1、概率論與數理統計習題及答案弟早1.寫出下列隨機試驗的樣本空間及下列事件中的樣本點：(1)擲一顆骰子，記錄出現的點數.A='出現奇數點；(2)將一顆骰子擲兩次，記錄出現點數.A ='兩次點數之和為10', B ='第 一次的點數，比第二次的點數大2'(3) 一個口袋中有5只外形完全相同的球，編號分別為1,2,3,4,5;從中同時取出3只球，觀察其結果， A='球的最小號碼為 1'(4)將a,b兩個球，隨機地放入到甲、乙、丙三個盒子中去，觀察放球情況，A='甲盒中至少有一球；(5)記錄在一段時間內，通過某橋的汽車流量，A='通

2、過汽車不足 5臺，B='通過的汽車不少于3臺。解 (1)S=e1,3©,e4,e5,e6其中 q ='出現 i 點，i =1,2,，6 , a =61 e©。(2) S=(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)(2,(1) (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1), (6

3、,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)；A =(4,6), (5,5), (6,4)；B =(3,1), (4,2), (5,3), (6,4)。(3) S =(1,2,3), (2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)(2,3,(5) (2,4,5), (1,3,5)A =(1,2,3), (1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)(4) S=(ab,-,-), (-,ab,-), (-,-,ab), (a,b,-), (a,-,b), (b,a,-), (b,-,a), (-,a,b,)

4、, (-,b,a),其中一表示空盒；A =( ab, -,-), (a,b,-), (a,-,b), (b,a,-), (b,-,a)o(5) S=0,1,2, A=0,1,2,3,4, B =3,4,。2.設A, B,C是隨機試驗E的三個事件，試用 A, B,C表示下列事件：(1) 僅A發生；(2) A, B,C中至少有兩個發生；(3) A, B,C中不多于兩個發生；(4) A, B,C中恰有兩個發生；(5) A, B, C中至多有一個發生。解(1) ABC abUacUbabcUabCUaBcUAbc；(3)AUBUC或 abCUaBcUAbcUaBCU AbCU ABcU ABC ；(4

5、)abCUaBcUAbc；(5)ABUACUBC或 ABCU aBCUAbCUABc ；3. 一個工人生產了三件產品，以a (i =1,2,3)表示第i件產品是正品，試用A表示下列事件：(1)沒有一件產品是次品；(2)至少有一件產品是次品；(3)恰有一件產品是次品；(4)至少有兩件產品不是次品。解(1)入4%；(2)2口人；(3) A A2A3UAA2AUA A2A3；(4) A A2U A A3 Ua2A 。4.在電話號碼中任取一個電話號碼，求后面四個數字全不相同的概率。設人='任取一電話號碼后四個數字全不相同，則P(A)=P0126104 250= 0.504- 3 5.(1)(2

6、) 解一批晶體管共40只，其中3只是壞的，今從中任取 5只，求5只全是好的的概率；5只中有兩只壞的的概率。(1)設A= '5只全是好的，則C5P(A)=號 B0.662；C40設B = '5只中有兩只壞的，則C2C%P(B) = C3-C37 B 0.0354.C06.袋中有編號為1到10的10個球，今從袋中任取 3個球，求(1) 3個球的最小號碼為 5的概率；(2) 3個球的最大號碼為 5的概率.解 (1)設A='最小號碼為5',則P(A)=C52C3o(2)設B ='最大號碼為5',則P(B)=C421C3o - 207. (1)教室里有r個

7、學生，求他們的生日都不相同的概率;(2)解房間里有四個人，求至少兩個人的生日在同一個月的概率(1)設A='他們的生日都不相同，則PLp(a)=T設8 ='至少有兩個人的生日在同一個月'P(B)=C4Cl2P2 +C4C122 +沅 +C12124,則41"96 'p4P(B) =1-P(B) =1-步41968.設一個人的生日在星期幾是等可能的，求 期中的某兩天，但不是都在同一天的概率.6個人的生日都集中在一個星解 設人='生日集中在一星期中的某兩天，但不在同一天'P(A)=C72(26 -2)76= 0.01107.? ? ? ?為什

8、么365r, 7 ,9 .將C,C,E,E,I,N,S等7個字母隨機地排成一行，那么恰好排成英文單 詞SCIENCE的概率是多少？解1設A ='恰好排成SCIENCE '將7個字母排成一列的一種排法看作基本事件，所有的排法：2字母C在7個位置中占兩個位置，共有C；種占法，字母E在余下的5個位字母I, N,C剩下的3個位置上全排列的方法_2_. .C； 3! =1260,而A中的基本事件只有一個，置中占兩個位置，共有C；種占法, 共3!種，故基本事件總數為 C"故P(A)=_2_2 _，C7 C5 3! 1260解2七個字母中有兩個 E,兩個C ,把七個字母排成一排，稱

9、為不盡相異元素的全排列。一般地，設有 n個元素，其中第一種元素有 n1個，第二種元素有色個，第k種元素有個(ni +nb +必=n),將這n個元素排成一排 稱為不盡相異元素的全排列。不同的排列總數為n!n1 !n2! nk!對于本題有141P(A)=.= 一 =.7!7! 12602!2!10 .從0,1,2,，9等10個數字中，任意選出不同的三個數字，試求下列事件的概率：a =，三個數字中不含 0和51A2三個數字中不含 0或5',A3 ='三個數字中含0但不含5'215c3 P(A)=W C10P(A2)=fFC10C_C303C10C101415，一C114P(A

10、2)=1-P(A2)=1-|-=-4,C1015C27P(A3)=普一.C1303011 .將n雙大小各不相同的鞋子隨機地分成 堆各成一雙的概率.解 n雙鞋子隨機地分成 n堆屬分組問題,n堆，每堆兩只，求事件A ='每不同的分法共(2n)!2!2!2!(2n)!(2!)'每堆各成一雙共有 n!種情況，故12 .設事件P(A)A與B互不相容，2n n!P(A) = 0.4, P(B)=0.3,求 P(AB)與P(A B)解 P(Ab»=1-P(A 均=1 P( A) P(用 0. 3因為A, B不相容，所以AnB ,于是P(A B)=P(A)=0.613 .若 P(AB

11、) =P(AB)且 P(A)=P，求 P(B).解 P( AB)- 1- P( A 辱 1 P( A) P(B) P(AB)由 P(AB) = P(AB)得P(B) =1 -P(A) =1 _ p14 .設事件A, B及AUB的概率分別為p,q,r ,求P(AB)及P(AUB) 解 P(AB)二 P(A) P(B)P(A B) = p q - rP(A B); P(A) P(B) - P(AB); P(A) 1 - P(B) - P(A) P(AB) =1 -q p q -r = 1 p -r .15 .設P(A)+P(B) =0.7 ,且A, B僅發生一個的概率為 0.5,求A,B都發 生的

12、概率。解1由題意有 _0.5 = P(AB AB) -P(AB) P(AB)=P(A)-P(AB) P(B) -P(AB)= 0.7 -2P(AB),所以P(AB) =0.1 .解2 A, B僅發生一個可表示為 aUb -AB ,故0.5 = P(A B) -P(AB) = P(A) P(B) -2P(AB), 所以P(AB) =0.1 .16 .設 P(A) =0.7, RA Bl 電3 PBf 0.2 ，求 P(AB)與 P(AB). 解 0. 3= P A B 尸 P (A ) P (A B=)0.7 P A B所以P(AB) =0.4 ,P(AB) =0.6；0.2 =P(B) -P(

13、AB) =P(B)-0.4.所以P(B) =0.6P(AB) =1 - P(A B) =1 - P(A) -P(B) P(AB) =0.117 .設 ABUC ,試證明 P(A)+P(B) P(C) <1證因為AB = C ,所以P(C) -P(AB) =P(A) P(B) -P(A B) - P(A) P(B) -1 故P(A) + P(B)P(C) <1 .證畢.18 .對任意三事件 A,B,C ,試證P(AB) P(AC) - P(BC) , P(A).證P(AB)+P(AC)-P(BC) <P(AB) + P(AC) -P(ABC)= P(ABU AC) =P A(B

14、UC) <P(A).證畢.口人1八19 .設 A,B,C 是三個事件，且 P(A) = P(B) = P(C)= , P(AB) = P(BC)=0,4-1,八一，P(AC)= ,求A,B,C至少有一個發生的概率。8解 P(A B C= P A P B PC P AB P AC (P B)C (P ABC 因為 0WP(ABC)至 R A5 ,所以P(ABC) =0,于是P( A B C) = - - = 4 8 820.隨機地向半圓0 < y < J2ax -x2 (a為正常數)內擲一點，點落在園內任何區域的概率與區域的面積成正比，求原點與該點的連線與 x軸的夾角小于解：半

15、圓域如圖y/ / 4的概率.設人='原點與該點連線與 x軸夾角小于兀/4' 由幾何概率的定義1 _ 21 2P(A);刖勺面積: a 2aJ( )半園的面積 122二a221 .把長為a的棒任意折成三段，求它們可以構成三角形的概率不等式構成平面域 S.A發生u<x+y<a,解1設A='三段可構成三角形，又三段的長分別為 x, y, a - x - y ,ca ca a0 : x ： 一, 0 : y ：二一，- ：:： x y : a不等式確定S的子域A ,所以_、A的面積1() S的面積 422 2解2設三段長分別為 x,y,z,則0cx<a, 0&

16、lt;y<a, 0<z<a且, 9 ,x + y +z =a ,不等式確定了三維空間上的有界平面域S .A發生u x+yzx z y y z x不等式確定S的子域A,所以P(A)=A的面積S的面積22.隨機地取兩個正數 x和y ,這兩個數中的每一個都不超過1,試求x與y之和不超過1,積不小于0.09的概率.解 0WxM1, 0y < ,1不等式確定平面域 S.A= ' x + y M1, xy 之 0.09'則 A發生的充要條件為0Mx y M1, 1 _ xy_ 0.09不等式確定了 S的子域A,故P(A)=A的面積S的面積0.9 0.10.9(1-x )dxx= 0.4 -0.18ln 3