1、第三章 空間向量與立體幾何1空間向量的概念及其運算與平面向量類似，向量加、減法的平行四邊形法則，三角形法則以及相關的運算律仍然成立空間向量的數量積運算、共線向量定理、共面向量定理都是平面向量在空間中的推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維的推廣2ab0ab是數形結合的紐帶之一，這是運用空間向量研究線線、線面、面面垂直的關鍵，通?？梢耘c向量的運算法則、有關運算律聯系來解決垂直的論證問題4直線的方向向量與平面的法向量是用來描述空間中直線和平面的相對位置的重要概念，通過研究方向向量與法向量之間的關系，可以來確定直線與直線、直線與平面、平面與平面等的位置關系以及有關的計算問題5用空間向量判斷空間中

2、的位置關系的常用方法(1)線線平行 證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的方向量是共線向量(2)線線垂直 證明兩條直線平行，只需證明兩直線的方向向量垂直，即abab0. (3)線面平行 用向量證明線面平行的方法主要有：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明可在平面內找到一個向量與直線方向向量是共線向量，利用共面向量定理，即證明可在平面內找到兩不共線向量來線性表示直線的方向向量(4)線面垂直用向量證明線面垂直的方法主要有：證明直線方向向量與平面法向量平行；利用線面垂直的判定定理轉化為線線垂直問題(5)面面平行證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；轉化為線面平行、線線平行問題(6)面面垂直證

3、明兩個平面的法向量互相垂直；轉化為線面垂直、線線垂直問題6運用空間向量求空間角(1)求兩異面直線所成角(2)求線面角 求直線與平面所成角時，一種方法是先求出直線及射影直線的方向向量，通過數量積求出直線與平面所成角；另一種方法是借助平面的法向量，先求出直線方向向量與平面法向量的夾角.即可求出直線與平面所成的角其關系是sin| cos|.(3)求二面角 用向量法求二面角也有兩種方法：一種方法是利用平面角的定義，在兩個面內先求出與棱垂直的兩條直線對應的方向向量，然后求出這兩個方向向量的夾角，由此可求出二面角的大?。涣硪环N方法是轉化為求二面角的兩個面的法向量的夾角，它與二面角的大小相等或互補7運用空間

4、向量求空間距離 空間中的各種距離一般都可以轉化為求點與點、點與線、點與面的距離 (1)點與點的距離 點與點之間的距離就是這兩點間線段的長度，因此也就是這兩點對應向量的模 (2)點與面的距離 點面距離的求解步驟是：求出該平面的一個法向量；求出從該點出發的平面的任一條斜線段對應的向量；求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即得要求的點面距離一、空間向量的概念與計算空間向量有關概念的辨析題、空間向量中的所有概念都是嚴密、精練、準確的，在做辨析題時往往改變、缺失概念中的某些條件或者忽略概念規定的特殊情況，所以對基本概念的理解要做到全面、準確、深入若ab0，a，b是鈍角；若a是直線l的

5、方向向量，則a(R)也是l的方向向量；非零向量a，b，c滿足a與b，b與c，c與a都是共面向量，則a，b，c必共面其中錯誤命題的個數是()A1B2C3D4答案D二、空間向量的線性運算二、空間向量的線性運算 向量向量共線與向量共面的概念，共線向量定理共線與向量共面的概念，共線向量定理與共面向量定理，是解決向量問題和用向量與共面向量定理，是解決向量問題和用向量解決立體幾何問題的基本依據，討論三點共解決立體幾何問題的基本依據，討論三點共線、直線平行、四點共面、向量共面、線面線、直線平行、四點共面、向量共面、線面平行等等都需要運用這兩個基本原理平行等等都需要運用這兩個基本原理答案D三、利用空間向量解決

6、平行與垂直問題 利用向量可以解決空間中的平行與垂直關系，是高考的重點題型，有些問題中的線面平行與垂直關系使用向量會變得很簡捷，將幾何證明與計算轉化為純代數運算，也使問題得以簡化例4如下圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是面對角線B1D1，A1B上的點，且D1E2E1B，BF2FA1.(1)求證：直線EFAC1；(2)若EF是兩異面直線B1D1，A1B的公垂線，求證：該長方體為正方體化簡，得a2b2c2，abc.所以該長方體為正方體 四、利用空間向量求角度與距離問題 利用向量求空間中的夾角及距離問題是高考的重點解題的關鍵是會找直線的方向向量及平面的法向量，并用它們表示空間中的角及距離，所有空間距離問題用向量求時，有著相同的表現形式應加強理解與掌握，求角時，要弄清向量夾角與所求角的關系 例5在正方體ABCDA1B