置。當離不遠，且在附近連續，有 （10）它表明任意光滑函數可局部線性化，常用于非線性函數的近似分析和計算。3求極限、導數和MATLAB命令求函數的極限，使用命令limitlimit( F , x , a )返回符號表達式F當xa時的極限；.limit( F , x , a ,'right' )返回符號表達式F當xa時的右極限；limit( F , x , a, 'left' )返回符號表

6、達式F當xa時的左極限。求函數的導數和Taylor展開式，可使用命令diff、polyder和TaylorY = diff( X )返回向量X的差分；Y = diff( X , n )返回向量X的n階差分；diff( S , 'v' )返回符號表達式S對變量v的導數；diff( S , 'v' , n )返回符號表達式S對變量v的n階導數；k = polyder( p )返回多項式p的導數；k = polyder( a , b )返回多項式a×b的導數；r = taylor( f , n , v , a )返回符號表達式f關于變量v在a點處Taylor

7、展開到n次式；有關上述命令的詳細用法可查閱MATLAB幫助。例1，導函數的值能反映函數的變化。當當0，函數在點附近是上升的，反之0，函數在點附近是下降的，而當0，往往（但不一定）標志函數在點達到局部極小或局部極大，下面我們通過圖象來認識。考慮函數在2，2內的圖象，MATLAB命令窗口輸入下述命令：>> syms x;%定義x為符號變量>> fun='x*x*cos(x2+3*x-4)'%定義函數的表達式>> fplot(fun,-2,2) %繪函數fun在區間2，2內的圖象>> grid%添加網格圖2.1函數在2，2內的圖象在圖2

8、.1中可以明顯看到在0.5和1.5附近各有一個局部極小值點，在1附近有一個局部極大值點，在區間0.5，0.5內有一個不明朗地帶。接下來我們看導函數：>> dfun=diff(fun)%求函數fun的導函數dfun = 2*x*cos(x2+3*x-4)-x2*sin(x2+3*x-4)*(2*x+3)>> dfun=char(dfun);%將fun轉換成字符串>> hold on%在圖2.1里繼續繪圖，圖1中fun的圖形不變>> fplot(dfun,-2 2,'r')%在圖2.1里用紅色線繪制導函數在區間2，2的圖形圖2.2函數

9、的單調性和導函數通過圖2.2可以直觀地看到與的關系，進一步我們考慮區間0.5，0.5內函數的變化情況：>> hold off%重新在另一個圖形窗口繪圖>> fplot(dfun,-0.5 0.5,'r')%繪制在區間0.5，0.5內的圖形>> grid圖2.3區間0.5，0.5內極值點的發現從圖2.3可以明顯地看到，在0.2和0附近還有兩個零點，從的變化趨勢知道前者為的極小值點，后者為的極大值點。【實驗方法與步驟】1引例問題的分析求解一般地，設儲戶結算結算頻率為，年利率為，第次結算本息的結算額為，那么可以得到下列差分方程，100000對上述差

10、分方程化簡，得100000隨著結算次數的無限增加，即在上式中，故一年后本息共計：100000在MATLAB命令窗口輸入下述命令：>> syms n>> a=limit(100000*(1+0.029/n)n,n,inf)a =1.0294e+005可見，隨著結算次數的無限增加，一年后本息總和將穩定于1.0294e+005元，儲戶并不能通過該方式成為百萬富翁，實際上，年利率為，>> syms n r>> a=limit(100000*(1+r/n)n,n,inf)a =100000*exp(r)一年結算無限次，總結算額有一個上限，即100000*exp(r)元，它表明在時，結果將穩定于這個值。我們把連續活期存款利率作為連續復利率，2.9%，設一年定期的年利率為，那么應有1從而有12.94%同理，三年定期的年利率為（1）/33.03%相應，十年定期的年利率為（1）/103.36%一般情況下，銀行的定期利率要更高，以鼓勵長期定期存款。【練習與思考】1本世紀初，瘟疫還常常在某些地區流行。現假設有這樣一種傳染病。任何人得病后，在傳染期內不