1、2008年全國統一高考數學試卷（理科）（全國卷）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）函數的定義域為（）Ax|x0Bx|x1Cx|x10Dx|0x12（5分）汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖象可能是（）ABCD3（5分）在ABC中，=，=若點D滿足=2，則=（）ABCD4（5分）設aR，且（a+i）2i為正實數，則a=（）A2B1C0D15（5分）已知等差數列an滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項的和S10=（）A138B135C95D236（5分）若函數y=f（x）的圖象與函數y=l

2、n的圖象關于直線y=x對稱，則f（x）=（）Ae2x2Be2xCe2x+1De2x+27（5分）已知曲線y=在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a的值為（）A2BCD28（5分）為得到函數的圖象，只需將函數y=sin2x的圖象（）A向左平移個長度單位B向右平移個長度單位C向左平移個長度單位D向右平移個長度單位9（5分）設奇函數f（x）在（0，+）上為增函數，且f（1）=0，則不等式0的解集為（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）10（5分）若直線=1與圓x2+y2=1有公共點，則（）Aa2+b21Ba2+b21CD11（5分）已

3、知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）ABCD12（5分）如圖，一環形花壇分成A，B，C，D四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（）A96B84C60D48二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）若x，y滿足約束條件，則z=2xy的最大值為 14（5分）已知拋物線y=ax21的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為 15（5分）在ABC中，AB=BC，若以A，B為焦點的橢圓經過點C，則該橢圓的離心率

4、e= 16（5分）等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角CABD的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點，則EM，AN所成角的余弦值等于 三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）設ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosBbcosA=c（）求的值；（）求tan（AB）的最大值18（12分）四棱錐ABCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC底面BCDE，BC=2，AB=AC（）證明：ADCE；（）設CE與平面ABE所成的角為45°，求二面角CADE的大小19（12分）已知函數f（x）=x2+ax+1lnx（）當a=3時，求函數f（x）的單調遞

5、增區間；（）若f（x）在區間（0，）上是減函數，求實數a的取值范圍20（12分）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗（）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；（）表示依方案乙所需化驗次數，求的期望21（12分）雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過

6、右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點已知|、|、|成等差數列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程22（12分）設函數f（x）=xxlnx數列an滿足0a11，an+1=f（an）（）證明：函數f（x）在區間（0，1）是增函數；（）證明：anan+11；（）設b（a1，1），整數證明：ak+1b2008年全國統一高考數學試卷（理科）（全國卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）函數的定義域為（）Ax|x0Bx|x1Cx|x10Dx|0x1【考點】33：函數的定義域及其求法菁優網版權所有【分析

7、】偶次開方的被開方數一定非負x（x1）0，x0，解關于x的不等式組，即為函數的定義域【解答】解：由x（x1）0，得x1，或x0又因為x0，所以x1，或x=0；所以函數的定義域為x|x10故選：C【點評】定義域是高考必考題通常以選擇填空的形式出現，通常注意偶次開方一定非負，分式中分母不能為0，對數函數的真數一定要大于0，指數和對數的底數大于0且不等于1另外還要注意正切函數的定義域2（5分）汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖象可能是（）ABCD【考點】3A：函數的圖象與圖象的變換菁優網版權所有【專題】16：壓軸題；31：數形結合

8、【分析】由已知中汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，汽車的行駛路程s看作時間t的函數，我們可以根據實際分析函數值S（路程）與自變量t（時間）之間變化趨勢，分析四個答案即可得到結論【解答】解：由汽車經過啟動后的加速行駛階段，路程隨時間上升的速度越來越快，故圖象的前邊部分為凹升的形狀；在汽車的勻速行駛階段，路程隨時間上升的速度保持不變故圖象的中間部分為平升的形狀；在汽車減速行駛之后停車階段，路程隨時間上升的速度越來越慢，故圖象的前邊部分為凸升的形狀；分析四個答案中的圖象，只有A答案滿足要求，故選：A【點評】從左向右看圖象，如果圖象是凸起上升的，表明相應的量增長速度越來越慢；如果圖象

9、是凹陷上升的，表明相應的量增長速度越來越快；如果圖象是直線上升的，表明相應的量增長速度保持不變；如果圖象是水平直線，表明相應的量保持不變，即不增長也不降低；如果圖象是凸起下降的，表明相應的量降低速度越來越快；如果圖象是凹陷下降的，表明相應的量降低速度越來越慢；如果圖象是直線下降的，表明相應的量降低速度保持不變3（5分）在ABC中，=，=若點D滿足=2，則=（）ABCD【考點】9B：向量加減混合運算菁優網版權所有【分析】把向量用一組向量來表示，做法是從要求向量的起點出發，盡量沿著已知向量，走到要求向量的終點，把整個過程寫下來，即為所求本題也可以根據D點把BC分成一比二的兩部分入手【解答】解：由，

10、故選：A【點評】用一組向量來表示一個向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎，要學好運算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數問題，好多問題都是以向量為載體的4（5分）設aR，且（a+i）2i為正實數，則a=（）A2B1C0D1【考點】A4：復數的代數表示法及其幾何意義菁優網版權所有【分析】注意到a+bi（a，bR）為正實數的充要條件是a0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai1）i=2a+（a21）i0，a=1故選D【點評】本題的計算中，要注意到相應變量的范圍5（5分）已知等差數列an滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項的和S10=（）

11、A138B135C95D23【考點】83：等差數列的性質；85：等差數列的前n項和菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】本題考查的知識點是等差數列的性質，及等差數列前n項和，根據a2+a4=4，a3+a5=10我們構造關于基本量（首項及公差）的方程組，解方程組求出基本量（首項及公差），進而代入前n項和公式，即可求解【解答】解：（a3+a5）（a2+a4）=2d=6，d=3，a1=4，S10=10a1+=95故選：C【點評】在求一個數列的通項公式或前n項和時，如果可以證明這個數列為等差數列，或等比數列，則可以求出其基本項（首項與公差或公比）進而根據等差或等比數列的通項公式，寫出該數列的通項公

12、式，如果未知這個數列的類型，則可以判斷它是否與某個等差或等比數列有關，間接求其通項公式6（5分）若函數y=f（x）的圖象與函數y=ln的圖象關于直線y=x對稱，則f（x）=（）Ae2x2Be2xCe2x+1De2x+2【考點】4R：反函數菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】由函數y=f（x）的圖象與函數y=ln的圖象關于直線y=x對稱知這兩個函數互為反函數，故只要求出函數y=f（x）的反函數即可，欲求原函數的反函數，即從原函數y=ln中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數的解析式【解答】解：，x=（ey1）2=e2y2，改寫為：y=e2x2答案為A【點評】本題主要考查了互為反函數圖象

13、間的關系及反函數的求法7（5分）已知曲線y=在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a的值為（）A2BCD2【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程菁優網版權所有【專題】53：導數的綜合應用【分析】求出函數的導數，切線的斜率，由兩直線垂直的條件，即可得到a的值【解答】解：y=，y=，曲線y=在點（3，2）處的切線的斜率k=，曲線y=在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，直線ax+y+1=0的斜率k=a×=1，即a=2故選：D【點評】本題考查導數的幾何意義的求法，考查導數的運算，解題時要認真審題，仔細解答，注意直線與直線垂直的性質的靈活運用8（5分）為得到函

14、數的圖象，只需將函數y=sin2x的圖象（）A向左平移個長度單位B向右平移個長度單位C向左平移個長度單位D向右平移個長度單位【考點】HJ：函數y=Asin（x+）的圖象變換菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】先根據誘導公式將函數化為正弦的形式，再根據左加右減的原則進行平移即可得到答案【解答】解：，只需將函數y=sin2x的圖象向左平移個單位得到函數的圖象故選：A【點評】本題主要考查誘導公式和三角函數的平移屬基礎題9（5分）設奇函數f（x）在（0，+）上為增函數，且f（1）=0，則不等式0的解集為（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）【考點

15、】3N：奇偶性與單調性的綜合菁優網版權所有【專題】16：壓軸題【分析】首先利用奇函數定義與得出x與f（x）異號，然后由奇函數定義求出f（1）=f（1）=0，最后結合f（x）的單調性解出答案【解答】解：由奇函數f（x）可知，即x與f（x）異號，而f（1）=0，則f（1）=f（1）=0，又f（x）在（0，+）上為增函數，則奇函數f（x）在（，0）上也為增函數，當0x1時，f（x）f（1）=0，得0，滿足；當x1時，f（x）f（1）=0，得0，不滿足，舍去；當1x0時，f（x）f（1）=0，得0，滿足；當x1時，f（x）f（1）=0，得0，不滿足，舍去；所以x的取值范圍是1x0或0x1故選：D【點評

16、】本題綜合考查奇函數定義與它的單調性10（5分）若直線=1與圓x2+y2=1有公共點，則（）Aa2+b21Ba2+b21CD【考點】J9：直線與圓的位置關系菁優網版權所有【分析】用圓心到直線的距離小于或等于半徑，可以得到結果【解答】解：直線與圓有公共點，即直線與圓相切或相交得：dr，故選：D【點評】本題考查點到直線的距離公式，直線和圓的位置關系，是基礎題11（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）ABCD【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系菁優網版權所有【專題】11：計算題；31：數形

17、結合；4R：轉化法；5G：空間角【分析】法一：由題意可知三棱錐A1ABC為正四面體，設棱長為2，求出AB1及三棱錐的高，由線面角的定義可求出答案；法二：先求出點A1到底面的距離A1D的長度，即知點B1到底面的距離B1E的長度，再求出AE的長度，在直角三角形AEB1中求AB1與底面ABC所成角的正切，再由同角三角函數的關系求出其正弦【解答】解：（法一）因為三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為ABC的中心，設為D，所以三棱錐A1ABC為正四面體，設棱長為2，則AA1B1是頂角為120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60&#

18、176;=2，A1D=，所以AB1與底面ABC所成角的正弦值為=；（法二）由題意不妨令棱長為2，點B1到底面的距離是B1E，如圖，A1在底面ABC內的射影為ABC的中心，設為D，故DA=，由勾股定理得A1D=故B1E=，如圖作A1SAB于中點S，過B1作AB的垂線段，垂足為F，BF=1，B1F=A1S=，AF=3，在直角三角形B1AF中用勾股定理得：AB1=2，所以AB1與底面ABC所成角的正弦值sinB1AE=故選：B【點評】本題考查了幾何體的結構特征及線面角的定義，還有點面距與線面距的轉化，考查了轉化思想和空間想象能力12（5分）如圖，一環形花壇分成A，B，C，D四塊，現有4種不同的花供選

19、種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（）A96B84C60D48【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率菁優網版權所有【專題】16：壓軸題【分析】這道題比起前幾年出的高考題要簡單些，只要分類清楚沒有問題，分為三類：分別種兩種花、三種花、四種花，分這三類來列出結果【解答】解：分三類：種兩種花有A42種種法；種三種花有2A43種種法；種四種花有A44種種法共有A42+2A43+A44=84故選：B【點評】本題也可以這樣解：按ABCD順序種花，可分A、C同色與不同色有4×3×（1×3+2×2）=84二、填空題（共4小題，每小題

20、5分，滿分20分）13（5分）若x，y滿足約束條件，則z=2xy的最大值為9【考點】7C：簡單線性規劃菁優網版權所有【專題】11：計算題；13：作圖題【分析】首先作出可行域，再作出直線l0：y=2x，將l0平移與可行域有公共點，直線y=2xz在y軸上的截距最小時，z有最大值，求出此時直線y=2xz經過的可行域內的點的坐標，代入z=2xy中即可【解答】解：如圖，作出可行域，作出直線l0：y=2x，將l0平移至過點A處時，函數z=2xy有最大值9【點評】本題考查線性規劃問題，考查數形結合思想14（5分）已知拋物線y=ax21的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為2【考

21、點】K8：拋物線的性質菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】先根據拋物線y=ax21的焦點坐標為坐標原點，求得a，得到拋物線方程，進而可知與坐標軸的交點的坐標，進而可得答案【解答】解：由拋物線y=ax21的焦點坐標為坐標原點得，則與坐標軸的交點為（0，1），（2，0），（2，0），則以這三點圍成的三角形的面積為故答案為2【點評】本題主要考查拋物線的應用考查了學生綜合運用所學知識，解決實際問題的能力15（5分）在ABC中，AB=BC，若以A，B為焦點的橢圓經過點C，則該橢圓的離心率e=【考點】K4：橢圓的性質菁優網版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】設AB=BC=1，則，由此可

22、知，從而求出該橢圓的離心率【解答】解：設AB=BC=1，則，答案：【點評】本題考查橢圓的性質及應用，解題時要注意的正確計算16（5分）等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角CABD的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點，則EM，AN所成角的余弦值等于【考點】LM：異面直線及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法菁優網版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】先找出二面角的平面角，建立邊之間的等量關系，再利用向量法將所求異面直線用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可【解答】解：設AB=2，作CO面ABDE，OHAB，則CHAB，CHO為二面角CABD的平面角

23、，結合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐，則，=故EM，AN所成角的余弦值故答案為：【點評】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）設ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosBbcosA=c（）求的值；（）求tan（AB）的最大值【考點】GP：兩角和與差的三角函數；HP：正弦定理菁優網版權所有【分析】本題考查的知識點是正弦定理及兩角和與差的正切函數，（）由正弦定理的邊角互化，我們可將已知中，進行轉化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求

24、的值（）由（）的結論，結合角A，B，C為ABC的內角，我們易得tanA=4tanB0，則tan（AB）可化為，再結合基本不等式即可得到tan（AB）的最大值【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，則；（）由得tanA=4tanB0當且僅當時，等號成立，故當時，tan（AB）的最大值為【點評】在解三角形時，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于邊角互化，使用時要注意一般是等式兩邊是關于三邊的齊次式18（12分）四棱錐ABCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC底面BCDE，BC=2，AB=AC（）證明：ADCE；（）設CE與平面ABE所成的角為4

25、5°，求二面角CADE的大小【考點】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁優網版權所有【專題】5F：空間位置關系與距離【分析】（1）取BC中點F，證明CE面ADF，通過證明線面垂直來達到證明線線垂直的目的（2）在面AED內過點E作AD的垂線，垂足為G，由（1）知，CEAD，則CGE即為所求二面角的平面角，CGE中，使用余弦定理求出此角的大小【解答】解：（1）取BC中點F，連接DF交CE于點O，AB=AC，AFBC又面ABC面BCDE，AF面BCDE，AFCE再根據 ，可得CED=FDC又CDE=90°，OED+ODE=90°，DOE=90°，

26、即CEDF，CE面ADF，CEAD（2）在面ACD內過C點作AD的垂線，垂足為GCGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD，則CGE即為所求二面角的平面角作CHAB，H為垂足平面ABC平面BCDE，矩形BCDE中，BEBC，故BE平面ABC，CH平面ABC，故BECH，而ABBE=B，故CH平面ABE，CEH=45°為CE與平面ABE所成的角CE=，CH=EH=直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH=1，AH=ABBH=AC1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC1）2，AB=AC=2由面ABC面BCDE，矩形BCDE中CDCB，可得CD面ABC，故

27、ACD為直角三角形，AD=，故CG=，DG=，又 ，則，即二面角CADE的大小【點評】本題主要考查通過證明線面垂直來證明線線垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，屬于中檔題19（12分）已知函數f（x）=x2+ax+1lnx（）當a=3時，求函數f（x）的單調遞增區間；（）若f（x）在區間（0，）上是減函數，求實數a的取值范圍【考點】3D：函數的單調性及單調區間；3E：函數單調性的性質與判斷菁優網版權所有【專題】16：壓軸題【分析】（1）求單調區間，先求導，令導函數大于等于0即可（2）已知f（x）在區間（0，）上是減函數，即f（x）0在區間（0，）上恒成立，然后用分離參數求最值即可【解答】解：

28、（）當a=3時，f（x）=x2+3x+1lnx解f（x）0，即：2x23x+10函數f（x）的單調遞增區間是（）f（x）=2x+a，f（x）在上為減函數，x時2x+a0恒成立即a2x+恒成立設，則x時，4，g（x）0，g（x）在上遞減，g（x）g（）=3，a3【點評】本題考查函數單調性的判斷和已知函數單調性求參數的范圍，此類問題一般用導數解決，綜合性較強20（12分）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結果呈陽性

29、則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗（）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；（）表示依方案乙所需化驗次數，求的期望【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：離散型隨機變量的期望與方差菁優網版權所有【分析】（1）由題意得到這兩種方案的化驗次數，算出在各個次數下的概率，寫出化驗次數的分布列，求出方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率（2）根據上一問乙的化驗次數的分布列，利用期望計算公式得到結果【解答】解：（）若乙驗兩次時，有兩種可能：先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好一次驗中概率

30、為：先驗三只結果為陰性，再從其它兩只中驗出陽性（無論第二次試驗中有沒有，均可以在第二次結束），乙只用兩次的概率為若乙驗三次時，只有一種可能：先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好二次驗中概率為在三次驗出時概率為甲種方案的次數不少于乙種次數的概率為：（）表示依方案乙所需化驗次數，的期望為E=2×0.6+3×0.4=2.4【點評】期望是概率論和數理統計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數，學習期望將為今后學習概率統計知識做鋪墊同時，它在市場預測，經濟統計，風險與決策等領域有著廣泛的應用，為今后學習數學及相關學科產生深遠的影響21（12分）雙曲線的中心為原點O，焦點在

31、x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點已知|、|、|成等差數列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程【考點】KB：雙曲線的標準方程；KC：雙曲線的性質菁優網版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】（1）由2個向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進而求出離心率（2）利用第（1）的結論，設出雙曲線的方程，將AB方程代入，運用根與系數的關系及弦長公式，求出待定系數，即可求出雙曲線方程【解答】解：（1）設雙曲線方程為，由，同向，漸近線的傾斜角范圍為（0，），漸近線斜率為：，|、|、|成等差數列，|OB|+|OA|=2|AB|，|AB|2=（|OB|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|OA|）2|AB|，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也為直角三角形，即tanAOB=，而由對稱性可知：OA的斜率為k=tan，2k2+3k2=0，；，（2）由第（1）知，a=2b，可設雙曲線方程為=1，c=b由于AB的傾斜角為+AOB，故AB的斜率為tan（+AOB ）=cot（AOB）=2，AB的直線方程為 y=2（xb），代入雙曲線方程得：15x232bx+84