1、三、微分運算法則三、微分運算法則四、微分在近似計算中的應用四、微分在近似計算中的應用第五節第五節一、微分的概念一、微分的概念 函數的微分函數的微分 第二章第二章 二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義 一、微分的概念一、微分的概念引例引例: : 正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設邊長由設邊長由,20 xA 因為正方形面積因為正方形面積2020)(xxxA 所所以以.)(220 xxx )1()2( ; , 的主要部分的主要部分且為且為的線性函數的線性函數Ax . , 很小時可忽略很小時可忽略當當的高階無窮小的高

2、階無窮小xx )1()2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如, ,.,03yxxxy 求函數的改變量求函數的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設函數設函數3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時時當當 x .320 xxy 則則),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題: :這個線性函數這個線性函數( (改變量的主要部分改變量的主要部分) )是否所有是否所有函數的改變量都有函數的改變量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?1. 微分微分(differ

3、ential)的定義的定義.d ),(dd, )( , )(, , )( )()( , , )(000000000 xAyxfyxxxfyxAxxfyxAxoxAyxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應于自變量增量相應于自變量增量在點在點為函數為函數并且稱并且稱是可微的是可微的在點在點那么稱函數那么稱函數無關的常數無關的常數是與是與其中其中可表示為可表示為如果如果在這區間內在這區間內及及在某區間內有定義在某區間內有定義設函數設函數.d的線性主部的線性主部叫做函數增量叫做函數增量微分微分yy ( (微分的實質微分的實質) )2. 由微分的定義知由微分的定義知:;d)1

4、(的線性函數的線性函數是自變量的改變量是自變量的改變量xy ;)(d)2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxoyy ;d,0)3(是是等等價價無無窮窮小小與與時時當當yyA yyd 因為因為xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有關有關和和但與但與無關的常數無關的常數是與是與xxfxA ).(d,)5(線線性性主主部部很很小小時時當當yyx ).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導處可導在點在點數數可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點在點函數函數定理定理證證(1) 必要性必要性 , )( 0可微可微在點在點因為因為xxf ),( xoxAy 所以所以,)( xxoAxy

5、 于是于是xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導可導在點在點即函數即函數3. 可微的條件可微的條件(2) 充分性充分性)()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即 , )( 0可導可導在點在點因為函數因為函數xxf ),(lim00 xfxyx 所以所以)0(0 x 由由),()(0 xoxxfy .)(, )(00Axfxxf 且且可微可微在點在點所以函數所以函數 ( ).dyfxx 故故 可導可導可微可微( ).Afx函數在任意點處的微分，稱為函數的微分，函數在任意點處的微分，稱為函數的微分，記作記作dy，即，即例例1解解.02.

6、 0, 23時的微分時的微分當當求函數求函數 xxxy xxy )(d3 因為因為,32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy 所以所以.24. 0 .d,d,xxxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(d dxxfy 所以所以).(ddxfxy .dd微商微商導數也叫導數也叫該函數的導數該函數的導數之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數的微分即函數的微分xy二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).d,對應的增量對應的增量就

7、是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當當yy xx0 P . , , MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當當 三、微分運算法則三、微分運算法則,d)(d xxfy 微微分分表表達達式式微分的求法微分的求法: :1. 1. 基本初等函數的微分公式基本初等函數的微分公式 ( (對照表對照表) )先計算函數的導數再乘以自變量的微分先計算函數的導數再乘以自變量的微分. .xxxCxxCd)(d0)(d)(0)( 11 式式公公分分微微式式公公數數導導xaxxxxaaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaxxaaa

8、xxxxxxxxxxxxxxaxxxxaxxxxdln1)(logdde)e (ddln)(ddcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindln1)(loge)e (ln)(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin 2222 式式公公分分微微式式公公數數導導xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnd11)cotarc(11)(

9、arctan11)(arccos11)(arcsin1)(ln 22222222 式式公公分分微微式式公公數數導導2. 函數和、差、積、商的微分法則函數和、差、積、商的微分法則)0(ddd)0(dd)(d)(d)d()(dd)(d)(22 vvvuuvvuvvvuvuvuvuuvuvvuvuuvuCCuuCCuvuvuvuvu的微分法則的微分法則函數和、差、積、商函數和、差、積、商的求導法則的求導法則函數和、差、積、商函數和、差、積、商3. 復合函數的微分法則復合函數的微分法則 . )(, )( )(有如下求導和微分法則有如下求導和微分法則則復合函數則復合函數都可導都可導和和設設xgfyxgu

10、ufy xxgufxyyxuuyxyxgufxyxd)()(dddddddd )()(dd 或或則則法法分分微微則則法法導導求求 ;d)(d, )1(xxfyx 是自變量時是自變量時若若則則微函數微函數的可的可即是另一變量即是另一變量是中間變量時是中間變量時若若),( , )2(txtx ),()(xfxfy 有有導導數數設設函函數數ttxfyd)()(d xttdd)( .d)(xxf 結論結論:的微分形式總是的微分形式總是函數函數是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論 )(, xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性xxfyd)(d 4. 微分形式不變性微分形式不變性例例2解法

11、解法1.d),eln(2yxyx求求設設 .dee21d 22xxxyxx 所以所以利用先求導數再求微分的方法利用先求導數再求微分的方法,e 2xxy 因為因為2e21xx 解法解法2利用微分形式不變性利用微分形式不變性)edln(d2xxy )ed(e122xxxx )d(ede1222xxxxx .dee2122xxxxx 例例3解解.d,cose31yxyx求求設設 )e (dcosd31xxy xxxxxxd)sin(ed)e3(cos3131 .d)sincos3(e31xxxx 根據積的微分法則根據積的微分法則)(cosde31xx )31(decos31xxx xxxd)sin(

12、e31 例例4解解 .d, )(yxyxyyy求求確定確定由由設函數設函數 在所給方程兩端分別求微分在所給方程兩端分別求微分)d(d yxy 因為因為)d(eln xy , )lnd(elnxyxy ,ddlnd xxyyxxyy所以所以整理得整理得xxxxyxyyyd)ln1(d .d)ln1(2xxyxy .d , 0)cos(sin yyxxy求求已知已知 利用微分形式不變性利用微分形式不變性, 有有, 0)d(cos()sin(d yxxyxxyyxdcosdsin )sin(yx , 0)d(d yx.d dxy )sin(cosyxxy xyxsin)sin( 例例5解解例例6 在

13、下列括號中填入適當的函數使等式成立在下列括號中填入適當的函數使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內容上述微分的反問題是不定積分要研究的內容.CC注意注意: 數學中的反問題往往出現數學中的反問題往往出現多值性多值性.例如例如)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224四、四、 微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用)()(0 xoxxfy當當x很小時很小時,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好

14、算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式得近似等式:特別當特別當xx,00很小時很小時,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令令)1 ()(xxf得得, 1)0(f)0(f,很小時當 xxx1)1 (180dx29sin的近似值的近似值 .解：解：設設,sin)(xxf取取300 x,629x則則1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例7 求求29sin4848. 029sin內容小結內容小結1. 微分概念微分概念 微分的定義及幾何意義微分的定義及幾何意義 可導可導可微可微2. 微分運算法則微分運算法則微分形式不變性微分形