1、第二講 函數概念與表示備注：【高三數學一輪復習必備精品共42講 全部免費 歡迎下載】一【課標要求】1通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域 和值域；了解映射的概念；2在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數；3通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用；4通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義；結合具體函數，了解奇偶性的含義；5學會運用函數圖象理解和研究函數的性質

2、二【命題走向】函數是整個高中數學的重點，其中函數思想是最重要的數學思想方法，函數問題在歷年的高考中都占據相當大的比例。從近幾年來看，對本部分內容的考察形勢穩中求變，向著更靈活的的方向發展，對于函數的概念及表示多以下面的形式出現：通過具體問題（幾何問題、實際應用題）找出變量間的函數關系，再求出函數的定義域、值域，進而研究函數性質，尋求問題的結果。高考對函數概念與表示考察是以選擇或填空為主，以解答題形式出現的可能性相對較小，本節知識作為工具和其他知識結合起來命題的可能性依然很大預測2010年高考對本節的考察是：1題型是1個選擇和一個填空；2熱點是函數概念及函數的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題

3、綜合考察函數成為新的熱點。三【要點精講】1函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數。記作：y=f(x)，xA。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數值，一個數，而不是f乘x2構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域（1）解決

4、一切函數問題必須認真確定該函數的定義域，函數的定義域包含三種形式：自然型：指函數的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數的分母不為零，偶次根式函數的被開方數為非負數，對數函數的真數為正數，等等）；限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；實際型：解決函數的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變量x的實際意義。（2）求函數的值域是比較困難的數學問題，中學數學要求能用初等方法求一些簡單函數的值域問題配方法（將函數轉化為二次函數）；判別式法（將函數轉化為二次方程）；不等式法（運用不等式的各種性質）；函數法（運用基本函數性

5、質，或抓住函數的單調性、函數圖象等）。3兩個函數的相等：函數的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f。當函數的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應法則為函數的兩個基本條件，當且僅當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一個函數。4區間（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示5映射的概念一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意 一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“

6、f：AB”。函數是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件“非空數集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這種的對應就叫映射。注意：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述。（2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思6常用的函數表示法（1）解析法：就是把兩個變量的函數關系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數的解析表達式，簡稱解析式；（2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數關系；（3）圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間

7、的關系7分段函數若一個函數的定義域分成了若干個子區間，而每個子區間的解析式不同，這種函數又稱分段函數；8復合函數若y=f(u)，u=g(x),xÎ(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=fg(x)稱為復合函數，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域四【典例解析】題型1：函數概念例121.（2009天津卷文）設函數則不等式的解集是（ ）A. B. C. D.答案 A解析 由已知，函數先增后減再增當，令解得。當，故 ，解得【考點定位】本試題考查分段函數的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解（2）江蘇省如皋中學20072008學年度第二學期階段考試高三數學（理科）請設計一

8、個同時滿足下列兩個條件的函數y = f （x）：圖象關于y軸對稱；對定義域內任意不同兩點, 都有答： . 答案不唯一，在定義域內圖象上凸的偶函數均可，如等等.首先由知f （x）為偶函數，由知f （x）在定義域內圖象上凸，然后在基本初等函數中去尋找符合這兩點的模型函數【總結點評】本題主要考查函數的圖象與性質，問題以開放的形式出現，著重突出對考生數學素質的要求.點評：討論了函數的解析式的一些常用的變換技巧（賦值、變量代換、換元等等），這都是函數學習的常用基本功變式題：（2009北京文）已知函數若，則 . .w.w.k.s.5 答案 .w 解析 5.u.c本題主要考查分段函數和簡單的已知函數值求的值

9、. 屬于基礎知識、基本運算的考查.由，無解，故應填.例2（2007安徽 文理15）（1）函數對于任意實數滿足條件，若則_ _；解：（1）由得，所以，則。點評：通過對抽象函數的限制條件，變量換元得到函數解析式，考察學生的邏輯思維能力。題型二：判斷兩個函數是否相同例3試判斷以下各組函數是否表示同一函數？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數；（2）由于函

10、數f（x）=的定義域為（，0）（0，+），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數；（3）由于當nN*時，2n±1為奇數，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數；（4）由于函數f（x）=的定義域為x|x0，而g（x）=的定義域為x|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數；（5）函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數點評：對于兩個函數y=f（x）和y=g（x），當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數若兩個函數表示同一函數，則它們的圖象完全相同，反之亦

11、然。（1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數，原因是對函數的概念理解不透要知道，在函數的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達式，這對于函數本身并無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數。（2）對于兩個函數來講，只要函數的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數就不可能是同一函數題型三：函數定義域問題例4求下述函數的定義域：（1）；（2）解：（1），解得函數定義域為.（2） ，（先對a進行分類討論，然后對k進行分類討論）， 當a=0時，函數定義域為；當時，得，1）當時，函數定義域為，2）當時，函數定義域

12、為，3）當時，函數定義域為；當時，得，1）當時，函數定義域為，2）當時，函數定義域為，3）當時，函數定義域為。點評：在這里只需要根據解析式有意義，列出不等式，但第（2）小題的解析式中含有參數，要對參數的取值進行討論，考察學生分類討論的能力例5已知函數定義域為(0，2)，求下列函數的定義域：(1) ；(2)。解：（1）由0x2， 得 點評：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函數fg(x)的定義域關鍵在于理解復合函數的意義，用好換元法；求函數定義域的第三種類型是一些數學問題或實際問題中產生的函數關系，求其定義域，后面還會涉及到變式題：已知函數f（x）=的定義域是R，則實數a的取值范

13、圍是（ ）AaB12a0C12a0Da解：由a=0或可得12a0，答案B。題型四：函數值域問題例5求下列函數的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。解：（1）（配方法），的值域為改題：求函數，的值域。解：（利用函數的單調性）函數在上單調增，當時，原函數有最小值為；當時，原函數有最大值為函數，的值域為。（2）求復合函數的值域：設（），則原函數可化為。又，故，的值域為（3）（法一）反函數法：的反函數為，其定義域為，原函數的值域為（法二）分離變量法：，函數的值域為。（4）換元法（代數換元法）：設，則，原函數可化為，原函數值域為注：總結型值域，變形：或（5）三角

14、換元法：，設，則，原函數的值域為（6）數形結合法：，函數值域為。（7）判別式法：恒成立，函數的定義域為。由得： 當即時，即，當即時，時方程恒有實根，且，原函數的值域為。（8），當且僅當時，即時等號成立。，原函數的值域為。（9）方程法：原函數可化為：，（其中），原函數的值域為。點評：上面討論了用初等方法求函數值域的一些常見類型與方法，在現行的中學數學要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數的最大與最小值，在后面的復習中要作詳盡的討論。題型五：函數解析式例6（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數，且滿足，求；（4）已知滿足，求。解：（1），（或）。（2）令（），則，。（3）設，則，

15、。（4） ，把中的換成，得 ，得，點評：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數，可用待定系數法；第（4）題用方程組法。例7上海市楊浦區2007-2008學年度第二學期高三學科測試數學試卷已知向量 （1）當時， 求的值（2）(文科考生做) 求·的最大值與最小值（理科考生做）求·， 在上的最大值與最小值 解 （1）（2）（文）·= （理）· 例8江蘇省濱海縣08屆高三第三次聯考數學試卷2008-5-4 據調查，某地區100萬從事傳統農業的農民，人均收入3000元，為了增加農民的收入，當地政府積極引進資本，建立各種加工企業，對當地的農產

16、品進行深加工，同時吸收當地部分農民進入加工企業工作，據估計，如果有x(x0)萬人進企業工作，那么剩下從事傳統農業的農民的人均收入有望提高2x%，而進入企業工作的農民的人均收入為3000a元（a0）。（1）在建立加工企業后，要使從事傳統農業的農民的年總收入不低于加工企業建立前的農民的年總收入，試求x的取值范圍；（2）在（I）的條件下，當地政府應該如何引導農民（即x多大時），能使這100萬農民的人均年收入達到最大。解：（I）由題意得（100-x）·3000·（1+2x%）100×3000，即x250x0，解得0x50， 又x0 0x50； （II）設這100萬農民的人

17、均年收入為y元，則y= =x25(a+1)2+3000+475(a+1)2 (0<x50) （i）當0<25(a+1)50，即0a1，當x=25(a+1)時，y最大；（ii）當25(a+1)50，即a 1，函數y在（0,50單調遞增，當x=50時，y取最大值。答：在0a1時，安排25(a +1)萬人進入企業工作，在a1時安排50萬人進入企業工作，才能使這100萬人的人均年收入最大例9北京奧運會紀念章某特許專營店銷售紀念章，每枚進價為5元，同時每銷售一枚這種紀念章還需向北京奧組委交特許經營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經過市場調研發現每枚

18、紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現設每枚紀念章的銷售價格為x元（xN*）（）寫出該特許專營店一年內銷售這種紀念章所獲得的利潤y（元）與每枚紀念章的銷售價格x的函數關系式（并寫出這個函數的定義域）；（）當每枚紀念銷售價格x為多少元時，該特許專營店一年內利潤y（元）最大，并求出這個最大值（）依題意 此函數的定義域為 （） 當，則當時，（元）；當，因為xN*，所以當x23或24時，（元）； 綜合上可得當時，該特許專營店獲得的利潤最大為32400元 15. 已知函數的定義域為，且同時滿足：(1)對任意，總有；(2)(3)若且，則有.(I

19、)求的值；(II)求的最大值；(III)設數列的前項和為，且滿足.求證：.解：（I）令，由(3),則由對任意，總有 （2分）（II）任意且，則 （6分）(III) (8分)，即。 故即原式成立。 （14分）點評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準確建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題并加以解決。該題典型代表高考的方向題型7：課標創新題例10若不等式對滿足的所有m都成立，求x的取值范圍。解：原不等式可化為構造函數，其圖象是一條線段。根據題意，只須：即解得。點評：上面題目通過重新構造函數解決了實際問題，體現了函數的工具作用例11.（2009四川卷文）設是已知平面上所有向量的集合，對于映射，記

20、的象為。若映射滿足：對所有及任意實數都有，則稱為平面上的線性變換。現有下列命題：設是平面上的線性變換，則 若是平面上的單位向量，對，則是平面上的線性變換； 對，則是平面上的線性變換； 設是平面上的線性變換，則對任意實數均有。其中的真命題是 （寫出所有真命題的編號）答案 解析 ：令，則故是真命題 同理，：令，則故是真命題 ：，則有 是線性變換，故是真命題 ：由，則有是單位向量，對任意實數，0，是假命題【備考提示】本小題主要考查函數，對應及高等數學線性變換的相關知識，試題立意新穎，突出創新能力和數學閱讀能力，具有選拔性質五【思維總結】“函數”是數學中最重要的概念之一，學習函數的概念首先要掌握函數三要素的基本內容與方法。由給定函數解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對各種式的認識與解不等式技能的熟練。1求函數解析式的題型有：（1）已知函數類型，求函數的解析式：待定系數法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊