1、1康志康志康志泰泰泰印印印2 物體或物體的一物體或物體的一部分，在平衡位置附部分，在平衡位置附近來回地作周期性運近來回地作周期性運動，叫做機械振動，動，叫做機械振動，簡稱振動。簡稱振動。振動現象是多種多樣的，它在自然界中是廣泛存在的。振動現象是多種多樣的，它在自然界中是廣泛存在的。機械振動機械振動擺的運動、心臟的跳動、氣缸中活塞的運動等擺的運動、心臟的跳動、氣缸中活塞的運動等簡諧振動簡諧振動最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動一切復雜的振動都可以分解為若干個簡諧振動一切復雜的振動都可以分解為若干個簡諧振動3用激光時間平均法得到的用激光時間平均法得到的小提琴全息振動模式圖小提琴全息振動模式圖

2、4紙錐揚聲器的振動模式紙錐揚聲器的振動模式5mmm平衡位置平衡位置 設物體在位置零設物體在位置零處時，沒被拉長也未處時，沒被拉長也未被壓縮，這時物體在被壓縮，這時物體在水平方向上不受力的水平方向上不受力的作用，此位置就叫做作用，此位置就叫做平衡位置平衡位置。ff彈簧振子彈簧振子一輕彈簧一端固定，另一端系一物體，放在光一輕彈簧一端固定，另一端系一物體，放在光滑的水平桌面上。將物體稍微移動后，物體就滑的水平桌面上。將物體稍微移動后，物體就在彈性力的作用下來回自由振動。在彈性力的作用下來回自由振動。平衡位置平衡位置一一 彈簧振子的諧振動彈簧振子的諧振動6 以此為坐標原點，水平直線為以此為坐標原點，水

3、平直線為x軸，并設向右為正。當物軸，并設向右為正。當物體相對于平衡位置有一位移體相對于平衡位置有一位移x時，無論是在平衡位置的左方還時，無論是在平衡位置的左方還是右方，物體都將受到一個彈性力的作用，此時彈簧被伸長或是右方，物體都將受到一個彈性力的作用，此時彈簧被伸長或壓縮。根據虎克定律，物體所受到的彈性力與位移成正比，且壓縮。根據虎克定律，物體所受到的彈性力與位移成正比，且永遠指向平衡位置，因此有永遠指向平衡位置，因此有kxf 負號表示力和負號表示力和位移的方向相反，位移的方向相反，即彈性力的方向永即彈性力的方向永遠指向坐標原點。遠指向坐標原點。彈簧的倔強系數彈簧的倔強系數7kxf位移為零，受

4、力為零位移為零，受力為零，所以，所以加加速度為零速度為零，但此時，但此時速度最大速度最大。 由于作諧振動的物由于作諧振動的物體所受到的彈性力永遠體所受到的彈性力永遠指向平衡位置，所以它指向平衡位置，所以它的運動總是一種不斷重的運動總是一種不斷重復著的周期性運動。復著的周期性運動。物體在左右兩個端點物體在左右兩個端點位移最大位移最大，因此所，因此所受力的數值受力的數值最大最大，加速度亦最大加速度亦最大(f=ma)。但由于物體靜止，其但由于物體靜止，其速度為零速度為零；物體在物體在原點處原點處8以彈簧振子為例，由于以彈簧振子為例，由于kxf即即kxmaf知知xmka令令mk2則則xdtxda222

5、或或0222xdtxd二二 諧振動的運動方程與基本特征諧振動的運動方程與基本特征90222xdtxd 對于其它形式的簡諧振動，例如對于其它形式的簡諧振動，例如單擺單擺，其方程形式與此，其方程形式與此相同，只不過是變量位移相同，只不過是變量位移x為其它物理量而已。為其它物理量而已。此方程的解用余弦函數來表示為此方程的解用余弦函數來表示為)cos(tAx 式中式中A和和 是兩個積分常數。此式和上式一樣都可稱是兩個積分常數。此式和上式一樣都可稱為為諧振動的運動方程諧振動的運動方程。彈簧振子所作諧振動的微分方程式彈簧振子所作諧振動的微分方程式10物理意義物理意義設設 =0，上式可寫成，上式可寫成tAx

6、cos隨著時間的推移，隨著時間的推移，m的位移的位移x在數值在數值A到到-A之間作往復周之間作往復周期性的變化，即振動。期性的變化，即振動。)cos(tAxA-AxtpP223225011A-AxTtpP2232250還可看出，當還可看出，當 t=0 時時 AtAxcos當當 t=2 / 時時AAAx2cos2cos（P點）點）（P點）點）這正是作諧振動的物體往復運動了一次這正是作諧振動的物體往復運動了一次振動物體離開平衡位置的最大位移振動物體離開平衡位置的最大位移振幅振幅A12A-AxTtpP2232250物體往復運動一次所需的時間物體往復運動一次所需的時間2T頻率頻率21T2振動的振動的圓

7、頻率圓頻率周期周期13諧振動的基本特征諧振動的基本特征 并不是所有的振動都是并不是所有的振動都是簡諧振動簡諧振動，只有滿足于一定條件，只有滿足于一定條件的振動才是簡諧振動。的振動才是簡諧振動。諧振動的微分方程諧振動的微分方程0222xdtxd它是由下式得到的它是由下式得到的kxf此方程的解此方程的解)cos(tAx 物體所受的力或物體的加速度與位移成正比而方向相反物體所受的力或物體的加速度與位移成正比而方向相反是諧振動的基本特征是諧振動的基本特征。任何一個物體的運動只要具有這個特。任何一個物體的運動只要具有這個特征即滿足于上述方程，則必遵循征即滿足于上述方程，則必遵循x=Acos( t+ )這

8、一運動方程這一運動方程而作簡諧振動。而作簡諧振動。14由三角學知由三角學知)2sin()cos(tt令令2則有則有) sin()cos(tt此時有此時有) sin(tAx此式與此式與)cos(tAx等效等效 上述兩式都是微分方程的解，也就都可以作為簡諧振動上述兩式都是微分方程的解，也就都可以作為簡諧振動的運動方程。為了初學的便利，一般采用余弦形式。的運動方程。為了初學的便利，一般采用余弦形式。0222xdtxd)cos(tAx15諧振動的速度和加速度諧振動的速度和加速度已知簡諧振動的位移已知簡諧振動的位移)cos(tAx則物體的運動速度則物體的運動速度)sin(tAdtdxv加速度加速度)co

9、s(222tAdtxddtdva 物體作簡諧振動時，不但它的位移隨時間作周期性變物體作簡諧振動時，不但它的位移隨時間作周期性變化，它的速度和加速度也隨時間作周期性變化。化，它的速度和加速度也隨時間作周期性變化。16設有一長度等于設有一長度等于A的矢量的矢量MA0三三 參考圓（旋轉矢量）諧振動的位相參考圓（旋轉矢量）諧振動的位相 在圖示平面內繞原點以角在圖示平面內繞原點以角速度速度 逆時針旋轉（逆時針旋轉（ 與圓頻率與圓頻率等值）。矢徑端點等值）。矢徑端點M在空間的在空間的軌跡是一圓。軌跡是一圓。M在在0 x軸上的投軸上的投影影P點就在點就在0 x軸上作往復運動。軸上作往復運動。M點點t=0時刻

10、在位置時刻在位置M0矢徑矢徑A與與 0 x 軸的夾角是軸的夾角是 pM0MxyAx17 在以后任一時刻在以后任一時刻t，M點的位置矢徑與點的位置矢徑與0 x軸的夾角為（軸的夾角為（ t+ ）。）。考察考察M點在點在0 x軸上的投軸上的投影點影點P的運動，易看出在任一時刻的運動，易看出在任一時刻t，A在在0 x軸軸上的投影是：上的投影是：)cos(tAxpM0MxytAx18)cos(tAx 此結果正說明此結果正說明P點點在在0 x軸上作諧振動。反軸上作諧振動。反過來說，任何一個諧振過來說，任何一個諧振動都可以想象為某一相動都可以想象為某一相應參考圓上應參考圓上M點的投影，點的投影，M點就叫點就

11、叫參考點參考點。諧振動的運動方程諧振動的運動方程19)cos(tAx數值上等于它所對應的參考圓的半徑數值上等于它所對應的參考圓的半徑 當然振動中并不存在當然振動中并不存在角速度問題，但聯系參考角速度問題，但聯系參考圓來理解圓來理解 是很方便的。是很方便的。振幅矢量振幅矢量A諧振動的諧振動的周期周期M點繞圓周運動一周所需的時間（即點繞圓周運動一周所需的時間（即P點點往復運動一次所需的時間）往復運動一次所需的時間）圓頻率圓頻率 M點的角速度點的角速度pM0MxytAx20現在已知現在已知運動方程運動方程)cos(tAx速度速度)sin(tAv加速度加速度)cos(2tAa 都包含有（都包含有（ t

12、+ ）項，括號中的整體具有角度量綱（弧度）項，括號中的整體具有角度量綱（弧度）稱為稱為相位相位或或周相周相。在振動過程中，相位（。在振動過程中，相位（ t+ ）隨時間變化，）隨時間變化，當相位變化當相位變化2 時，作振動的質點就完成一次全振動。當振幅時，作振動的質點就完成一次全振動。當振幅A為已知時，任一時刻的相位可完全決定這一時刻的位置和速度。為已知時，任一時刻的相位可完全決定這一時刻的位置和速度。初相初相 t = 0時的相位時的相位它決定開始計時時的位置和速度它決定開始計時時的位置和速度21pM0MxytAx相位與初相位相位與初相位22 當位移為零時，加速度也為零，但速度的數值最大；而當位

13、移為零時，加速度也為零，但速度的數值最大；而當加速度的數值最大時，位移的數值也最大，但加速度與位當加速度的數值最大時，位移的數值也最大，但加速度與位移的方向相反，此時速度等于零。移的方向相反，此時速度等于零。Ttx、 、ax a 2A AAo-A- A- 2A諧振動的諧振動的x、v、a與與t 的關系圖的關系圖三者的周期相同，但在同一時刻三者的相位不同。三者的周期相同，但在同一時刻三者的相位不同。23前面曾令前面曾令mk2周期周期kmT22頻率頻率mkT211T與與 稱為固有周期和固有頻率。稱為固有周期和固有頻率。 其它振動系統例如單擺，振動周期與頻率也是由振動系其它振動系統例如單擺，振動周期與

14、頻率也是由振動系統本身力學性質決定，與振幅及初相無關。統本身力學性質決定，與振幅及初相無關。 振子的周期（頻振子的周期（頻率）是由振動系率）是由振動系統本身力學性質統本身力學性質決定，而與振幅決定，而與振幅及初相位無關。及初相位無關。四四 彈簧振子的周期、振幅及初位相的確定彈簧振子的周期、振幅及初位相的確定xA024振幅及初相的確定振幅及初相的確定已知已知)cos(tAx)sin(tAvA和和 可由振動初始條件來確定可由振動初始條件來確定cos0Ax 將兩式平方，有將兩式平方，有222202220sincosAvAx相加得到相加得到220202vxAsin0Av若若 t = 0，x = x0，

15、v = v0，則，則25將兩式平方，有將兩式平方，有222202220sincosAvAx相加得到相加得到220202vxA即即22020vxA及及00 xvtg 上述結果表明，如果已知初位移上述結果表明，如果已知初位移x0和初速度和初速度v0，就能由上，就能由上式求出諧振動的振幅和初位相。式求出諧振動的振幅和初位相。26 起始時，小球在振動正方向的端點，起始時，小球在振動正方向的端點，即即t=0時，時，x=A，則，則 cos =1 =0。小球從小球從正的最大位移開始運動時，初相正的最大位移開始運動時，初相 =0，運，運動方程的形式為動方程的形式為tAxcos 利用旋轉矢量法，據起始條利用旋轉

16、矢量法，據起始條件可立即看出矢徑件可立即看出矢徑A在在0A位置，位置，即矢徑與即矢徑與X軸之間的夾角為零，軸之間的夾角為零，所以初位相為零。所以初位相為零。初相位也可用參考圓法確定初相位也可用參考圓法確定假定彈簧下掛一小球作諧振動，其方程為假定彈簧下掛一小球作諧振動，其方程為)cos(tAxxA00A =027用旋轉矢量圖畫簡諧運動的用旋轉矢量圖畫簡諧運動的 圖圖tx 28起始時，小球在振動負方向的端點起始時，小球在振動負方向的端點當當 t = 0時，時，x = A，此時，此時 v = 0 cosAA1cos)cos(tAx)cos(tAx0Ax0 x=-A29起始時在平衡位置向負方向運動起始

17、時在平衡位置向負方向運動當當 t = 0時，時，x = 0，此時，此時 sinAv0cos2小球沿小球沿x軸負方向運動，所以軸負方向運動，所以 v 0，則，則0sin取取2或或23)2cos(tAx)cos(tAx)sin(tAvx0v0 x23A32起始時過起始時過x=A/2向向x正方向運動正方向運動當當 t = 0時，時，x = A/2，此時，此時 cos2AA21cos3sinAv小球沿小球沿x軸正方向運動，所以軸正方向運動，所以 v 0，則，則0sin取取3或或35)3cos(tAx方程方程)cos(tAx)sin(tAvx0vA/20 xA3A/233振動曲線振動曲線 起始時小球在振

18、動正方向的端點起始時小球在振動正方向的端點0tx0AA/20A=034tx0AA/2 起始時小球在振動正方向的端點起始時小球在振動正方向的端點0起始時小球在振動負方向的端點起始時小球在振動負方向的端點振動曲線振動曲線0 x=A35tx0AA/2 起始時小球在振動正方向的端點起始時小球在振動正方向的端點0起始時小球在振動負方向的端點起始時小球在振動負方向的端點起始時在平衡位置向負方向運動起始時在平衡位置向負方向運動2振動曲線振動曲線0 x236tx0AA/2 起始時小球在振動正方向的端點起始時小球在振動正方向的端點0起始時小球在振動負方向的端點起始時小球在振動負方向的端點起始時在平衡位置向負方向

19、運動起始時在平衡位置向負方向運動2起始時在平衡位置向正方向運動起始時在平衡位置向正方向運動2振動曲線振動曲線0 x23A37tx0AA/2 起始時小球在振動正方向的端點起始時小球在振動正方向的端點0起始時小球在振動負方向的端點起始時小球在振動負方向的端點起始時在平衡位置向負方向運動起始時在平衡位置向負方向運動2起始時在平衡位置向正方向運動起始時在平衡位置向正方向運動2起始時過起始時過x=A/2向向x正方向運動（正方向運動（紅虛線紅虛線）3振動曲線振動曲線0 xA3A/238tx0AA/2 起始時小球在振動正方向的端點起始時小球在振動正方向的端點0起始時小球在振動負方向的端點起始時小球在振動負方

20、向的端點起始時在平衡位置向負方向運動起始時在平衡位置向負方向運動2起始時在平衡位置向正方向運動起始時在平衡位置向正方向運動2起始時過起始時過x=A/2向向x正方向運動（正方向運動（紅虛線紅虛線）3(6)起始時過起始時過x=A/2向向x負方向運動（黑虛線）負方向運動（黑虛線）3振動曲線振動曲線39kxfk為彈簧的倔強系數，負號表為彈簧的倔強系數，負號表示力和位移的方向相反，即彈示力和位移的方向相反，即彈性力的方向永遠指向原點。性力的方向永遠指向原點。 物體在左右兩個端點位移物體在左右兩個端點位移最大，因此所受力的數值最大，最大，因此所受力的數值最大，加速度亦最大。但由于物體靜加速度亦最大。但由于

21、物體靜止，其速度為零；但在其原點止，其速度為零；但在其原點處，位移為零，受力為零，所處，位移為零，受力為零，所以加速度為零，但此時速度最以加速度為零，但此時速度最大。大。虎克定律虎克定律mmm平衡位置平衡位置ff40makxf運動方程運動方程0222xdtxd)cos(tAxmmm平衡位置平衡位置ffmk241設=0tAxcos圖像如下圖像如下A-AxTtpP2232250此圖像表明，隨著時間的推移，此圖像表明，隨著時間的推移，m的位移的位移x在數值在數值A到到-A之間作往復周期性的變化，即振動。之間作往復周期性的變化，即振動。)cos(tAxA振幅：振幅：振動物體離開平衡位置的最大位移振動物

22、體離開平衡位置的最大位移周期：作諧振動的物體往復運動一次所需的時間周期：作諧振動的物體往復運動一次所需的時間T2T42A-AxTtpP2232250)cos(tAx21T2T頻率頻率圓頻率圓頻率243諧振動的速度和加速度諧振動的速度和加速度已知簡諧振動的位移已知簡諧振動的位移)cos(tAx則物體的運動速度則物體的運動速度)sin(tAdtdxv加速度加速度)cos(222tAdtxddtdvaTtx、 、ax a 2A AAo-A- A- 2A44)cos(tAxpM0MxytAx在任一時刻在任一時刻t，A在在0 x軸上的投影是軸上的投影是參考圓（旋轉矢量）諧振動的位相參考圓（旋轉矢量）諧振

23、動的位相諧振動的運動方程諧振動的運動方程4522020vxA00 xvtg 上述結果表明，如果已知初位移上述結果表明，如果已知初位移x0和初速度和初速度v0，就能由上，就能由上式求出諧振動的振幅和初位相。式求出諧振動的振幅和初位相。彈簧振子的周期、振幅及初位相的確定彈簧振子的周期、振幅及初位相的確定mk2則彈簧振子的周期則彈簧振子的周期kmT22頻率頻率mkT211初位相也可以用參考圓法來確定初位相也可以用參考圓法來確定462.如圖所示，以向右為正方向，用向左的力壓縮一彈簧，然后如圖所示，以向右為正方向，用向左的力壓縮一彈簧，然后松手任其振動。若從松手時開始計時，則該彈簧振子的初相應松手任其振

24、動。若從松手時開始計時，則該彈簧振子的初相應為為)(2)(2)(0)(DCBAmF0 D0 x=A起始時物體在起始時物體在X軸負方向的端點軸負方向的端點475 一個質點作簡諧振動，已知質點由平衡位置運動到二分之一一個質點作簡諧振動，已知質點由平衡位置運動到二分之一最大位移處所需要的最短時間為最大位移處所需要的最短時間為t0，則該質點的振動周期，則該質點的振動周期T應為應為（A） 4t0 （B）12t0 （C）6t0 （D） 8t0 A/2x)22cos(tTAx平衡位置開始，平衡位置開始， = - /2，)22cos(2tTAA二分之一最大位移處二分之一最大位移處322tT0v取取36322t

25、T012tT B方程為方程為487.一簡諧振動的旋轉矢量圖如圖所示，設圖中圓的半徑為一簡諧振動的旋轉矢量圖如圖所示，設圖中圓的半徑為R，則該簡諧振動的振動方程為則該簡諧振動的振動方程為)42cos()()4cos()()4sin()()4cos()(tRxDtRxCtRxBtRxA0 x t /4 t=tt=04)4cos(tRx A498.已知某簡諧振動的振動曲線如圖所示，位移的單位為米，時已知某簡諧振動的振動曲線如圖所示，位移的單位為米，時間單位為秒，則此簡諧振動的振動方程為間單位為秒，則此簡諧振動的振動方程為)(322411cos(10)()(32247cos(10)()(67247co

26、s(10)()(322411cos(10)(SItxDSItxCSItxBSItxAx(m)t(s)01054 C-A/2-2 /3x)32cos(100t232432t67232424732503.已知簡諧振動已知簡諧振動x=Acos( t+ 0)的周期為的周期為T，在，在t=T/2時質點的時質點的速度為速度為_;加速度為加速度為_。)cos(0tAx0000sin)sin()22sin()sin(AATTAtAv0202cos)cos(AtAa515.一簡諧振動的振動曲線如圖所示，則由圖可得其振幅為一簡諧振動的振動曲線如圖所示，則由圖可得其振幅為_，其初相位，其初相位_，其周期為，其周期為

27、_，其振，其振動方程為動方程為_.x(cm)t(s)0510102cmA10-A/22 /3320, 0,2vxst)322cos(0 A2322)32125cos(1 . 0txv0，取，取 = - /2或或 =3 /223322125sT8 . 4524252221mvEk221kxEp由于由于)cos(tAx)(cos222tAx)sin(tAv)(sin2222tAv)(sin22tAmk)(2mk五五 簡諧振動的能量簡諧振動的能量 以彈簧振子為例，當物體處于位移為以彈簧振子為例，當物體處于位移為x的某點時，其速度的某點時，其速度為為v，具有，具有動能動能彈性勢能彈性勢能m0 xx53

28、彈簧振子作簡諧振動時的總機械能為彈簧振子作簡諧振動時的總機械能為222121kxmvEEEpk 振動過程中，振幅振動過程中，振幅A是一恒量，所以諧振動的機械能為是一恒量，所以諧振動的機械能為一恒量，即機械能守恒。一恒量，即機械能守恒。)(cos222tAx)(sin222tAmkv)(cos21)(sin212222tkAtAmkm221kA540EEkEpt221kA221kAE 能量變化與時間的關系曲線能量變化與時間的關系曲線 盡管作諧振動的物體的動能和勢能分別盡管作諧振動的物體的動能和勢能分別隨時間作周期性變化，但諧振動的總能量保隨時間作周期性變化，但諧振動的總能量保持恒定不隨時間變化。

29、在運動過程中，動能持恒定不隨時間變化。在運動過程中，動能和勢能相互轉化，而總和保持不變，即符合和勢能相互轉化，而總和保持不變，即符合機械能守恒與轉化定律。機械能守恒與轉化定律。 對于作諧振動的一對于作諧振動的一定的振動系統，振動的定的振動系統，振動的總能量與振幅的平方成總能量與振幅的平方成正比，這個規律具有普正比，這個規律具有普遍意義。對其它形式的遍意義。對其它形式的振動及波動也適用。振動及波動也適用。55 考慮兩簡諧振動，其頻率相同，但相位不同。其振動考慮兩簡諧振動，其頻率相同，但相位不同。其振動方程為方程為)cos(111tAx)cos(222tAx 顯然在同一時刻顯然在同一時刻t，它們的

30、相位不同，因此它們在同一時刻，它們的相位不同，因此它們在同一時刻的運動狀態亦不同，即一個比一個超前或落后一些。這種差異的運動狀態亦不同，即一個比一個超前或落后一些。這種差異就可以用它們之間的相位差來描述。就可以用它們之間的相位差來描述。1212)()(tt即在同頻率的條件下，它們的相位差等于它們的初相差。即在同頻率的條件下，它們的相位差等于它們的初相差。七相位差七相位差560PQN(2)M(1) 1 2x 假定兩振動的振幅相同，我們用假定兩振動的振幅相同，我們用OM和和ON分別代表這分別代表這兩個振動的旋轉矢量，它們的長度相等，初角位置分別是兩個振動的旋轉矢量，它們的長度相等，初角位置分別是

31、1和和 2 ，并設，并設 2 1 。 由于頻率相同即旋轉角由于頻率相同即旋轉角速度相同，所以速度相同，所以ON矢量的運矢量的運動始終比動始終比OM矢量的運動超矢量的運動超前一個角度前一個角度 2 1 ，相應地，相應地端點端點N在在x軸上的投影點軸上的投影點Q及及端點端點M在在x軸上的投影點軸上的投影點P，在同一直線上作簡諧振動，在同一直線上作簡諧振動，它們的振幅和頻率相同，但它們的振幅和頻率相同，但在步調上有先后之分。在步調上有先后之分。利用參考圓法可進一步理解相位差利用參考圓法可進一步理解相位差57 用兩相位來加以比較知，用兩相位來加以比較知，Q點比點比P點的點的振動超前一恒定的相位差振動超

32、前一恒定的相位差 2 1 ，在振動，在振動的步調上的步調上Q點要比點要比P點超前一段時間點超前一段時間12tt2sinA1sinAA-A1(P)2(Q)xt 此兩振動的位移與時間關系曲線如下圖。如果把紅線向左此兩振動的位移與時間關系曲線如下圖。如果把紅線向左方沿方沿 t 軸移動軸移動 t，兩曲線重迭。這表明振動，兩曲線重迭。這表明振動2（Q點）取某一點）取某一x值值的時刻比振動的時刻比振動1（P點）取同一點）取同一x值的時刻提前值的時刻提前 t，也就是，也就是Q點的點的振動在時間上比振動在時間上比P點超前點超前 t，在相位上就是超前，在相位上就是超前 t = 2 1（當然也可以說振動（當然也可

33、以說振動1比振動比振動2落后相位）。落后相位）。5811222xxxxttM(1)M(1)N(2)N(2)兩振動相位相差半周期，兩振動相位相差半周期，反向反向。21212相位差相位差 2 1可正可負，相應地常說振動可正可負，相應地常說振動2比振動比振動1超前或落后。超前或落后。 2= 1兩個振動兩個振動同相同相 2 1= 59 實際問題中，常遇到一質點同時參與兩個或幾個振動的實際問題中，常遇到一質點同時參與兩個或幾個振動的情況，例如兩列聲波傳到某處，該處的空氣質點就同時參與情況，例如兩列聲波傳到某處，該處的空氣質點就同時參與這兩個振動，這就需要討論振動的合成問題。這兩個振動，這就需要討論振動的

34、合成問題。 設有物體同時參與兩個頻率相等，沿著同一方向例如設有物體同時參與兩個頻率相等，沿著同一方向例如X軸軸的諧振動，它們的振動方程分別是的諧振動，它們的振動方程分別是)cos(111tAx)cos(222tAx下面求合振動的方程下面求合振動的方程八八 兩同方向同頻率簡諧振動的合成兩同方向同頻率簡諧振動的合成60 xx2x1p1pp1AA2A1210 用參考圓法。振幅矢量用參考圓法。振幅矢量A1和和A2以同樣的角速度以同樣的角速度 繞原點繞原點0轉轉動，在動，在x軸上的投影軸上的投影x1和和x2分別是分別是P1和和P2點沿點沿x軸作諧振動的位移。軸作諧振動的位移。因角速度相同，因角速度相同，

35、A1和和A2在轉動過程中始終保持一定的夾角在轉動過程中始終保持一定的夾角 2 1 ，且它們的矢量和，且它們的矢量和A始終保持一定的大小，又以同樣的角速始終保持一定的大小，又以同樣的角速度度 繞原點轉動。這表明合成矢量繞原點轉動。這表明合成矢量A的端點在的端點在x軸上的投影點軸上的投影點P也也沿沿x軸作諧振動，軸作諧振動，A的投影的投影x就是就是P點作諧振動的位移，即點作諧振動的位移，即21xxx可知，兩同方向同頻率諧振可知，兩同方向同頻率諧振動的合成運動也是一諧振動，動的合成運動也是一諧振動，其振動方程為其振動方程為)cos(tAx6122112211coscossinsinAAAAarctg

36、xx2x1p1pp1AA2A1210)cos(212212221AAAAA 如果用三角函數的如果用三角函數的方法進行運算同樣可以方法進行運算同樣可以得到上述結果。得到上述結果。式中的初相式中的初相 及合成振幅及合成振幅A可從圖上直接得出可從圖上直接得出621 1、應用解析法、應用解析法tAAtAAtAtAxxx sinsinsin coscoscos cos cos2211221122112122112211coscoscossinsinsinAAAAAA令令tAtAtAx cos sinsin coscos)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAA

37、arctg630AA2A1xt 從上式中可以看出，合振幅從上式中可以看出，合振幅A除了與分振幅除了與分振幅A1、A2有關外，有關外，還決定于兩個振動的位相差。討論兩種特殊情況。還決定于兩個振動的位相差。討論兩種特殊情況。2 . 1 . 0212kk即兩分振動的位相差為即兩分振動的位相差為2 的整數的整數倍。這種情況叫倍。這種情況叫同位相同位相，此時，此時12coscosk212122212AAAAAAA 上式表明，此時合振上式表明，此時合振幅為最大，兩個分振動的幅為最大，兩個分振動的合成效果使振動加強。合成效果使振動加強。)cos(212212221AAAAA64too212k)cos()(2

38、1tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，kxx652 . 1 . 0) 12(12kk0AA2A1xt即兩分振動的位相差等于即兩分振動的位相差等于 的奇的奇數倍時，位相相反。數倍時，位相相反。1cos|221212221AAAAAAA 這表明此種情這表明此種情況下合振幅最小，況下合振幅最小，兩分振動的合成效兩分振動的合成效果使振動減弱。果使振動減弱。)cos(212212221AAAAA66xto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k21AAA)12(12kox67AA2A1xt 特別地，若特別地，若 A1 = A2，則，則 A = 0，即物體處于靜止狀，即物體處于靜止狀態。態。 一般地，若一般地，若= 2 1為上述兩種特殊情況外的任為上述兩種特殊情況外的任意值時，合振幅意值時，合振幅A在在A1+A2和和|A1A2|之間。之間。682 . 1 . 0212kk21AAA2 . 1 . 0) 12(12kk|21AAA合振幅最大，兩分振動的合成效果使振動加強。合振幅最大，兩分振動的合成效果使振動加強。合振幅最小，兩分振動的合成