1、 主要內容主要內容:離散時間信號的表示離散時間信號的表示常見的離散時間信號常見的離散時間信號離散時間系統的定義與描述離散時間系統的定義與描述線性時不變系統的性質線性時不變系統的性質卷積和濾波卷積和濾波2.1.1 離散時間信號的定義與表示 表示方法：表示方法：數字信號用頂部帶數字信號用頂部帶圓圈圓圈的的豎線豎線表示。表示。每條線表示一個采樣點，并用一整數標記，這每條線表示一個采樣點，并用一整數標記，這個整數指的是所經過的采樣周期的數目。個整數指的是所經過的采樣周期的數目。2.1.1 離散時間信號的定義與表示 例例2.1：部分語音信號在部分語音信號在01V范圍內取值。采用下表范圍內取值。采用下表所

2、給三比特量化方案進行所給三比特量化方案進行A/D轉換，得到一系轉換，得到一系列數字代碼：列數字代碼：010 110 000 001 011 100 110 111 100 010 。畫出該數字信號。畫出該數字信號。2.1.1 離散時間信號的定義與表示數字代碼數字代碼量化電平量化電平(V)對應此數字代碼的模擬輸入范圍對應此數字代碼的模擬輸入范圍(V)0000.00.000 0 x 0.062 50010.1250.062 5 x 0.187 50100.2500.187 5x 0.312 50110.3750.312 5x 0.437 51000.5000.437 5x 0.562 51010.

3、6250.562 5x 0.687 51100.7500.687 5x 0.812 51110.8750.812 5x 1.000 02.1.1 離散時間信號的定義與表示2.1.2 數字信號的符號 數字信號數字信號x表示為表示為xn，n是整數，指的是是整數，指的是采樣編號。采樣編號。 x0表示采樣點表示采樣點1的值。所有采樣的集合便的值。所有采樣的集合便是序列是序列xn。2. 2 常用序列 1、脈沖函數（單位樣值信號、脈沖函數（單位樣值信號 ）0010nnnn34012-4-3-2-10.5011.5n2. 2 常用序列 2、階躍函數（單位階躍信號、階躍函數（單位階躍信號 ）0100nnnn3

4、4012-4-3-2-10.5011.5n2. 2 常用序列 3、矩形序列、矩形序列其他0101)(NnnRN67345-10120.5011.5n2. 2 常用序列 4、冪指數和指數函數、冪指數和指數函數數字函數數字函數:指數函數指數函數:nAnxnAenx2. 2 常用序列 5、正弦函數、正弦函數)sin(nAnx 為數字序列重復的頻率為數字序列重復的頻率2. 2 常用序列模擬正弦波可用函數模擬正弦波可用函數:)sin()(tAtx假設每假設每Ts秒采樣一次秒采樣一次snTt 經無量化誤差有經無量化誤差有)(nxnTxs由于由于f2ssfT1)2sin()(ssffnAnTxssffnAf

5、fnA2)sin()2sin(2. 2 常用序列 對于一個重復的序列，必存在一對對于一個重復的序列，必存在一對N和和M，使得使得N個采樣間隔個采樣間隔Ts恰好等于被采樣模擬信恰好等于被采樣模擬信號的號的M個周期個周期T。MTNTsffTTMNss2. 2 常用序列 將將 代入得代入得2MNsff22. 2 常用序列 例例2.2 判斷下列序列是否為周期序列判斷下列序列是否為周期序列解解:a、由于、由于xn=Acos(n)， =2，2/2=，此數為無理此數為無理數，不能表示為整數之比，因此該數學序列是非周期數，不能表示為整數之比，因此該數學序列是非周期的。的。b、由于、由于=4/5，2/=5/2，

6、表示序列每表示序列每5個采樣點開個采樣點開始重復，且這始重復，且這5個采樣點處于被采樣模擬信號的兩個完個采樣點處于被采樣模擬信號的兩個完整周期上。整周期上。) 5/4cos()2cos(nnxnnx2. 3 序列的基本運算 1、移位、移位信號信號xn-1表示采樣序列表示采樣序列右右移一個采樣點移一個采樣點 xn+1表示采樣序列表示采樣序列左左移一個采樣點移一個采樣點xn-N表示整個序列右移表示整個序列右移N個采樣點的時移個采樣點的時移2. 3 序列的基本運算例例2.3： 對右圖中的信號對右圖中的信號,假假設設n=0以前和以前和n=9以以后的所有采樣值均后的所有采樣值均為為0,這個信號用尾部這個

7、信號用尾部隨零的形式繪出隨零的形式繪出.求求下列各值下列各值:a、x0 b、x5c、xn-1 d、xn-21 2 3 4 5 6 7 8 9 1001011 12130.10.90.80.70.60.50.40.30.2nxn2. 3 序列的基本運算n012345678910111213xn 0.25 0.75 0.0 0.125 0.375 0.5 0.75 0.875 0.5 0.250000解解:n01234567891011 1213xn-100.25 0.75 0.0 0.125 0.375 0.5 0.75 0.875 0.5 0.25000n012345678910111213x

8、n-200 0.25 0.75 0.0 0.125 0.375 0.5 0.75 0.875 0.5 0.25002. 3 序列的基本運算xn1 2 3 4 5 6 7 8 9 100101112130.10.90.80.70.60.50.40.30.2n1 2 3 4 5 6 7 8 9 100101112130.10.90.80.70.60.50.40.30.2nxn2. 3 序列的基本運算 2、反折、反折序列序列xn對其自變量改變符號得到：對其自變量改變符號得到：x-nxn1234501060.10.90.80.70.60.50.40.30.2nx-n-1-2-3-4-5010-60.1

9、0.90.80.70.60.50.40.30.2n2. 3 序列的基本運算 3、相加、相加 4、相乘、相乘 5、累加、累加nynxnznynxnznkkxny2. 3 序列的基本運算 6、差分、差分前向差分可表示為：前向差分可表示為：后向差分可表示為：后向差分可表示為：由此得出由此得出 1nxnxnx 1nxnxnx 1nxnx2.4 合成函數合成函數 合成函數是函數的組合合成函數是函數的組合 計算合成函數，首先是構造基本函數，然計算合成函數，首先是構造基本函數，然后按要求將基本函數進行加、減或乘除運后按要求將基本函數進行加、減或乘除運算。算。2.4 合成函數合成函數 例例2.4 數字信號數字

10、信號a、畫出該信號的圖形、畫出該信號的圖形b、寫出、寫出xn-2的表達式的表達式2nuenxn2.4 合成函數合成函數 解解:a、此信號是階躍函數和指數函數的乘積。、此信號是階躍函數和指數函數的乘積。b、位移后的信號為：、位移后的信號為：34012-4-3-2-10.5011.5n2.4 合成函數合成函數 例例2.5畫出數字信號畫出數字信號 的圖形的圖形 解：解：函數由三部分組成：函數由三部分組成：ne2 . 05 . 0)9/sin(5 . 02 . 0nunenxn)9/sin(nnu2.4 合成函數合成函數2.4 合成函數合成函數2.5 離散時間系統分析離散時間系統分析 2.5.1 系統

11、的定義與描述系統的定義與描述系統：對信號具有某種作用的事物整體系統：對信號具有某種作用的事物整體)(nxTny系統系統x1ny1n2.5.1 系統的定義與描述系統的定義與描述 差分方程的表達式差分方程的表達式: ak , bk權系數權系數,也稱為濾波器系數也稱為濾波器系數2 12 1210210MnxbnxbnxbnxbNnyanyanyanyaMNMkkNkkknxbknya002.5.1 系統的定義與描述系統的定義與描述 遞歸濾波器遞歸濾波器: :數字系統依賴于輸入和數字系統依賴于輸入和過去過去的的輸出輸出2 12 12102101MnxbnxbnxbnxbNnyanyanyaknxbkn

12、yanyMNMkkNkk2.5.1 系統的定義與描述系統的定義與描述 非遞歸濾波器非遞歸濾波器: :數字濾波器僅依賴于輸入數字濾波器僅依賴于輸入, ,而而不依賴不依賴過去的輸出過去的輸出2 12100MnxbnxbnxbnxbknxbnyMMkk2.5.1 系統的定義與描述系統的定義與描述 例例2.5一個濾波器的方程為一個濾波器的方程為:a.確定所有系數確定所有系數b.它是遞歸濾波器還是非遞歸濾波器它是遞歸濾波器還是非遞歸濾波器? 15 . 0nxnyny2.5.1 系統的定義與描述系統的定義與描述 解：解：將差分方程重新改寫將差分方程重新改寫,有有 a.系數的值很容易確定系數的值很容易確定,

13、濾波器的系數為濾波器的系數為a0=1，a1=-0.5及及b0=1.0除除a0, a1, b0外其他所有系數為零外其他所有系數為零b.由于輸出由于輸出yn取決于過去的輸出取決于過去的輸出yn-1,所以數所以數字濾波器是遞歸濾波器字濾波器是遞歸濾波器 15 . 0nxnyny2.5.1 系統的定義與描述系統的定義與描述2.5.2 線性系統線性系統 線性系統：滿足疊加性和齊次性的系統線性系統：滿足疊加性和齊次性的系統 疊加性：疊加性： 齊次性齊次性)(),(2211nxTnynxTny)()()(212121nynynxTnxTnxnxT)()(111111nyanxTanxaT2.5.2 線性系統

14、線性系統 疊加原理：疊加性和齊次性合稱疊加原理：疊加性和齊次性合稱 例例2.6考慮一個系統考慮一個系統證明這個系統是可加的，但不滿足齊次性證明這個系統是可加的，但不滿足齊次性Renxny2.5.2 線性系統線性系統 解：令解：令是一個實部為是一個實部為rn，虛部為，虛部為sn的任意輸入，的任意輸入，那么相應的輸出為：那么相應的輸出為：把把x1n乘以一個復數乘以一個復數a=j，即輸入為，即輸入為對應于對應于x2n的輸出為的輸出為1njsnrnx1nrny)(12njrnsnjsnrjnjxnxRe22nsnxny2.5.2 線性系統線性系統它不等于它不等于ay1n所以系統不滿足齊次性，故不是線性

15、系統。所以系統不滿足齊次性，故不是線性系統。另外，另外，系統滿足疊加性系統滿足疊加性1njrnay)(2121nynynsnrnxnxT2.5.3 移不變系統移不變系統 移不變系統：系統的特性行為不隨時間而變移不變系統：系統的特性行為不隨時間而變若系統為：若系統為：則對于移不變系統滿足則對于移不變系統滿足)(nxTny)(mnxTmny2.5.3 移不變系統移不變系統 例例2.7 判斷如下系統是否為移不變系統判斷如下系統是否為移不變系統 解：解：因為因為而而二者不等，故此系統為移變系統二者不等，故此系統為移變系統nnxny)(mnnxmnxT)(mnxmnmny2.5.4 因果系統因果系統 因

16、果系統：因果系統：系統任何時刻的輸出只決定于現在的輸入及過系統任何時刻的輸出只決定于現在的輸入及過去的輸入去的輸入 線性時不變系統具有因果性的充要條件是線性時不變系統具有因果性的充要條件是:0, 0nnh2.5.4 因果系統因果系統 例例2.8考慮下面系統的因果性考慮下面系統的因果性 解：解：當當n0時，時，yn的值依賴于未來的輸入的值依賴于未來的輸入x-n,如如所以該系統不是因果系統所以該系統不是因果系統nxny44xy2.5.5 穩定系統穩定系統 穩定系統穩定系統系統對于有限的輸入信號，產生有限的輸出系統對于有限的輸入信號，產生有限的輸出 若若 則則 Mnx Pny 作業：作業： 判斷下列

17、數字正弦函數是否為周期函數。判斷下列數字正弦函數是否為周期函數。) 5/2cos(4)7/6sin() 5/4cos(nnxennxnnx 判斷下列系統是否為：判斷下列系統是否為：線性系統；時不變系統；穩定系統；因果系統線性系統；時不變系統；穩定系統；因果系統nkkxnynnxny632sin2.6 差分方程與濾波器差分方程與濾波器 數字信號處理系統數字信號處理系統可以記錄、再生或變換數字信號可以記錄、再生或變換數字信號 濾波器濾波器以特定方式改變信號的頻率特征以特定方式改變信號的頻率特征 濾波器類型濾波器類型高通、低通、帶通、帶阻高通、低通、帶通、帶阻2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識 濾

18、波器的特性通過它的濾波器的特性通過它的頻域形狀頻域形狀來描述來描述 理想的濾波器的形狀是理想的濾波器的形狀是矩形矩形 濾波器的濾波器的增益增益決定濾波器對此頻率輸入的決定濾波器對此頻率輸入的放大因子放大因子 帶通帶通:增益高的增益高的頻率范圍頻率范圍,信號可以通過信號可以通過2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識 帶阻帶阻: :增益低的頻率范圍增益低的頻率范圍, ,濾波器對信號有濾波器對信號有衰減衰減或阻塞作用或阻塞作用 截止頻率截止頻率: :增益為最大值的增益為最大值的 所對所對應的頻率應的頻率 增益增益( (dBdB)=20log()=20log(增益增益) ) 增益為增益為0.707時對應

19、時對應-3 dB 截止頻率通常也稱為截止頻率通常也稱為-3 dB頻率頻率 帶寬帶寬:信號可以信號可以通過通過的的頻率范圍頻率范圍707. 02/12.6.1 濾波基本知識濾波基本知識2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識 例例: :求下圖所示帶通濾波器的帶寬求下圖所示帶通濾波器的帶寬2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識 解解: 帶通的邊緣帶通的邊緣為為0.707所對所對應的頻率應的頻率,則則濾波器的帶濾波器的帶寬略小于寬略小于2000Hz2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識 低通濾波器可以平滑信號的突變低通濾波器可以平滑信號的突變 高通濾波器可以強化信號的銳變

20、高通濾波器可以強化信號的銳變2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識2.6.1 濾波基本知識濾波基本知識2.6.2 模擬濾波器和數字濾波器模擬濾波器和數字濾波器 數字濾波器具有的優點數字濾波器具有的優點: :采用軟件實現采用軟件實現, ,很少依賴硬件很少依賴硬件, ,因此系統比較穩因此系統比較穩定定; ;濾波器的性能由一系列數字系數確定濾波器的性能由一系列數字系數確定, ,重新設重新設計濾波器簡單計濾波器簡單. .2.6.2 模擬濾波器和數字濾波器模擬濾波

21、器和數字濾波器 數字濾波器程序的實現有兩種主要方式數字濾波器程序的實現有兩種主要方式: :濾波器的差分方程計算濾波器的輸出濾波器的差分方程計算濾波器的輸出利用卷積過程計算輸出利用卷積過程計算輸出2.6.3 差分方程的計算差分方程的計算 例例一個濾波器的方程為一個濾波器的方程為:計算輸入計算輸入xn如下時濾波器的輸出如下時濾波器的輸出 15 . 0nxnyny2.6.3 差分方程的計算差分方程的計算 解：解：輸出可以從輸出可以從n=0n=0開始，通過反復計算課求出。開始，通過反復計算課求出。對于對于n=0n=0這種情況，計算時需要輸出這種情況，計算時需要輸出yn-1yn-1。( (沒有特殊說明情

22、況下都假定數字濾波器是因沒有特殊說明情況下都假定數字濾波器是因果的。果的。) )這就意味著直到第一個輸入不為零時，輸出才這就意味著直到第一個輸入不為零時，輸出才開始變化。在這里開始變化。在這里n=0n=0，所以，所以y0y0以前的所有以前的所有輸出可以假定為零。輸出可以假定為零。 y0y0計算出來以后計算出來以后, ,可以可以計算計算y1y1。2.6.3 差分方程的計算差分方程的計算9375. 10 . 1)8750. 1 (5 . 0435 . 048750. 10 . 1)7500. 1 (5 . 0325 . 037500. 10 . 1)5000. 1 (5 . 02 1 5 . 02

23、5000. 10 . 1)0000. 1 (5 . 0 1 05 . 0 1 0000. 10 . 1)0000. 0(5 . 00 15 . 00 xyyxyyxyyxyyxyy2.6.3 差分方程的計算差分方程的計算9980. 10 . 1)9961. 1 (5 . 0985 . 099961. 10 . 1)9922. 1 (5 . 0875 . 089922. 10 . 1)9844. 1 (5 . 0765 . 079844. 10 . 1)9688. 1 (5 . 0655 . 069688. 10 . 1)9375. 1 (5 . 0545 . 05xyyxyyxyyxyyxyy

24、2.7 差分方程流圖差分方程流圖 2.7.1非遞歸差分方程非遞歸差分方程非遞歸差分方程僅需要以前和現在的輸入，而非遞歸差分方程僅需要以前和現在的輸入，而不要過去的輸出。不要過去的輸出。延遲延遲xnxn-1bkxnbkxn+x1nx2nx1n+x2n2.7.1 非遞歸差分方程非遞歸差分方程2 12100MnxbnxbnxbnxbknxbnyMMkkxnxn-1b1+ynb2b0bM延遲延遲延遲延遲延遲延遲xn-2xn-N2.7.1 非遞歸差分方程非遞歸差分方程 例例:畫出下列差分方程的流圖畫出下列差分方程的流圖 解解:22 . 0 14 . 05 . 0nxnxnxnyxn0.4+yn-0.20

25、.5延遲延遲延遲延遲2.7.1 非遞歸差分方程非遞歸差分方程 例例:寫出下面流圖的差分方程寫出下面流圖的差分方程xn+yn-0.30.7延遲延遲延遲延遲延遲延遲2.7.1 非遞歸差分方程非遞歸差分方程 解解:xn的系數是的系數是1, xn-1的系數是的系數是0,xn-2的系數是的系數是-0.3, xn-3的系數是的系數是0.7,37 . 023 . 0nxnxnxny2.7.2 遞歸差分方程遞歸差分方程 直接直接1型實現型實現2 12 121021MnxbnxbnxbnxbNnyanyanyanyMNxnynxn-1b1+b2b0bM延遲延遲延遲延遲延遲延遲xn-2xn-Myn-1延遲延遲延遲

26、延遲延遲延遲yn-2yn-N-a1-a2-aN2.7.2 遞歸差分方程遞歸差分方程 例例:畫出如下差分方程所描述的遞歸數字濾波器的畫出如下差分方程所描述的遞歸數字濾波器的直接直接1型流圖型流圖 解：解：從方程可知：從方程可知：a0=1.0， a1=0 ，a2=0.5，b0=0.8 b1=0.1，b2=0.3重新整理方程重新整理方程23 . 0 11 . 08 . 025 . 0nxnxnxnyny23 . 0 11 . 08 . 025 . 0nxnxnxnyny2.7.2 遞歸差分方程遞歸差分方程xnyn0.1+-0.30.8延遲延遲延遲延遲延遲延遲延遲延遲-0.52.7.2 遞歸差分方程遞

27、歸差分方程 直接直接2型實現型實現xnynb1+b2b0延遲延遲延遲延遲-a1-a2+2.7.2 遞歸差分方程遞歸差分方程 轉置直接轉置直接2型型xnynb1+b2b0延遲延遲延遲延遲-a1-a2+2.7.2 遞歸差分方程遞歸差分方程 例例:求下面流圖所示濾波器的差分方程求下面流圖所示濾波器的差分方程xnyn0.2+0.10.8延遲延遲延遲延遲-0.2-0.3+2.7.2 遞歸差分方程遞歸差分方程 解：解：最下面的加法器輸出為最下面的加法器輸出為0.1xn-0.3yn,延遲一延遲一個單位得到個單位得到0.1xn-1-0.3yn-1,中間加法器輸出為中間加法器輸出為0.1xn-1-0.3yn-1

28、+ 0.2xn-0.2yn,在延遲一個單位在延遲一個單位,加上加上0.8xn,最后得到最后得到:21 . 0 12 . 08 . 023 . 0 12 . 0nxnxnxnynyny作業作業1、如果低通濾波器的帶寬是、如果低通濾波器的帶寬是2k Hz，截止頻率，截止頻率是多少？是多少？2、要從有噪聲的信號中提取三個音調，這三、要從有噪聲的信號中提取三個音調，這三個音調的頻率分別為個音調的頻率分別為100 Hz，300 Hz和和450 Hz，采樣率為采樣率為1K Hz。描述可用來檢測單個音調的。描述可用來檢測單個音調的低通濾波器、帶通濾波器和高通濾波器。每個低通濾波器、帶通濾波器和高通濾波器。每

29、個濾波器的截止頻率距要檢測的音調應為濾波器的截止頻率距要檢測的音調應為50Hz，確定濾波器類型、截止頻率和帶寬。確定濾波器類型、截止頻率和帶寬。 作業作業:1.畫出下列差分方程的流圖畫出下列差分方程的流圖2.寫出流圖的差分方程寫出流圖的差分方程)2(15 . 023 . 0 12 . 035 . 0 18 . 0型轉置直接nxnxnynynynxnxnxnyxn+yn2.1-1.5延遲延遲延遲延遲2.7.2 遞歸差分方程遞歸差分方程xnyn+-0.40.8延遲延遲延遲延遲0.3-0.1+2.8 脈沖響應脈沖響應 濾波器的脈沖響應濾波器的脈沖響應:濾波器對脈沖輸入的響濾波器對脈沖輸入的響應應當濾

30、波器的輸入為單位脈沖時當濾波器的輸入為單位脈沖時,濾波器的輸出濾波器的輸出就是單位脈沖響應就是單位脈沖響應 數數 字字 系系 統統2.8 脈沖響應脈沖響應2.8 脈沖響應脈沖響應 由于輸入必須是脈沖函數由于輸入必須是脈沖函數,則差分方程的輸則差分方程的輸入入xn用用n代替代替,而濾波器的脈沖響應通而濾波器的脈沖響應通常用常用hn表示表示 脈沖響應反映了濾波器的脈沖響應反映了濾波器的基本特性基本特性2.8 脈沖響應脈沖響應 例例:對下列差分方程求出脈沖響應的前對下列差分方程求出脈沖響應的前6個值個值 解解:首先首先,用用n代替代替xn, hn代替代替yn,有有 1 14 . 0nxnxnyny

31、1 14 . 0nnnhnh 1 14 . 0nnnhnh2.8 脈沖響應脈沖響應 從從n=0開始開始: 脈沖函數的值已知脈沖函數的值已知:n=0時時,它為它為1;在其他在其他n不不等于零處等于零處,它為零它為零.假定濾波器是因果系統假定濾波器是因果系統,即脈沖響應即脈沖響應n=0之前為零之前為零.得得: 10 14 . 00hh0 . 10 . 00 . 1)0 . 0(4 . 00h2.8 脈沖響應脈沖響應 隨后的脈沖響應為隨后的脈沖響應為:01536. 00 . 00 . 0)0384. 0(4 . 04544 . 050384. 00 . 00 . 0)096. 0(4 . 03434

32、 . 04096. 00 . 00 . 0)24. 0(4 . 02324 . 0324. 00 . 00 . 0)6 . 0(4 . 0 1 2 1 4 . 026 . 00 . 10 . 0)0 . 1 (4 . 00 1 04 . 0 1 hhhhhhhhhh2.8 脈沖響應脈沖響應 在圖中在圖中,即使即使n=0以后沒有輸入以后沒有輸入,雖然脈沖響應值越雖然脈沖響應值越來越小來越小,但決不會下降到零但決不會下降到零.這個特性通常為遞歸這個特性通常為遞歸濾波器所具有濾波器所具有.這個響應稱為這個響應稱為無限脈沖響應無限脈沖響應(IIR)2.8 脈沖響應脈沖響應 例例:求出對下列濾波器脈沖響

33、應的前求出對下列濾波器脈沖響應的前6個采樣值個采樣值 解解:用用n代替代替xn, hn代替代替yn,有有)32 1(25. 0nxnxnxnxny)32 1(25. 0nnnnnh2.8 脈沖響應脈沖響應 這樣這樣:0 . 0)0000(25. 0)2345(25. 050 . 0)0000(25. 0)1 234(25. 0425. 0)0100(25. 0)0 1 23(25. 0325. 0)0100(25. 0)10 1 2(25. 0225. 0)0010(25. 0)2 10 1 (25. 0 1 25. 0)0001 (25. 0)32 10(25. 00hhhhhh2.8 脈沖

34、響應脈沖響應 脈沖響應在有限個非零采樣后下降為零，脈沖響應在有限個非零采樣后下降為零，這種響應被稱為有限脈沖響應這種響應被稱為有限脈沖響應(FIR)，它是，它是非遞歸濾波器得特性。非遞歸濾波器得特性。2.8 脈沖響應脈沖響應 具有具有M個非零采樣值得脈沖響應個非零采樣值得脈沖響應hn,根據根據 可表示成脈沖函數之和可表示成脈沖函數之和,非遞歸差分方程非遞歸差分方程 對脈沖響應有對脈沖響應有2 1210MnxbnxbnxbnxbnyM22 1 1 0MnMhnhnhnhnh2 1210MnbnbnbnbnhM2.8 脈沖響應脈沖響應 有有:khbk22 1 1 0MnxMhnxhnxhnxhny

35、2.8 脈沖響應脈沖響應 例例:寫出下圖所示脈沖響應得濾波器差分方程寫出下圖所示脈沖響應得濾波器差分方程2.8 脈沖響應脈沖響應 解解:脈沖響應可以寫成脈沖函數之和脈沖響應可以寫成脈沖函數之和:差分方程具有類似結構差分方程具有類似結構22 . 0 18 . 0nnnnh22 . 0 18 . 0nxnxnxny2.8 脈沖響應脈沖響應 例例用左圖所示信號用左圖所示信號xn加到線性濾波器得輸入端加到線性濾波器得輸入端,濾波器得脈沖響應濾波器得脈沖響應hn如右圖所示如右圖所示.將輸入信號將輸入信號分成脈沖函數并求出每一個得響應，然后求濾分成脈沖函數并求出每一個得響應，然后求濾波器得輸出波器得輸出y

36、N.2.8 脈沖響應脈沖響應2.8 脈沖響應脈沖響應 解解:將信號將信號xn表示為表示為:信號由不同幅度得三個脈沖函數組成信號由不同幅度得三個脈沖函數組成:3n，2n-1及及n-2。由于脈沖函數。由于脈沖函數n得響應得響應為為hn,所以所以3n得響應是得響應是3 hn,類似地類似地, 2n-1的響應是的響應是2 hn-1, n-2的響應的響應hn-2.2 123nnnnx2.8 脈沖響應脈沖響應2.8 脈沖響應脈沖響應2.9 階躍響應階躍響應 階躍響應階躍響應:濾波器對單位階躍函數的響應濾波器對單位階躍函數的響應,它給出它給出了系統對輸入端電平變化的響應了系統對輸入端電平變化的響應. 階躍函數

37、表示為階躍函數表示為un,階躍響應表示為階躍響應表示為sn. 濾波器階躍響應的求取方法有兩種濾波器階躍響應的求取方法有兩種:1.直接用差分方程直接用差分方程,將將un作為輸入作為輸入.(由于階躍由于階躍函數是移位脈沖函數的無限和函數是移位脈沖函數的無限和)2.求脈沖函數的累積和求脈沖函數的累積和.2.9 階躍響應階躍響應 例例:求濾波器的階躍響應求濾波器的階躍響應 解解:階躍函數輸入階躍函數輸入xn=un,輸出輸出yn=sn如下如下: 13 . 05 . 022 . 0nxnxnyny 13 . 05 . 022 . 0nununsns2.9 階躍響應階躍響應9984. 013 . 015 .

38、 0992. 02 . 063 . 075 . 052 . 07996. 013 . 015 . 098. 02 . 053 . 065 . 042 . 06992. 013 . 015 . 096. 02 . 043 . 055 . 032 . 0598. 013 . 015 . 09 . 02 . 033 . 045 . 022 . 0496. 013 . 015 . 08 . 02 . 023 . 035 . 0 1 2 . 039 . 013 . 015 . 05 . 02 . 0 1 3 . 025 . 002 . 028 . 013 . 015 . 002 . 003 . 0 1

39、5 . 0 12 . 0 1 5 . 003 . 015 . 002 . 0 13 . 005 . 022 . 00uussuussuussuussuussuussuussuuss2.9 階躍響應階躍響應2.10 卷積基礎卷積基礎kknkxnx22 1 1 0nxnxnxnx2.10 卷積基礎卷積基礎 例例:信號信號xn如下圖所示如下圖所示,求求xn的表達式的表達式2.10 卷積基礎卷積基礎 解解:根據上式根據上式,函數函數xn可以用脈沖函數寫成可以用脈沖函數寫成:k-2-1012xk0052-2k34567xk0140054422 12555443322 1 1 0nnnnnnxnxnxnx

40、nxnxnx2.10 卷積基礎卷積基礎 對于每個脈沖函數對于每個脈沖函數n-k,輸出脈沖響應輸出脈沖響應hn-k.也就是說每個也就是說每個n-k通過濾波器后通過濾波器后都變成都變成hn-kkknkxnxkknhkxnhnxny22 1 1 0 1 122nhxnhxnhxnhxnhxny2.10 卷積基礎卷積基礎 計算前幾個值計算前幾個值,考慮卷積和考慮卷積和,如如n=0,1,2kknxkhnxnhnykkkkhkxykhkxykhkxy221 1 02.10 卷積基礎卷積基礎 h-k是是hk關于縱軸的鏡像關于縱軸的鏡像,序列序列h-k沿時沿時間軸向右位移一個周期得間軸向右位移一個周期得h1-

41、k,位移兩個位移兩個周期得周期得h2-k。 卷積計算需要輸入值卷積計算需要輸入值xn和和hk得反轉位移得反轉位移序列相乘序列相乘2.10 卷積基礎卷積基礎 例例:已知脈沖響應已知脈沖響應畫出下列函數圖形畫出下列函數圖形a. hnb. h-nc. h1-nd. h7-n54223nnnnnh2.10 卷積基礎卷積基礎 解解:a. 脈沖響應脈沖響應hn采樣值列于下表采樣值列于下表b. h-n是是hn關于縱軸的鏡像關于縱軸的鏡像c. 由由h-n右移一個單位得到右移一個單位得到d.由由h-n右移七個單位得到右移七個單位得到n-4-3-2-101234567hn00003-2011000h-n110-2

42、30000000h1-n7-n 0000000110-232.10 卷積基礎卷積基礎2.10 卷積基礎卷積基礎2.10 卷積基礎卷積基礎2.10 卷積基礎卷積基礎2.10 卷積基礎卷積基礎 例例:數字系統的輸入數字系統的輸入xn和脈沖響應和脈沖響應hn如下圖如下圖,求求系統的輸出系統的輸出2.10 卷積基礎卷積基礎 解解:要求輸出要求輸出,必須計算必須計算xn和和hn的卷積的卷積由卷積的定義表明由卷積的定義表明, xn以及以及hn-k關于關于k的圖的圖形可用來圖示數字卷積的計算。形可用來圖示數字卷積的計算。每個每個y n的值可以通過將的值可以通過將xn和和hn-k

43、逐點相逐點相乘乘,然后相加得到。然后相加得到。對于對于n5,輸出值為零輸出值為零.2.10 卷積基礎卷積基礎20000000)2(011220) 1(00kkhkxy2.10 卷積基礎卷積基礎50000000)2(1122) 1(0001 1 kkhkxy20000001)2(21) 1(2000022kkhkxy2.10 卷積基礎卷積基礎50000102)2() 1(102000033kkhkxy2001020) 1()2(0102000044kkhkxy2.10 卷積基礎卷積基礎01020) 1(00)2(0102000055kkhkxy2.10 卷積基礎卷積基礎2.10 卷積基礎卷積基礎

44、 計算數字卷積的步驟計算數字卷積的步驟:1.列出輸入采樣值列出輸入采樣值,空白處為空白處為02.列出倒序列脈沖響應值列出倒序列脈沖響應值,使使n=0的脈沖響應與的脈沖響應與n=0的輸入對齊的輸入對齊3.當兩序列均不為零時當兩序列均不為零時,相乘后相加即可得到輸相乘后相加即可得到輸出出4.將脈沖響應右移一個單位將脈沖響應右移一個單位5.重復第重復第3步步(只要兩個序列之間有非零的重疊只要兩個序列之間有非零的重疊部分部分)6其余輸出值為其余輸出值為02.10 卷積基礎卷積基礎xk21-2h-k-121y0=2h1-k-121y1=5h2-k-121y2=-2h3-k-121y3=-5h4-k-12

45、1y4=2h5-k-121y5=02.10 卷積基礎卷積基礎 邊界效應邊界效應xk1-231520124h-k-32-1-4y0=4h1-k-32-1-4y1=-9h2-k-32-1-4y2=16h3-k-32-1-4y3=-6h9-k-32-1-4y9=16h10-k-32-1-4y10=-3h11-k-32-1-4y11=2h12-k-32-1-4y12=-122.10 卷積基礎卷積基礎 例：例：系統輸入是單位階越序列，脈沖響應為系統輸入是單位階越序列，脈沖響應為求系統的輸出求系統的輸出y n ，并指出輸出的暫態和穩態，并指出輸出的暫態和穩態部分部分27 . 0 14 . 0nnnnh2.

46、10 卷積基礎卷積基礎 解：解：xk1111111h-k0.7-10.4y0=0.4h1-k0.7-10.4y1=-0.6h2-k0.7-10.4y2=0.1h3-k0.7-10.4y3=0.1h4-k0.7-10.4y4=0.1h5-k0.7-10.4y5=0.1h6-k0.7-10.4y6=0.12.10 卷積基礎卷積基礎2.10 卷積基礎卷積基礎 例：例：用卷積求系統的單位階躍響應，已知系統的脈用卷積求系統的單位階躍響應，已知系統的脈沖響應為：沖響應為：)55. 0(nunhn2.10 卷積基礎卷積基礎 解：解：xk1111111h-k0.30-0.551.00y0=0.4h1-k-0.

47、170.30-0.551.00y1=-0.6h2-k0.09-0.170.30-0.551.00y2=0.1h3-k-0.050.09-0.170.30-0.551.00y3=0.1h4-k0.03-0.050.09-0.170.30-0.551.00y4=0.1h5-k-0.020.03-0.050.09-0.170.30-0.551.00y5=0.1h6-k0.01-0.020.03-0.050.09-0.170.30-0.551.00y6=0.12.10 卷積基礎卷積基礎2.10 卷積基礎卷積基礎 作業：作業：1.系統的脈沖響應為系統的脈沖響應為畫出下列函數的圖形：畫出下列函數的圖形：a

48、. hn-2b. hn+1c. h-nd. h3-n2.濾波器的脈沖響應為濾波器的脈沖響應為輸入為輸入為a. 求濾波器的輸出求濾波器的輸出b. 指出指出a輸出中受邊界效應影響的采樣點數輸出中受邊界效應影響的采樣點數225. 0 15 . 0nnnnh22 . 0 14 . 0nnnnh7nununx2.11 差分方程與卷積差分方程與卷積MkkNkkknxbknya00kknhkxnykknxkhny2.11 差分方程與卷積差分方程與卷積 例例:將差分方程將差分方程:表示為卷積的形式表示為卷積的形式 解解:系統的脈沖響應可由系統的脈沖響應可由:計算得出計算得出,前七個采樣值前七個采樣值, 125. 0nxnyny 125. 0nnhnh2.11 差分方程與卷積差分方程與卷積 脈沖響應為無限長脈沖響應為無限長 由于脈沖響應已知由于脈沖響應已知,差分方程可寫為差分方程可寫為n0123456hn1.00000.25000.06250.0156 0.0039 0.00100.00