1、第5章 離散時間系統的相位、 結構與逆系統5.1 離散時間系統的相頻響應；5.2 FIR 系統的線性相位；5.3 具有線性相位系統的零點分布；5.4 全通系統和最小相位系統；5.5 譜分解；5.6 FIR 系統的結構；5.7 離散時間系統的 Lattice 結構；5.8 逆系統（狀態變量）5.1 離散時間系統的相頻響應()()()jjjH eH ee 幅頻響應相頻響應() :( ):jH e 如果：( )k 我們稱其為線性相位若( )k 也稱為線性相位()()()()()xjjjjkjY eH eX eX ee()1jH e對輸入 ，有( )x n假定：所以( )()y nx nk輸出是輸入的

2、簡單移位，移位的大小正比于 因此不會發生失真。k( )k p.97 時移性例：令100( )cos()cos(2()y nnknk則沒有發生相位失真00( )cos()cos(2)x nnn()jjkH ee具有線性相位例：令若200( )cos(/4)cos(2)y nnn則發生了相位失真00( )cos()cos(2)x nnn()()jjH ee 00/403/2( )3/2 -1001020-202-1001020-202-1001020-202( )x n1( )y n2( )y n 如果系統的相頻響應不是線性的，而輸入信號由多個正弦信號組成，那么系統的輸出將不再是輸入信號作線性移位

3、后的組合，因此，輸出將發生相位失真。 ( )( )gdd 定義為系統的群延遲(Group Delay, GD)顯然: 若系統具有線性相位，則其群延遲為常數00( )( )cos(),( ):Narrowband Signalacx nx nnx n若則0000( )()()cos()jagpy nH ex nn 即相位延遲 反映了載波信號的延遲， 而群延遲 反映了輸出包絡的延遲。 0()p0()g思考：如何實現對信號的零相位濾波？若 要保證系統是因果的，又如何實現？( )( )p )(nh5.2 FIR 系統的線性相位 在絕大部分信號處理的場合，人們都期盼系統具有線性相位，但是，如何實現線性相

4、位？對 FIR 系統，如果保證：( )(1)0,1,1h nh NnnN 則該系統具有線性相位。( )(1)h nh Nn :even:oddNN上述對稱有四種情況：第一類 FIR 系統偶對稱( )h n( )(1)h nh Nn :even:oddNN奇對稱( )h n第二類 FIR 系統1. 為奇數N10()( )Njj nnH eh n e1(3) 2120(1)/21( )( )()2NNNjj nj nnnNNh n eh n ehe1mNn 令并利用 的對稱性，有()jH e(3) 2(3) 2(1)00()( )(1)NNjj nj NmnmH eh n eh Nm e 1()2

5、1()2NjNhe第一類 FIR 系統(3) 2(1)/20112( )cos()()22Nj NmNNeh mmh()jH e(1) 2nNm令1()02( )12 ()1,2,(1) 22Nhna nNhnnN令(1) 2(1)/21112()cos()()22Nj NnNNehnnh()jH e實數(1) 2(1)/20()( )cos()Njj NnH eea nn最后有(1) 20( )(1)2( )( )cos()NgnNHa nn 相位增益 所以，只要保證濾波器的系數偶對稱，該濾波器必然具有線性相位。 也呈偶對稱，對呈偶對稱，對20)(20)cos(gHn2(1)/211()2

6、()cos() 22Njj NnNH eehnn2. 為偶數N( )2 (),1,2,22NNb nhnn令2(1)/211()( )cos() 2Njj NnH eeb nn則呈偶對稱呈偶對稱或，對呈奇對稱對奇對稱對，）（為偶數時偶對稱，)()2cos(0)21(cos,20)()21(cos)2(0) 1(, 0)(, 0)21(cos(1)(ggggHnnHnzHHnNnh( )(1)h nh Nn 第二類 FIR 系統3. 為奇數N1(1) 2221()( )sin()NNjjnH eec nn1( )2 ()1,2,(1) 22Nc nhnnN( )(1)/2/2N 呈奇對稱，對處呈

7、奇對稱，在，在）（為奇數時奇對稱，20)(20)sin()2(0) 1(, 0)(, 0)sin(20)sin(1)(gggHnzHHnnNnh4. 為偶數N122211()( )sin ()2NNjjnH eed nn( )2 ()1,2,22Nd nhnnN( )(1)/2/2N 呈偶對稱對呈奇對稱，對處呈偶對稱在處呈奇對稱，在，在）（為偶數時奇對稱，,)(20)(20)21sin()2(, 0) 1(, 0)(, 0)21sin(20)21sin(1)(ggggHHnzHHnnNnh的線性組合，在 時， 易取得最大值，因此這一類濾波器易體現低通特性，且是偶函數。通過頻率移位，又可體現高通

8、、帶通、帶阻特性。所以，經典的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的 都是偶對稱的。說明： 第一類 FIR 系統是cos()n0()jH e( )h n的線性組合，在 時， 的值為零，且是奇函數。這一類濾波器都是作為特殊形式的濾波器，如 Hilbert變換器、差分器等。第二類 FIR 系統是sin()n0()jH e 最好取為奇數，以便以中心點為對稱。N思考：四類濾波器的對稱點在何處請掌握四種情況下線性相位表達式的推導方法所以， 的零點也是 的零點, 反之亦然( )H z1()H z5.3 具有線性相位的FIR系統的零點分布1100( )( )(1)NNnnnnH zh n zh Nn z 1mNn

9、令1(1)0( )NNnnzh n z 則1(1)0( )( )NNmmH zh m z (1)1()NzH z ( )H z 的零點: 零點分布可能有四種情況(單位圓上及其內）：1. 不在實軸也不在圓上，應是一對共軛零點，模1;2. 不在實軸，但在圓上，也是一對共軛零點；模1；3. 在實軸但不在圓上，無共軛，角度0， ，模1;4. 在實軸，且在圓上，無共軛，角度0， ，模1;( )H zkjkkerz .0, ,1kkar1111( )(1)(1)11(1)(1)kkkkjjkkkjjkkHzz r ez r ezezerr四個零點同時存在, 構成四階系統.kz在單位圓內把該式展開，其系數也

10、是對稱的，是具有線性相位的子系統。（不在實軸也不在圓上，應是一對共軛零點，模1）有鏡象零點.0, ,1,.kkkbrz在實軸上)11)(1 ()(11kkmrzrzzH無共軛零點, 有鏡象零點)1)(1 ()(11kkjjlezezzH.0, ,1,.kkkcrz在單位圓上無鏡象對稱零點, 有共軛零點.(在實軸但不在圓上，無共軛，角度0， ，模1)( 不在實軸，但在圓上，是一對共軛零點；模1 )kmlnnlmkzHzHzHzHzH)()()()()(一個具有線性相位的FIR數字濾波器的轉移函數可表示為上述四類 FIR 子系統的級聯，即：很容易證明，每一個子系統的系數都是對稱的，因此它們都具有線

11、性相位。.0, ,11,1kkkdrz)1 ()(1zzHn無鏡象零點, 也無共軛零點. ( 在實軸，且在圓上，無共軛，角度0， ，模1 )5.4 全通系統和最小相位系統 如果一個系統的幅頻響應對所有的頻率都等于1 (或一個常數), 即1| )(|japeH|0則稱系統 為全通系統。)(zHap( )kapHzz最簡單的全通系統，純延遲全通系統1111( )11apzHzz一階全通系統：Pole:,Zero:1zz鏡像對稱212( )( )()apapapHzHz Hz22()()()jjjapapapHeHeHe二階全通系統： 111111(1)(1 ()( )(1)(1)apzzHzzz一

12、對位于單位圓內的共軛極點，一對共軛零點和極點以單位圓為鏡像對稱(共軛并求倒數）111( )11NkapkkkzHzz 高階全通系統：1高階全通系統的另一種表示形式1(1)111212( )1NNNNapNNaaza zzHza za za z 1()( )( )NapzA zHzA z 即2*()()()1jjjapapapHeHeHe對該全通系統，請自己證明：式中系數a1, a2,aN 均為實數 1 . 是IIR系統(不考慮純延遲形式）； 2. 極點數和零點數相等； 3. 極點和零點是以單位圓鏡像對稱的； 4. 極點都在單位圓內,零點都在單位圓外； 5. 每一對極零點都是鏡像對稱的，且零點在

13、單位圓外， 由零變到 時，相頻響應 是單調遞減的(全通系統的群延遲始終為正值)全通系統的特點：)(IIR系統的 無限長，無法對稱，即無法作到線性相位。在實際中，可以用一個全通系統和IIR系統相級聯，在不改變幅頻響應的情況下對相頻響應做矯正，使其接近線性相位。( )h n全通系統的應用：全通系統還廣泛應用在系統分析及一些特殊濾波器的設計方面-101-1-0.500.51(a)00.20.400.511.5(b)00.20.4-4-3-2-10(c)05101520-0.500.51(d) 一階全通系統極零圖幅頻相頻抽樣響應)cos()(2)sin()(arctan)(arg11jeHrad)(2

14、/-101-1-0.500.51(a)00.20.400.51(b)00.20.4-8-6-4-20(c)0102030-0.500.51(d) 三階全通系統相頻響應rad)(2/極零圖幅頻 一個離散系統，其極點必須在單位圓內，但對零點沒有限制，如果：1. 所有的零點都在單位圓內： 最小相位系統；2. 所有的零點都在單位圓外： 最大相位系統；3. 單位圓內、外都有零點 ： 混合相位系統。最小相位系統1. 在具有相同幅頻響應的因果的穩定的濾波器 集合中, 最小相位濾波器具有最小的相位偏移最小相位系統的性質：例：作為練習，請證明如下兩個系統具有相同 的幅頻響應：1111( ),1,11zbbzH

15、zabzaaz1211( ),1,11bzbzHzabzaaz那一個是最小相位系統1111( ),1,11zbbzH zabzaaz1211( ),1,11bzbzHzabzaaz00.20.4024(a)00.20.4-1.501.53(b)0510152000.20.40.60.81(c)05101520-1-0.500.51(d)幅頻相頻21)(1nh)(2nh單位抽樣響應更集中在n=0附近2. 在所有具有相同幅頻響應的離散系統中, 最 小相位系統的 具有最小的延遲；( )h n令：20()( )0MnE Mh nM 累積能量有：22min00( )( )MMnnhnh n所以，最小相位

16、系統的單位抽樣響應又稱最小延遲序列。思考： 具有線性相位的FIR系統是否是最小相位系統？/31 2/31 212/31/31/31/3122/31 2/31 232(1 0.5) (1 0.5)( )1 0.81(1 0.5)(1 0.5)(0.5)(0.5)( )1 0.81(0.5) (0.5)( )1 0.81jjjjjjjjezezH zzezezezezHzzezezHzz例. 三個系統它們具有相同的幅頻響應，試判斷，那一個是最小相位系統？最大相位系統？混合相位系統？請注意：為保證系統具有相同的幅頻響應（相同的定標）， 的表達式。123( ),( ),( )H zHzHz-101-1

17、01222-202-1012-202-10122200.250.50102000.250.5-20-1001001020-20201020-20201020-20201020051015121E3E)(1nh)(2nh幅頻3.對于穩定因果系統，當且僅當其是最小相位 系統時, 該系統才有逆系統 （Inverse System) 令( )( )( )N zH zD z記INV1( )( )( )( )D zHzH zN z 的逆系統( )H z( )H zINV( )Hz( )y n( )x n( )x nDeconvolution(反卷積）System identification(系統辨識）1

18、)(),()()()()()( (z) 729. 011)(/1)( 729. 01)( )()(3 , 0, 0)(;729. 0)3(, 1)0( 33zYnnxzXzXzHzHYzzHzHzzHzYzHnnhhhINVINVINV則若則所以因為的輸出求其逆濾波器例如4. 任一非最小相位的因果系統的轉移函數均可由一個最小相位系統和一個全通系統 級聯而成, 即：)()()(minzHzHzHap由于最小相位系統有著以上特殊的性質，因此有著廣泛的應用，特別是在信號的建模與系統辨識方面。要理解，具有相同幅頻響應的系統，它們所對應的轉移函數可以是不相同的，區別就在于相位（或零點的位置）。那么，如何

19、由一個最小相位系統得到具有相同幅頻響應的最大相位、混合相位系統？設 有一個零點在單位圓之外,即 其余的極零點均在單位圓內,則 可表示為, 是最小相位的, 又可表示為 )(zH, 1,/100zzz)(zH)()(011zzzHzH（)(1zH)(zH 例題：1*001min1*0011*011*01*00111)(1)1)(11)()(zzzzzHzzzzzzzHzzzzzzzHzH圓內的零點位于單位全通系統最小相位具有相同的幅頻響應和)()(minzHzH5.5 譜分解（Spectral factorization)1,0 ,)1)(1 ()(1,0 ,)1)(1 ()(1,0 ,)1)(1

20、 ()(1,0 ,)1)(1 ()(12min11max11minbabzazzHbabzazzHbabzazzHbabzazzHmix系統還可構建兩個混合相位統可構建一個最大相位系統若已知一個最小相位系具有相同的幅頻特性)()()1)(1)(1)(1 ()()(max1max111minminzHzHbzazbzazzHzH顯然：幅頻特性一樣1( )( )()P zH z H z若顯然， 具有線性相位 或零相位( )P z零點以單位圓鏡像對稱將一個轉移函數的極零點重新分配，得到兩個轉移函數， 這一過程（或方法）就稱為“譜分解”。最常用的是將具有線性相位系統的轉移函數作分解，并且往往是分解成兩

21、個具有相同幅頻響應的子系統。譜分解定義：1( )( )()P zH z H z)()()(10zHzHzP或( )p n=1.0000 ，4.0500，8.1000 ，14.9956，27.7248，43.2996，51.1831，43.2996，27.7248，14.9956，8.1000，4.0500，1.0000例. 令顯然，該系統具有線性相位，共有12個零點：0.8,1/0.8,0.6,1/0.6,2/32/3/3/3,0.6,/0.6jjjjeeee 下圖是對 作譜分解的結果，可以看出，分解后的兩個系統具有相同的幅頻響應。( )P z 譜分解的目的是想得到因果的、符合某種要求的系統，

22、這在信號建模、特殊濾波器的設計中經常要用到。分解的一般方法是： 令一個系統是最小相位系統； 則另一個系統必然是最大相位系統。這樣，兩個系統都有著相同的幅頻響應。 另外一種分解方法是得到兩個混合系統，目的是保證它們都具有線性相位。0510020406000.250.500.51-2-101-101221200.250.500.510510012-101-101600.250.500.510510051015-2-101-1016( )P z( )P z( )H z1()H z)(np)(0nh)(1nh幅頻5.6 FIR 系統的結構直接實現:12012( )( )MMY zX z bb zb z

23、b z0( )MnnnH zb z一、 直接實現和級聯實現級聯實現:LkkkkzzzH122110)()( )(1)h nh Nn :oddM:evenM乘法量減少一半二、 具有線性相位的FIR系統的結構1 NM)1()(nNhnh1 NM )()0( ),1()0( )25()25( , )22()32( )23()23( ),12()22( )21()21( ),2() 12( MhhNhhMhMhNhNhMhMhNhNhMhMhNhNhN即即即即為偶數時 )()( )()()( )(2/ )1(00nMMnnMnnzznhzXznhzXzY所以)( )()1()( )()()()()1(

24、12/0)1(12/012/012/12/010nNnNnnNNnnNnnNNnnNnNnnzznhznNhznhznhznhznhzH:oddM)()()()()()()(2/ )1(0)(2/ )1(0nMMnnnMMnnzznhnxnyzznhzXzY:evenM)1()(nNhnh乘法量減少一半 所以: )2()( )( )()( )2()(12010MnMnMnNnnzMhzznhznhzHN為奇數時同理，當1/0( )Nh n 其它1, 1 , 0 Nn11011 1( )1NNnnzH zzNNzFIR 系統該系統實際上是一個N點平均器。11001( )() ( )()NNkky

25、 nx nk h kx nkNIIR系統三、 FIR系統的遞歸實現及梳狀濾波器(p.289)該系統可由一FIR系統和一個一階IIR系統級聯而成，極零點抵消后，仍是一FIR系統。12111( ),( )1NzH zHzNz令令IIR 實現11 1( )1NzH zNz1,.,1 , 0 z 11)( )(2k11NkeNzzNzzHzHkNjNNN令其分子為零而得的零點由211101( )(1),NjkNkH zezN/21sin(2)()2jj NNH ej eN梳狀濾波器頻率響應 1)(1NeeHjNj1, 1 , 0,2,2NkNkkN得令211101( )(1),NjkNkH zezN/

26、21sin(2)()2jj NNH ej eN梳狀濾波器N點平均器)()()(21jjjeHeHeH8N系統是一個一階的IIRzzH1211)()2/sin()2/sin(1)()()(1)(, 12/)1(211NeNeHeHeHzzHzNjjjj保證了整個系統的穩定的零點相抵消，級聯與其與不穩定極點在Sinc函數1100( )( ),( )( )NNnknNnnH zh n zH kh n W211001101( )( )11( )1NNNnknNnkNNjkkH zH k WzNzH kNez10121)(1NkkjNzekHNzN思路：用DFT系數 表示系統函數( )H k( )H z

27、四. 頻率抽樣實現 (p.202)令令11( )NzH zN1, 221)()(zekHzHkjkN梳狀濾波器N個一階IIR系統)()()(10, 21zHzHzHNkk則則21101( )( )1NNNjkkzH kH zNez可按上述級聯方式得到系統的信號流圖：該結構一方面反映了 Z 變換、DTFT、DFT之間的關系，另一方面，給出了FIR 濾波器設計的一種有效方法。取樣型結構的特點。此為頻率處的響應即為在頻率點個零極點相抵消，好與梳狀濾波器級聯后正的無耗諧振器。是一個諧振頻率為的響應是對。極點在單位圓上有一個每一個說明),(N2)(N2,N2)(z 1)()( :10, 210, 221

28、, 22kHkNzHkkzHezekHzHNkkNkkkNjkkjkN1011011)()1 ()( )()()()( )(, 1,)(1)()1 ()( ,11 1. :NkkNNNkNkNkNrrNkkNrNNzrWkHNzrzHkHWHrWHrWzzHkHrkHzrWkHNzrzHrFIRr故所以因是修正點上的取樣值此時圓上相應移到即梳狀濾波器的零點也系統而子的圓周上又接近設置在半徑器的極點實踐中只好將所有諧振，不能用；為零移動，系統穩定裕度當系數量化時，極點會問題討論頻率取樣型結構的兩個03 4.5 TN911.72 p.1741997, , )(4 . 6 . 5)( . 2北京理工

29、大學出版社，王世一處理信號數字可得到局部改善。見時序列為實復數運算。若系統的結構實現需進行大量的圖都是復數，因此按書上nhkHWkN5.7 離散時間系統的 Lattice 結構Lattice 結構在基于模型的功率譜估計、語音信號處理、自適應濾波方面有著重要的應用。對下式所示的FIR系統，其Lattice 結構如下圖：( )01( )( )( )1MMiiiMiiH zB zb i zbz )(1npm)(1nqm1zmkmk)(npm)(nqm) 1()()(11nqknpnpmmmm11( )( )(1)mmmmqnk pnqn mk反射系數Lattice 結構的基本單元1. 全零點系統(F

30、IR)的Lattice結構111111( )( )( )( )( )( )mmmmmmmmP zPzk z QzQzk Pzz Qz 如何實現濾波器系數和 的相互轉換mk)()(1)()(1111zQzPzkzkzQzPmmmmmm( )010( )( ) /( )1( )( ) /( )miimmmimmBzPzP zbzBzQzQz定義：MmMm, 2 , 1, 2 , 1 00( )( )P zQzLattice結構中的基本關系( ),( )mmBzBz：是Lattice 結構中第 m 個上、下結點相對輸入端的轉移函數。( )01( )( )( )1MMiiiMiiH zB zb i z

31、bz 11111( )( )( )( )mmmmmmk zBzBzBzBzkz 1211( )( )/(1)( )( )mmmmmmmkBzBzkBzBzzkz得到由低階倒高階，或由高到低的遞推關系。由高階至低階 或由低階至高 階轉移函數的遞推關系)1/()()()()()()(211111mmmmmmmmmmmkzBzkzBzBzBzkzBzB( )01( )( )( )1MMiiiMiiH zB zb i zbz 將下式關于 的定義代入分別上述兩式)(),(1zBzBmm()( )( )()11()( )( )()21/(1)mmmiim immmmmmmiim immmmmbkbbk b

32、kbbbk bk 利用待定系數法得到時域遞推關系：低到高階高到低階MATLAB中有相應的 m 文件。( )01( )( )( )1MMiiiMiiH zB zb i zbz 例：123( )( )1 1.71.50.648H zB zzzz (1)(2)(3)3331.7,1.5,0.648bbb (3)330.648kb (1)(1)(2)2233 33(2)(2)(1)2233 33/(1)1.221453/(1)0.738498bbk bkbbk bk 122( )1 1.2214530.738498B zzz (2)220.738498kb (1)(1)(1)212222/(1)0.7

33、0259bbk bk 11( )1 0.70259B zz (1)110.70259kb 111( )( )1MkkkH zA za z看作是FIR系統的逆形式。2. 全極點系統(IIR)的Lattice結構11( )( )(1)mmmmpnpnk qn11( )( )(1)mmmmqnk pnqn mkmk)(npm)(nqm1z)(1npm)(1nqm( )1( )1,( )( )( )( )mmmmY zY zP zAzQzAz( )1( )11( )( )( )1MiiMMMiY zH zPzAza z的求解方式同FIR系統Lattice結構的計算方法, 只是將多項式的系數 換成 .

34、Mkkk,21 Mmmiaim, 2 , 1, 2 , 1,)( )(ima系數系數及及( ) imb注意：在遞推求解的過程中，反射系數1,1,2,mkkM有關反射系數的更多討論見第12章信號建模。01( )( )( )1NkkrNkkkb zB zH zA za z3. 極零系統的Lattice結構上半部對應全極系統上半部對應全極系統下半部對應全零系統下半部對應全零系統12,Nk kkNk, 1 , 0 兩組Lattice系數1201,NNk kkc cc1/( )( )A zB z求出同全極系統；()1Nm kkkmmm kcbc a 遞推求解5.8 離散系統的狀態變量描述1. LSI系統

35、的狀態變量與狀態方程)()()(01rnxbknyanyMrrNkk差分方程：01( )( )( )1NrrrNkkkb zB zH zA za z01( )( )1MrrrNkkkb zY zX za z11( )( )1NkkkV zX za z0( )( )MrrrY zV zb z1( )()( )Nkkv na v nkx n 0( )()Mkky nb v nk轉移函數、差分方程、中間變量的關系1. “狀態”指系統內一組變量, 它包含了系統全部 過去的信息, 由這一組變量和現在與將來的 輸入，可求出現系統現在和將來的全部輸出；2. 可用于分析多輸入、多輸出系統；如何選擇狀態變量？有

36、著不同的方法。方法之一是選擇( ), (1), ()v n v nv nN作為系統的狀態。12( )(1)( )(2)( )()Nw nv nw nv nwnv nN定義一組新的變量相互關系21321(1)( )(1)( )(1)( )NNw nw nw nw nwnwn111(1)( )( )( )( )NNw nv na w na wnx n 121112233(1)( )1(1)( )10000(1)0100( )0( )00100(1)( )NNNNaaaaw nw nw nw nw nw nx nwnwn 狀態方程01011( )( )(1)()( )( )( )MMMy nb v

37、nbv nb v nMb v nbw nb wn0( )( )MrrrY zV zb z121,230( )( )( ),( )( )( )NNw nw ny nc ccw nb x nwn1101220201010,MMMMMNNcbb acbb acbb acb acb a 輸出方程(1)( )( )( )( )( )nnnnnnwAwBxyCwDx上述內容討論了如何由差分方程轉換為狀態方程。當然，反過來也可以。)(nxBD) 1( nw1z)(nwC)(nyA(1)( )( )( )( )( )nnnnnx nwAwBxyCwD兩邊取兩邊取Z變換：變換：( )( )( )( )( )(

38、)zzzzzzzWAWBXYCWDX)()()()(1zBXAzIzWzBXzWAzI)()()(1zDXzBXAzICzYDBAzICzXzYzH1)(/ )()(2.由狀態方程求系統的轉移函數)()()()()() 1(nDxnCwnynBxnAwnw) 3() 3()2()2()2() 1() 1() 1()(nBxnAwnwnBxnAwnwnBxnAwnw2( )(2)(2)(1)w nA w nABx nBx n) 1()2() 1()()() 1()2()3()3(2123nBxnABxinBxAinBxAinwAnBxnABxnBxAnwAiii狀態方程輸出方程3.由狀態方程求輸

39、出及單位抽樣響應011000)()()(nnlnBxAnwAnwnnllnn,000nnininnn，則即，前的某時刻為設00110)()()()(nnllnnnDxlnBxACnwCAny反映系統輸入序列在 n n0 后的輸入零輸入解)()(00nwCAnynnoi零狀態解011)()()(nnllosnDxlnBxACny00110)()()()(nnllnnnDxlnBxACnwCAny00110)()()()(nnllnnnDxlnBxACnwCAny若系統矩陣A的所有特征值之模都小于1，whenn無窮大，An0)(,)(,0000nnnnnnnn為一常數，為一常數，11)()()(llnDxlnBxCAny0)()