1、專題訓練等腰三角形的存在性問題典藏回顧我們收集、解讀近5年全國各地的中考數學壓軸題，以全省（市）統一考試的北京、上海、重慶、山西、陜西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市為單位統一考試的江蘇、浙江、廣東、山東、湖北、湖南、福建、四川、遼寧等地的試題為樣本，分析各地考試壓軸題的常見類型。等腰三角形的存在性問題是中考數學的熱點問題，近五年上海、重慶和江蘇、浙江、廣東、湖北等省份的部分市考到過這個問題，也是上海各區模擬考試的熱點.專題攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在AB=AC,BA=BC,CA=CB三種情況.已知腰長畫等腰三角形用圓規畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線.解等腰三角形的

2、存在性問題，有幾何法和代數法，把幾何法和代數法相結合，可以使得解題又好又快.幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算.代數法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗.針對訓練1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點D在坐標為（3,4）,點P是x軸正半軸上的一個動點，如果DOP是等腰三角形，求點P的坐標.（09上海24）2 .如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,動點P以2個單位/秒的速度從點A出發，沿AC向點C移動，同時動點Q以1個單位/秒的速度從點C出發，沿CB向點B移動，當P、Q兩點中其中一點到達終點時則停止運動.在P、Q兩點移動過程中，當PQC為等腰三角形時，求t的值.（08

3、南匯25）3 .如圖，直線y=2x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,點P是x軸正半軸上的一個動點，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點Q,如果APQ是等腰三角形，求點P的坐標.三年真題4 .（12臨沂26）如圖，點A在x軸上，OA=4,將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置.（1）求點B的坐標；（2）求經過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.5 .（11湖州24）如圖1,已知正方形OABC的邊長為2,頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點.P

4、（0,m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D.（1）求點D的坐標（用含m的代數式表示）；（2）當APD是等腰三角形時，求m的值；（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E,過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）.當點P從O向C運動時，點H也隨之運動.請直接寫出點H所經過的路長（不必寫解答過程）.圖1圖26. （10南通27）如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數），BC=8,E為線段BC上的動點（不與B、C重合）.連結DE,作EFXDE,EF與射線BA交于點F,設CE=x,BF=y.（1）求y關于x的函數關系式；（2）若m=8,求x為何值時，

5、y的值最大，最大值是多少？12（3）右y要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？兩年模擬7. （2012年福州市初中畢業班質量檢查第21題）如圖，在ABC中，AB=AC=10,BC=16,DE=4.動線段DE（端點D從點B開始）沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當端點E到達點C時運動停止.過點E作EF2"cosDOP3cosDOP525_2_2-22一4(一,0)ACJabBC46810此cosACB-.65在APQC中，CQ=t,CP=102t.第2題圖1第2題圖2第2題圖3OEOP35-OE-OO52256如圖1,當CPCQ時，t102t,解得t(#).31一如圖2,當Q

6、PQC時，過點Q作QMLAC于M,則CM=-PC5t2在RtAQMC中，COSQCM-CM"t,解得t英(秒).5CQt92t.1一如圖3,當PQPC時，過點P作PNLBC于N,則CN=-QC24CN1t80在RtAPNC中，COSPCN2一，解得t(秒).5CP102t21綜上所述，當t為也秒、25秒、80秒時，PQC為等腰三角形39213.由y=2x+2得，A(1,0),B(0,2).所以OA=1,OB=2.如圖，由AOBsQOP得，OP:OQ=OB:OA=2：1.設點Q的坐標為（0,m）,那么點P的坐標為（2m,0）.因此AP2=(2m+1)2,AQ2=m2+1,PQ2=m2+

7、(2m)2=5m2.4當AP=AQ時，AP2=AQ2,解萬程(2m+1)2=m2+1,得m0或m-.所以符合條件的點P不3存在.當PA=PQ時，PA2=PQ2,解方程(2m+1)2=5m2,得m2J5.所以P(42，5,0).1 _當QA=QP時，QA2=QP2,解萬程m2+1=5m2,得m.所以P(1,0).2第3題圖4. (12臨沂26)(1)如圖，過點B作BCLy軸，垂足為C.在RtAOBC中，/BOC=30°,OB=4,所以BC=2,OC273.所以點B的坐標為(2,2君).y=ax(x4),(2)因為拋物線與x軸交于O、A(4,0),設拋物線的解析式為"6&quo

8、t;所以拋物線的解析式為y避x(x4)6s32x62.3x,3代入點B(2,2曲),2曲2a(6).解得a(3)拋物線的對稱軸是直線x=2,設點P的坐標為(2,y).當OP=OB=4時，OP2=16.所以4+y2=16.解得y2察.當P在(2,2J3)時，B、O、P三點共線.當BP=BO=4時，BP2=16.所以42(y2石)216.解得y1y22J3.當PB=PO時，PB2=PO2.所以42(y273)222y2,解得y2網.綜合、，點P的坐標為(2,2點).第4題圖5. (11湖州24)(1)因為PC/DB,所以CP-PM-MC1.因此PM=DM,CP=BD=2m.所BDDMMB以AD=4

9、m.于是得到點D的坐標為(2,4m).(2)在AAPD中，AD2(4m)2,AP2m24,PD2(2PM)244(2m)2.當AP=AD時，(4m)2m24,解得m3(如圖D.2當PA=PD時，m2444(2m)2.解得m4(如圖2)或m4(不合題意，舍去).3當DA=DP時，(4m)244(2m)2.解得m-(如圖3)或m2(不合題意，舍去).3綜上所述，當APD為等腰三角形時，m的值為3,4或2.233另解第(2)題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單:如圖1,當AP=AD時，AM垂直平分PD,那么PCMsMBA.所以勁膽1.因此pc1,m3.CMBA222如圖2,當PA

10、=PD時，P在AD的垂直平分線上.所以DA=2PO.因此4m2m.解得m-.3(3)點H所經過的路徑長為邁.思路是這樣的：4如圖4,在RtAOHM中，斜邊OM為定值，因此以OM為直徑的。G經過點H,也就是說點H在圓弧上運動.運動過的圓心角怎么確定呢？如圖5,P與O重合時，是點H運動的起點，/COH=45°,/CGH=90°.第5題圖4第5題圖6. (10南通27)因為/EDC與/FEB者B是/DEC的余角，所以/EDC=/FEB.又因為/C=/B=90°，所以DCEsEBF.因此DCCEEBBF，即1128整理，得y關于x的函數關系為yx2x.mm1212c(2)

11、如圖1,當m=8時，y-xx-(x4)2.88因此當x=4時，y取得最大值為2.12121282一一若y，那么xx.整理，得x8x120.mmmm解得x=2或x=6.要使DEF為等腰三角形，只存在ED=EF的情況.因為DCEsEBF,所以CE=BF,即x=y.12一.一將x=y=2代入y，得m=6(如圖2);12將x=y=6代入y，得m=2(如圖3).第6題圖1第6題圖2第6題圖357. (1)BEt4,EF5(t4)8(2) DEF中，/DEF=/C是確定的.如圖1,當DE=DF時，DEAB(t4)EF,即28.解得tBC101615625如圖2,當ED=EF時,54一(t4)8解得t125

12、如圖3,當FD=FE時,FEDEACBC4)10一,一.一.解得t0,即D與B重合.16(3)如圖第7題圖1MN>AFDE4,運動結束，的中位線，MN/DE,MN=2,MN掃過的形狀是平行四邊形.N在AC的中點，N至ijBC的距離為3;如圖5,運動開始,與B重合，M到BC的距離為9.4所以平行四邊形的高為8. (1)C(4,2®),(2)頂點E在AB的垂直平分線上，橫坐標為5，代入直線y=<3x2<3，得y費.22設拋物線的解析式為ya(x勺)2蟲，代入點C(4,23),可得a2叵.223所以物線的解析式為ylJ(x5)2-2.322(3)由頂點E在直線y=J3x2

13、<3上，可知點G的坐標為(0,2.肉,直線與y軸正半軸的夾角為30°,即/EGF=30°.設點E的坐標為(m,J3m2不)，那么EG=2m,平移后的拋物線為y型3(xm)273m2總所以點F的坐標為(0,&3m2有m23).3如圖1,當GE=GF時，yFyG=GE=2m,所以23-m2五m2m-3解得m=0或向32m=0時頂點E在y軸上，不符合題意.此時拋物線的解析式為23-32(x32)2如圖2,當EF=EG時,37-J2232m375m2d3m.解得m=0或3.2此時拋物線的解析式為2)2當頂點E在y軸右側時，/FEG為鈍角，因此不存在FE=FG的情況.89. (1)當D為BC的中點時，ADXBC,DEXAC,CE一.3(2)如圖1,由于/ADC=/ADE+Z1,/ADC=/B+/2,/ADE=