1、“兩個基本計數原理”教學設計及教學反思江蘇省蘇州中學劉華（215007）在新課標教材中，“兩個基本計數原理”是高中數學選修2-3第1章“計數原理”的起始課，在原大綱版教材中，這個章節的標題是“排列、組合與二項式定理”，新課標教材的內容與原人教版教材是一致的，但新課標的理念卻有了很大的不同，如何在教學設計以及教學過程中充分展現新課程對數學教學的新要求？這使我在著手教學設計之時就面臨挑戰.1 .如何處理教材1.1目標定位教材提供了教學的素材一一原理、范例、練習（習題），如何將素材整合成一個有機的教學內容？首先要分析教學內容在教材體系（乃至數學知識體系）中的地位，并確立教學的目標.課程標準對本章的教

2、學側重點做了界定：“計數問題是數學中的重要研究對象之一，分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數原理，它們為解決很多實際問題提供了思想和工具.1”這說明，本章的教學重點是兩個基本計數原理，而排列、組合、二項式定理則是兩個基本計數原理的應用實例.根據上述分析，結合課程標準對本章的目標定位，我認為，“計數原理”這一章研究的對象是計數問題，研究的方法是“問題解決”，研究的過程是“建構方法”，在本課的學習過程中，師生將面對實際計數問題（可能是已加工過的）并加以解決，這一“問題解決”過程的目標是建構方法一一兩個基本計數原理.因此，將本節課的教學目標擬定為：1

3、.%2.通過實例分析，讓學生自主建構分類加法計數原理和分步乘法計數原理，并弄清它們的區別.2.%2 .能初步運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的計數問題.1.2重難點分析對學生而言，“計數”是其學習數學的基本能力之一，簡單的計數問題，其解決方法就是“數”數，但復雜的問題呢？因此，要使學生意識到，只會機械地“數”是不夠的，必須從簡單的、已能解決的計數問題中，抽象出能夠解決一“類”問題的方法，并明確界定適用該方法的問題的“類”.由此可知，本節課教學的重點與難點為：.本節課的重點是經歷對實際問題進行方法建構的過程，從而掌握解決實際計數問題的流程，即：分析問題一構造方法一選擇原理

4、一解決問題.本節課的難點是在具體問題解決中，區別使用計數原理.1.3課題引入由于本節課是本章的起始課，還承擔著本章引入的教學任務，通過本章引入，我們將帶領學生走進本章的數學學習，使學生明白本章的學習主體內容與學習任務，為學生創設良好的數學學習環境.本章的引入采用了以下的問題（情境）：問題情境1:擲一顆骰子，出現點數小于3的概率是多少？問題情境2:中新社蘇州2006年12月31日電（天榮姚靜）記者今天從有關部門獲悉，截至目前，蘇州市城鄉機動車總數已達55.53萬輛，比去年同期凈增10萬余輛，平均每天新增300輛，成為近幾年來該市新增機動車數量最多的一年，全市機動車保有總量僅次于上海和北京.蘇州市

5、汽車牌照形式為“蘇E-XXzzz”，其中“蘇E”為地區代碼，XX可以是數字與字母的組合，zzz是數字的組合，如果按此牌照方式編排，理論上汽車數量最多為多少？問題情境3:下圖是某城市的街道.西北角是某同學的家，東南角是學校.從家經東西4條街，南北5條街到學校（最短距離），有幾種不同的走法？i*JIIIIIIILI111 1 1 1r通過以上的問題（情境）的引入，揭示本章的研究課題：教學片斷：師：先看一個問題，擲一顆骰子出現點數小于3的概率是多少？生齊：3.師：好！怎么算的？我請一位同學來回答。生1:擲骰子一共有6種等可能的基本事件，然后小于3的有1和2（出現1或2點），1那么扔到1和2的概率就是

6、1。3師：謝謝，請坐！我們知道，古典概型中，A事件發生概率的計算公式是P（A）=m。那么，現在我們的問題改為：m和n怎么計算？師：（我們發現）這個問題，本來是一個概率問題，現在發現它轉化成一個計數的問題了，那么，如何計數呢？當然，這個問題很簡單，遇到復雜的問題我們怎么樣來計數呢？這就是我們今天要開始學習的新的一章一一計數原理。設計意圖： 從古典概型中引入計數問題，設計思想是根據學生的最近發展區一一學生已經學過了概率（古典概型），他們知道在古典概型中，計算一個事件的概率可以用P（A）=m來計算，而由n和m的計算就可以引入計數的問題。師：（見PPT）這是一則新聞，講什么呢？蘇州的汽車比較多，我們（

7、蘇州）現在的機動車總數是55.53萬輛，至少說目前路比較擠，你們騎自行車要讓著點。（問題是）什么意思呢？我們現在的牌照是什么樣子的？蘇EXXzzz，蘇E是地區代碼，XX可以是數字或字母的組合，z是數字的組合。如果按此牌照方式編排，理論上蘇州汽車數量總量是多少？這是個什么問題？（生：是計數問題）師：這里有張圖，表示某城市的街道，西北角是同學的家，東南角是學校，那么現在的問題是：從家里經東西四條街南北五條街到學校，按照最短距離走的話，有幾種不同的走法？師：（指著PPT）這是最短路線的一種（演示），它對應著這張圖（PPT）。有沒有其他的最短路線？誰上來比劃一下？師：請這位同學上來，在圖上指出一條與原

8、圖不同的最短路線！請！（生2上來指出了一條最短路線。）師：這也是最短路線是不是？（繼續問生2）好！你說他是怎么經過了怎么樣一種方式走的最短路線？生2:（在最短路線中）他要么往東面走，要么往南面走，往東面走四格，往南面走三格（就能到了）。師：好，謝謝你！請坐！師：這個學生他往東（實際上就是往右）走四段，往南走三段就可以完成這件事，那么，一共要走幾段？（停頓，讓學生思考）一共要走七段是不是就走到學校了？那么大學能否算出有幾種不同的走法？師：這是一個什么樣的問題？S齊：計數問題師：我們組合學中一開始先研究計數問題，來看書，書上說“我們在社會生活的各個方面”，我還要再補充一句“我們在數學中實際上也要涉

9、及到計數的問題”。師：本章的問題就是利用怎樣的模型刻畫和解決計數問題。設計意圖：這節課是高中數學新課程標準教科書選修2-3第一章計數原理的起始課,這節課除了要完成兩個基本計數原理（加法原理、乘法原理）的教學任務之外，還承擔著引領學生進入新的一章進行數學學習的作用。1.4例習題處理在本章引入完成后，進入“兩個基本計數原理”的教學環節，為了通過實例建構方法,本課采用了以下的問題（情境）：.（課例延用）行程方法計數問題.（1）如圖（1）,從甲地到乙地有3條公路、2條鐵路，某人要從甲地到乙地.共有多少種不同的方法？（2）如圖（2）,從甲地到乙地有3條道路.從乙地到內地有2條道路.那么從甲地經乙地到丙地

10、共有多少種不同的方法？上述兩個問題有什么區別？由這兩個問題分別可以得到怎樣的數學模型?.（自編新例）擲骰子計數問題.（1）擲一顆骰子兩次，出現點數之和小于5的情況有多少種？（2）擲一顆骰子兩次，共可出現多少種情況？其中，“擲骰子計數”問題的創設很好地呼應了“從古典概型中引入計數問題”的過程，也使學生明白數學知識之間的聯系，雖然教學使用的是線性的順序，但數學知識體系本身是“網狀”的，古典概型問題的真正解決，依賴于計數方法.通過以上計數問題建構出兩個基本原理后，在教學中使用了以下的例題與練習，并提出了拓展思考題：.（課例延用）從兩個不同群體中選一名代表，各選一名代表，有多少種不同的方法？例1某班共

11、有男生28名、女生20名，從該班選出學生代表參加校學代會.(1)若學校分配給該班1名代表，有多少種不同的選法？(2)若學校分配給該班2名代表，且男、女生代表各1名，有多少種不同的選法?.(補充題組)(1)滿足x+yw5的有序正整數組(x,y)共有多少組?(2)集合1,2,3,4,5的二元子集有多少個？(3)集合1,2,3,4,5的子集有多少個？.(課內練習)課后練習題2題.(1)手表廠為了供應更多新穎款式的手表，為統一的機芯設計了種顏色的表面及3種形式的數字，問：共有幾種不同的款式？(2)如圖，從甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有路可走，又從甲地不經過乙地到丙地有2條水路可走.從甲地經乙

12、地到丙地有多少種不同的走法？從甲地到丙地共有多少種不同的走法？.(課后拓展思考)已知集合M=1,2,3,P=4,5,6.(1)以M為定義域，P為值域的不同函數有幾個？(2)從M到P不同的映射有多少個？2.如何引導學生學情及知識準備的分析由于是在外校借班上課，雖然事先也有過對學生情況的側面了解，班主任也特地準備了一份名單，但是，實際上我對學生原有的數學學習能力還是一無所知.我必須將“入門”的起點“放低”，并通過課堂教學中學習的即時反饋，生成完整的教學過程.從學生的知識準備來看，由于在數學必修3中已學習過概率(古典概型)，而且當時也有過爭議一一不學排列組合，怎么解決古典概型？現在看來，課程標準所倡

13、導的是知識與技能的“螺旋式上升”，我要做的就是建立起兩者之間的聯系，因此，我計劃從一個古典概型問題引出計數問題，找準學生的“最近發展區”來組織教學.突破難點“計數”幾乎是人類一種“天生”的能力，對于簡單的計數問題，最常用的方法就是“數”.計數原理這一章的存在，不是要讓學生掌握一種新的技能，而是要發展學生這種“與生俱來”的能力，使之能合理地應用于復雜的計數問題.當然，在問題解決的過程中，學生需要不斷地歸納、總結，形成解決計數問題的方法和技能.按以往的教學經驗，本節課的難點是在解題中區別所使用的基本計數原理.學生在面對問題時，往往不知是使用哪個原理，他們會嘗試著先用分類加法計數原理(或分步乘法計數

14、原理)，然后看教師的反應(反饋)，有時教師一個皺眉，就會讓學生意識到在原理的選用上產生了謬誤，從而改用另一個(原理)； 而教師在面對學生的錯誤時， 也常常會“斷喝”一“想一想， 到底是分類， 還是分步？”一一這會給學生一個強烈的暗示：“我的方法選擇錯了”.在這種教學模式下，學生是否能真正地掌握兩個基本計數原理呢？答案是否定的，我們常常看到，學生在教師的“幫助”下(通常我們認可這種幫助是善意的)，解決課堂上的計4種形狀的外殼、22條公數問題沒有困難，可一旦自主面對問題，就往往會陷入兩難：“到底是分類、還是分步？”.從歷年高考對排列、組合問題的考查結果分析中發現，這類問題的得分情況并不理想，原因可

15、能就在于學生對于“模式套代”的依賴過強，并沒有能真正掌握計數原理的實質.當學生面對題組一一滿足x+yW5的有序正整數組（x,y）共有多少組？集合1,2,3,4,5的二元子集有多少個？子集有多少個？當一時，顯然遇到了困難，很明顯這些問題都需要“計數”，但又無法從題意中區別是使用哪一個計數原理，但這并不影響他們的解題，大多數學生通過“數”的方法，得到了正確的結果，以“集合1,2,3,4,5的二元子集有多少個？”為例，學生通過列下表子集計數含有 1 的子集1,2,1,3,1,4,1,54不含 1 且含有 2 的子集2,3,2,4,2,53不含 1,2 且含有 3 的子集3,4,3,52不含 1,2,

16、3 且含有 4 的子集4,51合計10可以知道按上述方法來計數，使用的是分類加法計數原理，該方法的要點是將計數對象（集合）分成若干類，每一類可看作一個集合，滿足特征“兩兩交集為空，所有集合的并為全集”.實際上，這也是分類加法計數原理中類的基本要求.然而，如果我們將表變造一下：子集計數含有 1 的子集1,2,1,3,1,4,1,54含有 2 的子集2,1,2,3,2,4,2,54含有 3 的子集3,1,3,2,3,4,3,54含有 4 的子集4,1,4,2,4,3,4,54含有 5 的子集5,1,5,2,5,3,5,44合計20我們會發現其中蘊含著乘法式一一5X4=20,實際上，借助這個表，我們

17、將寫二元子集的步驟改為：往格子“，匚中不重復地填入1,2,3,4,5這五個數字；對照集合中元素的互異性，除去重復的情形.很顯然，步驟的做法數為5X4,按步驟，應當除去2,因為a,b與b,a在中都出現了，但它們是相同的集合，這樣，二元子集的個數應為524=10（個）.顯然，這個做法在計數時就應當使用分步乘法計數原理.由此看來，教師不應在學生面對問題時問“到底是分類、還是分步？，而應當引導學生構建方法，根據方法的特征來選擇所適用的原理，這樣做，是不是事半功倍呢？3.如何組織教學教學流程的準備本課教學流程：口題情境 I 建構數學 T 數學理論1艮學運用Hi而反思通常一種教學流程往往對應著一種教學策略

18、的設計，包括合理完善的教學環節，以及為完成每個環節而分配有效的教學時間.方法建構過程并非是純理論的演繹，而是結合實例、建構方法、并歸納抽象出數學原理.學生通過經歷這一過程，完善了對解決問題過程的認識，這也是數學課力圖體現的過程性目標之一.本節課是章起始課，情境的輔墊要為全章的教學服務，方法的建構也需要學生自主地完成，因此，前三個環節預設的時間是比較多的，大約占到2530分鐘.如果用很短的時間介紹兩個基本原理，將大量的時間花在習題演練過程，也許短期內會取得較好的效果一一學生通過解題既鞏固了方法，又鍛煉了技能，可這種“熟能生巧”型的教學為什么不能使學生真正地掌握計數方法？因為“熟未必生巧”，為解題而解題這種以“習題為中心，訓練為核心，應考為重心”的教學模式，無法促進學生的自覺學習，是不能令學生得到真正高效的學習過程的.學生主體觀課堂教學過程是在教學目標的指引下，由師生共同動態“生成”的.其中，學生的反饋是重要的，它決定了教學的進程.聆聽學生是教師的必備技能，不要將學生作為“答案發生器”，不要沉浸在“我的學生都會做了”這種虛假的成功喜悅中，而應該讓學生關注解決問題的過程、策略及思想方法，讓他們充分地展示思想，完整地、數學地表達自己的想法，甚至于應該給予他們犯錯的機會，也幫助他們提高分析錯誤、更正錯誤的能力.學生在解題時，往往對答案很在意，也很在行.例如在問題“集合