1、摘要：摘要：這一章共有三個重要內容：數制與代碼，邏輯代數的基本這一章共有三個重要內容：數制與代碼，邏輯代數的基本運算、定理定律、運算規則，邏輯代數的化簡方法。運算、定理定律、運算規則，邏輯代數的化簡方法。引言引言 在電學領域有強電和弱電之分。強電主要研究功率及能量的在電學領域有強電和弱電之分。強電主要研究功率及能量的傳輸及相互轉換，而弱電主要研究信號的產生、處理和輸出。在傳輸及相互轉換，而弱電主要研究信號的產生、處理和輸出。在本科學習的四年中，強電主要所開的基礎課程為電路分析（電工本科學習的四年中，強電主要所開的基礎課程為電路分析（電工基礎），弱電主要所開基礎課程為電子技術（模擬電子技術和數基

2、礎），弱電主要所開基礎課程為電子技術（模擬電子技術和數字電子技術）。模擬電子技術主要強調電信號的處理，而數字電字電子技術）。模擬電子技術主要強調電信號的處理，而數字電子技術主要強調電信號的輸入和輸出的狀態關系。子技術主要強調電信號的輸入和輸出的狀態關系。 模擬電路模擬電路：就是處理模擬信號的電路。就是處理模擬信號的電路。模擬信號：模擬信號：就是隨時就是隨時間（或空間）連續變化的信號，即時間和幅度均是連續的信號，間（或空間）連續變化的信號，即時間和幅度均是連續的信號，如正弦信號。如正弦信號。數字電路基礎數字電路基礎邏輯代數邏輯代數 數字電路：數字電路：就是處理數字信號的電路。就是處理數字信號的電

3、路。數字信號：數字信號：就是時間和就是時間和幅度均是離散的信號。在數字電路中，幅度只有兩個離散的狀態：幅度均是離散的信號。在數字電路中，幅度只有兩個離散的狀態：0 0和和1 1。這里，。這里，0 0和和1 1沒有任何數字的意義，僅代表數字電路輸入或沒有任何數字的意義，僅代表數字電路輸入或輸出的兩個獨立的電平狀態（高電平和低電平）或邏輯狀態。這輸出的兩個獨立的電平狀態（高電平和低電平）或邏輯狀態。這里要注意電平和電壓的區別和聯系：電平是一個電壓范圍而電壓里要注意電平和電壓的區別和聯系：電平是一個電壓范圍而電壓是一個值。在同一范圍內的電壓被視為同一電平。是一個值。在同一范圍內的電壓被視為同一電平。

4、 數字電路研究的對象：數字電路研究的對象：電路輸入和輸出的邏輯狀態關系。這時電路輸入和輸出的邏輯狀態關系。這時的數字電路相當于一個黑匣子，只考慮輸入和輸出兩端，不考慮的數字電路相當于一個黑匣子，只考慮輸入和輸出兩端，不考慮其內部結構。其內部結構。 研究數字電路的工具：研究數字電路的工具：就是就是邏輯代數邏輯代數。這里的邏輯只有兩個狀。這里的邏輯只有兩個狀態：態：0 0和和1 1。邏輯有正邏輯和負邏輯之分。正邏輯就是用。邏輯有正邏輯和負邏輯之分。正邏輯就是用1 1表示高電表示高電平，用平，用0 0表示低電平；負邏輯就是用表示低電平；負邏輯就是用0 0表示高電平，用表示高電平，用1 1表示低電平。

5、表示低電平。在數字電路中，在數字電路中，0 0和和1 1也代表三極管的開關也代表三極管的開關, ,燈泡的亮暗狀態。燈泡的亮暗狀態。 研究邏輯代數的前提：研究邏輯代數的前提：就是要熟悉各種數制及相互的轉換關系。就是要熟悉各種數制及相互的轉換關系。數字電路基礎數字電路基礎邏輯代數邏輯代數1.1 數制與轉換數制與轉換1. 十進制數十進制數（Decimal）- 逢十進一逢十進一數碼數碼：0 9 基數：基數：10位權：位權：01234105104103102101 2. 二進制數（二進制數（Binary） - 逢二進一逢二進一數碼：數碼：0 ，1 基數：基數：2位權：位權：2 ) 1011 (01232

6、1212021 10) 12345 (n10n221012105107103104101 10) 75 143. (2 ) 11 101. (210122121212021 n是非負整數是非負整數3. 二進制數的縮寫形式二進制數的縮寫形式 八進制數和十六進制數八進制數和十六進制數 數碼：數碼：0 0 7 7 基數：基數：8 8位權：位權：8) 41 .37 (210181848783 (2) 十六進制數十六進制數 (Hexadecimal) -逢十六進一逢十六進一數碼：數碼：0 9 , A(10) , B(11) , C(12) , D(13) , E(14) , F(15)基數：基數：16

7、位權：位權：n8n1616) 7F 2A. (210116151671610162 任意任意(N)進制數展開式的普遍形式：進制數展開式的普遍形式：nnNkDnknN 第第 i 位的系數（數碼）位的系數（數碼） 第第 i 位的權位的權(1) 八進制數八進制數（Octal）- 逢八進一逢八進一4. 幾種常用進制數之間的轉換幾種常用進制數之間的轉換(1) 二二-十轉換：十轉換： 將二進制數按位權展開后相加將二進制數按位權展開后相加2) 11 .101 (210122121212021 10)75 . 5(25 . 05 . 014 (2) 十十- -二轉換二轉換：除除2取余法和降冪比較法取余法和降冪

8、比較法降冪比較法降冪比較法 要求熟記要求熟記 20 210 的數值的數值 。202122232425262728292101248163264128 256 512 1024210) () 571 ( 10011101157) 12829) 16) 85272413快速轉換法：拆分法快速轉換法：拆分法( 26 )10= 16 + 8 + 2 = 24 +23 + 21= ( 1 1 0 1 0 )2) 41116 8 4 2 1(2) 十十- -二轉換二轉換： 降冪比較法降冪比較法232220) 01282157256278 1622932245 821316234 4258223 12122

9、01 (3) 二二-八轉換八轉換:82) () 111 101 10 ( 25757(4) 八八-二轉換二轉換:每位每位 8 進制數轉換為相應進制數轉換為相應 3 位二進制數位二進制數28) () 47 .31 ( 011 001 . 100 111每每 3 位二進制數相當于一位位二進制數相當于一位 8 進制數進制數28) () 64 375. ( 011 111 101. 110 100082) () 1 1 0 0 0 1. 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 ( 002341. 062（5）二）二-十六轉換：十六轉換：每每 4 位二進制數相當一位位二進制數相當一位 16 進制數進制數

10、16210) () () 26 ( 1010 11AA1（6）十六）十六-二轉換：二轉換：每位每位 16 進制數換為相應的進制數換為相應的 4 位二進制數位二進制數216) () 6 C . AF 8 ( 0 0 0 1216) () F 2 . 8 D E ( 0 1 1 11 1 1 1. 0 1 0 10 0 1 10 1 1 0 1 0 1 1. 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 ) () 1 0 0 . 0 1 1 0 1 1 0 1 1 (162 2 . 6 B 10000000編碼：編碼：用二進制數表示文字、符號等信息的過程。用二進制數表示文字、符號等信息的過程。二

11、進制代碼：二進制代碼：編碼后的二進制數。編碼后的二進制數。用二進制代碼表示十個數字符號用二進制代碼表示十個數字符號 0 9，又稱為，又稱為 BCD 碼（碼（Binary Coded Decimal ）。）。幾種常見的幾種常見的BCD代碼：代碼：8421碼碼余余 3 碼碼2421碼碼5211碼碼余余 3 循環碼循環碼其它代碼：其它代碼：ISO 碼碼，ASCII（美國信息交換標準代碼美國信息交換標準代碼）二二- -十進制代碼：十進制代碼：0十進十進制數制數1234567898421 碼碼余余 3 碼碼2421(A)碼碼 5211 碼碼余余3循環碼循環碼0 0 0 00 0 0 10 0 1 00

12、0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 01 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 1 1 10 0 0 00 0 0 10 1 0 00 1 0 00 1 0 10 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 0 11 1 0 01 1 0 11 1 0 11 1 1 11 1 1 10 0 1 00 1 1 00

13、 1 1 11 1 0 01 1 1 01 0 1 0權權8 4 2 12 4 2 15 2 1 1幾種常見的幾種常見的 BCD 代碼代碼 Gray碼（格雷碼）：碼（格雷碼）：就用用二進制數表示一位十進制數，如就用用二進制數表示一位十進制數，如015，它是一種無權碼，也稱反射循環碼。其特點是：每兩個相鄰的，它是一種無權碼，也稱反射循環碼。其特點是：每兩個相鄰的代代碼中僅有一位不同，其余均相同。首尾（碼中僅有一位不同，其余均相同。首尾（0和和15）兩個代碼也僅有一）兩個代碼也僅有一位不同，具有相鄰性，構成位不同，具有相鄰性，構成“循環循環”。 采用采用Gray碼時可大大減少錯碼時可大大減少錯碼碼

14、的可能性。的可能性。00001000對應對應015。 015對應的對應的Gray碼：碼： Gray碼與十進制的轉換：碼與十進制的轉換：Gray碼先轉換成二進制代碼，再碼先轉換成二進制代碼，再轉換成十進制數。反之，先將十進制數轉成換二進制代碼，再轉換成十進制數。反之，先將十進制數轉成換二進制代碼，再轉換成轉換成Gray碼。碼。（1）數、真值和機器數：）數、真值和機器數：在數字化設備中，數的正、負號也要在數字化設備中，數的正、負號也要被數值化。正號用被數值化。正號用0表示，負號用表示，負號用1表示，放在數的最高位。數變表示，放在數的最高位。數變成二進制后被稱為真值，數字化后的符號與真值一起稱為機器

15、數。成二進制后被稱為真值，數字化后的符號與真值一起稱為機器數。例如：數例如：數+9真值真值+1001機器數機器數0 1001；數；數-9真值真值-1001機機器數器數1 1001（2）原碼、反碼和補碼：）原碼、反碼和補碼：常用的機器數有三種形式：原碼、反碼和常用的機器數有三種形式：原碼、反碼和補碼。補碼。對于正數：對于正數：原碼原碼=機器數機器數=反碼反碼=補碼，如補碼，如+9=+1001=機器數機器數0 1001=原碼原碼0 1001=反碼反碼0 1001=補碼補碼0 1001對于負數：對于負數：原碼原碼=機器數，如機器數，如-9=機器數機器數1 1001=原碼；原碼； 反碼反碼=原碼真原碼

16、真值取反，符號不變，如數值取反，符號不變，如數-9=機器數或原碼機器數或原碼1 1001=反碼反碼1 0110；補；補碼碼=反碼加反碼加1，符號不變，如數，符號不變，如數-6=機器數或原碼機器數或原碼1 0110=反碼反碼11001=補碼補碼1 1010（3）原碼、反碼和補碼的運算：）原碼、反碼和補碼的運算：參與運算的數必須統一為相同的碼參與運算的數必須統一為相同的碼制。對于同一個算式，無論采用哪一種碼制運算，其運算結果相同。制。對于同一個算式，無論采用哪一種碼制運算，其運算結果相同。例例1：已知：已知：X=+1101,Y=+0110,分別用原碼、反碼和補碼計算分別用原碼、反碼和補碼計算Z=X

17、-Y。解：解：X原原=0 1101 Y原原=0 0110 -X反反=1 0010 -X補補=1 0011 -Y反反=1 1001 -Y補補=1 1010采用原碼計算：采用原碼計算：Z原原=X-Y原原=X原原-Y原原=0 1101-0 0110=0 0111，其真值其真值Z=+0111=數數+7 注意：運算結果仍為原碼。注意：運算結果仍為原碼。采用反碼計算：采用反碼計算：Z反反=X-Y反反=X反反+-Y反反+符號進位符號進位 =0 1101+ 1 1001 + 1=0 0111，其真值，其真值Z=+0111=數數+7 注意：運注意：運算結果仍為反碼。算結果仍為反碼。采用補碼計算：采用補碼計算：Z

18、補補=X-Y補補=X補補+-Y補補=0 1101 + 1 1010=0 0111，符號進位自然丟失。其真值，符號進位自然丟失。其真值Z=+0111=數數+7 注注意：運算結果仍為補碼。意：運算結果仍為補碼。注意：注意：采用原碼計算時，若為同號則相加；若為異號，必須保采用原碼計算時，若為同號則相加；若為異號，必須保證減數大于被減數，否則必須用反碼或補碼運算。這里，證減數大于被減數，否則必須用反碼或補碼運算。這里，|X|Y|,若計算若計算Z=Y-X，則用，則用Z反反=Y-X反反=Y反反+-X反反+符號符號進位進位 =0 0110+ 1 0010=1 1000，其原碼為，其原碼為1 0111，真值為

19、，真值為-0111=-7。或。或 Z補補=Y-X補補=Y補補+-X補補=0 0110 + 10011=1 1001，其反碼為，其反碼為1 1000，其原碼為，其原碼為1 0111，真值為，真值為-0111=-7。2.1.1 基本概念基本概念（1）邏輯關系：）邏輯關系：在數字電路中，輸入信號是條件，輸出信號在數字電路中，輸入信號是條件，輸出信號是結果，輸入和輸出之間具有一定的因為關系，稱為邏輯關系。是結果，輸入和輸出之間具有一定的因為關系，稱為邏輯關系。這種邏輯關系可以用真值表，邏輯表達式，邏輯圖，波形圖和這種邏輯關系可以用真值表，邏輯表達式，邏輯圖，波形圖和卡諾圖五種形式表示，其中卡諾圖五種形

20、式表示，其中“真值表真值表”表示法具有唯一性，也表示法具有唯一性，也就是說，描述一種邏輯關系時真值表只有一個，而邏輯表達式，就是說，描述一種邏輯關系時真值表只有一個，而邏輯表達式，邏輯圖，波形圖和卡諾圖可能有多個，不具唯一性。邏輯圖，波形圖和卡諾圖可能有多個，不具唯一性。（2）邏輯代數和邏輯變量：）邏輯代數和邏輯變量：邏輯代數就是體現邏輯關系的函邏輯代數就是體現邏輯關系的函數，也稱邏輯函數（布爾代數，開關代數）。邏輯代數中的變數，也稱邏輯函數（布爾代數，開關代數）。邏輯代數中的變量稱為邏輯變量。邏輯變量的取值只有量稱為邏輯變量。邏輯變量的取值只有0和和1。這里的。這里的0和和1沒有沒有任何數值

21、的意義，僅表示兩種對立的邏輯狀態，如：電平的高任何數值的意義，僅表示兩種對立的邏輯狀態，如：電平的高低、開關的斷通、燈泡的亮暗及信號的有無等。只要具有兩種低、開關的斷通、燈泡的亮暗及信號的有無等。只要具有兩種邏輯狀態的均可以用邏輯狀態的均可以用0和和1表示。表示。2. 1 邏輯代數基本概念、公式和定理邏輯代數基本概念、公式和定理（3）邏輯函數表達式：）邏輯函數表達式：就是體現邏輯關系的表達式。一個邏就是體現邏輯關系的表達式。一個邏輯函數表達式有三部分組成：輸入邏輯變量、輸出邏輯變量輯函數表達式有三部分組成：輸入邏輯變量、輸出邏輯變量和對應的邏輯。輸入邏輯變量常用和對應的邏輯。輸入邏輯變量常用A

22、，B，C，D表示，輸表示，輸出邏輯變量常用出邏輯變量常用X，Y，Z表示，輸入邏輯變量和輸出邏輯變表示，輸入邏輯變量和輸出邏輯變量對應的邏輯常用：量對應的邏輯常用：F或或L表示。表示。Y=F(A,B,C,D,)2.2 邏輯及描述邏輯及描述邏輯共有八種：三種基本邏輯，三種復合邏輯，兩種特殊邏邏輯共有八種：三種基本邏輯，三種復合邏輯，兩種特殊邏輯。輯。三種基本邏輯是與邏輯，或邏輯和非邏輯，簡稱與、或、三種基本邏輯是與邏輯，或邏輯和非邏輯，簡稱與、或、非。三種復合邏輯分別是：與非邏輯，與或邏輯，與或非邏非。三種復合邏輯分別是：與非邏輯，與或邏輯，與或非邏輯。兩種特殊邏輯是異或邏輯和同或邏輯。輯。兩種特

23、殊邏輯是異或邏輯和同或邏輯。2. 2. 1 基本和常用邏輯運算基本和常用邏輯運算一、三種基本邏輯運算一、三種基本邏輯運算1. 基本邏輯關系舉例基本邏輯關系舉例功能表功能表滅滅滅滅滅滅亮亮斷斷 斷斷斷斷 合合合合 斷斷合合 合合與邏輯關系與邏輯關系開關開關A開關開關B燈燈Y電源電源ABY（1）電路圖：）電路圖：或邏輯關系或邏輯關系開關開關A開關開關B燈燈Y電源電源功能表功能表滅滅亮亮亮亮亮亮斷斷 斷斷斷斷 合合合合 斷斷合合 合合ABY非邏輯關系非邏輯關系開關開關A燈燈Y電源電源R亮亮滅滅斷斷合合AY功能表功能表（2）真值表：）真值表：經過設定變量和狀態賦值后，得到的經過設定變量和狀態賦值后，得

24、到的反映輸入變量與輸出變量之間因果關反映輸入變量與輸出變量之間因果關系的數學表達形式。系的數學表達形式。功能表功能表滅滅滅滅滅滅亮亮斷斷 斷斷斷斷 合合合合 斷斷合合 合合ABY與邏輯關系與邏輯關系真值表真值表（Truth table）000100011011ABY功能表功能表滅滅亮亮亮亮亮亮斷斷 斷斷斷斷 合合合合 斷斷合合 合合ABY亮亮滅滅斷斷合合AY功能表功能表真值表真值表011100011011ABY或邏輯關系或邏輯關系非邏輯關系非邏輯關系真值表真值表1001AY 與邏輯：與邏輯：當決定一事件的所有條件都具備時，事當決定一事件的所有條件都具備時，事件才發生的邏輯關系。件才發生的邏輯關

25、系。（3）三種基本邏輯關系：）三種基本邏輯關系： 或邏輯：或邏輯：決定一事件結果的諸條件中，只要有一決定一事件結果的諸條件中，只要有一個或一個以上具備時，事件就會發生的個或一個以上具備時，事件就會發生的邏輯關系。邏輯關系。 非邏輯：非邏輯：只要條件具備，事件便不會發生；條件只要條件具備，事件便不會發生；條件不具備，事件一定發生的邏輯關系。不具備，事件一定發生的邏輯關系。真值表真值表邏輯函數式邏輯函數式與門與門（AND gate)邏輯符號邏輯符號（1）與運算：）與運算：ABY&ABBAY 000100011011ABY2. 基本邏輯運算基本邏輯運算（2）或運算：）或運算：BAY 或門或門

26、（OR gate) )真真值值表表邏輯函數式邏輯函數式邏輯符號邏輯符號011100011011ABYABY1（3）非運算：）非運算：真真值值表表1001AY邏輯函數式邏輯函數式A Y 邏輯符號邏輯符號非門非門（NOT gate)AY1二、邏輯變量與邏輯函數及常用復合邏輯運算二、邏輯變量與邏輯函數及常用復合邏輯運算1. 邏輯變量與邏輯函數邏輯變量與邏輯函數在邏輯代數中，用英文字母表示的變量稱在邏輯代數中，用英文字母表示的變量稱為邏輯變量。在二值邏輯中，變量的取值為邏輯變量。在二值邏輯中，變量的取值不是不是 1 就是就是 0 。邏輯函數：邏輯函數：如果輸入邏輯變量如果輸入邏輯變量 A、B、C 的取

27、值的取值確定之后，輸出邏輯變量確定之后，輸出邏輯變量 Y 的值也被的值也被唯一確定，則稱唯一確定，則稱 Y 是是 A、B、C 的的邏輯函數。并記作邏輯函數。并記作 CBAFY, 原變量和反變量：原變量和反變量：字母上面無反號的稱為字母上面無反號的稱為原變量原變量，有反號的叫做有反號的叫做反變量反變量。邏輯變量：邏輯變量：(1) 與非運算與非運算 (NAND)(2) 或非運算或非運算 (NOR)(3) 與或非運算與或非運算 (AND OR INVERT)(真值表略真值表略)1110ABY 10 00 11 01 1CDABY 3AB&1YBAY 210002. 幾種常用復合邏輯運算幾種常

28、用復合邏輯運算ABY1Y2Y1、Y2 的真值表的真值表AB2Y1AB&CD3Y1(4) 異或運算異或運算(ExclusiveOR)(5) 同或運算同或運算(ExclusiveNOR)( (異或非異或非) )AB=14YBABABAY 401100 00 11 01 1 AB=15YBAY 5= ABABY4ABBA 10010 00 11 01 1ABY5三、基本和常用邏輯運算的邏輯符號三、基本和常用邏輯運算的邏輯符號曾用符號曾用符號美國符號美國符號ABYABYABYAYAY國標符號國標符號AB&BAY A1AY ABYABBAY 1國標符號國標符號曾用符號曾用符號美國符號美國

29、符號AB&BAY ABYABYABYAB=1BAY ABY ABYABYABBAY 1或：或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 與：與：0 0 = 00 1 = 01 1 = 1 非：非： 1 0 0 1 二、變量和常量的關系二、變量和常量的關系( (變量：變量：A、B、C) )或：或：A + 0 = AA + 1 = 1與與: :A 0 = 0A 1 = A 非：非： 0 AA AA1 2. 2. 2 公式和定理公式和定理一、一、 常量之間的關系常量之間的關系( (常量：常量：0 和和 1 ) )三、與普通代數相似的定理三、與普通代數相似的定理交換律交換律ABB

30、A ABBA 結合律結合律)()(CBACBA )()(CBACBA 分配律分配律ACABCBA )()( )(CABABCA 例例 1. 1. 1 證明公式證明公式)(CABABCA 解解 方法一：公式法方法一：公式法CBBACAAACABA )(右右式式BCABACA BCBCA )1(左左式式 BCA 例例 1. 1. 1 證明公式證明公式)(CABABCA 方法二：真值表法方法二：真值表法 ( (將變量的各種取值代入等式將變量的各種取值代入等式兩邊，進行計算并填入表中兩邊，進行計算并填入表中) ) A B CCB BCA BA CA )(CABA 0 0 00 0 10 1 00 1

31、11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等相等 解解 四、邏輯代數的一些特殊定理四、邏輯代數的一些特殊定理BABA BABA 同一律同一律A + A = AA A = A還原律還原律AA 例例 1. 1. 2 證明：證明：德德 摩根定摩根定理理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1BA BA 00 0 1 1110ABBA 11 0 0 10101110BA BA BA 011110001000相等相等相等相等德德 摩根定摩根定理理 將將Y 式中式中“.”換成換成“+

32、”,“+”換成換成“.” “0”換成換成“1”,“1”換成換成“0” 原原變量換成變量換成反反變量，變量，反反變量換成變量換成原原變量變量五、關于等式的三個重要規則五、關于等式的三個重要規則1. 代入規則：代入規則：等式中某一變量都代之以一個邏等式中某一變量都代之以一個邏輯函數，則等式仍然成立。輯函數，則等式仍然成立。例如，已知例如，已知BABA ( (用函數用函數 A + C 代替代替 A) )則則BCABCABCA )(2. 反演規則：反演規則：不屬于單個變量上的反號應保留不變不屬于單個變量上的反號應保留不變運算順序：運算順序：括號括號 乘乘 加加注意注意:Y例如：例如：已知已知 )( 1

33、CDCBAY ) ( ) (1DCCBAY CDCBAY 2 CDCBAY )(2反演規則的應用：反演規則的應用：求邏輯函數的反函數求邏輯函數的反函數則則 將將 Y 式中式中“.”換成換成“+”,“+”換成換成“.” “0”換成換成“1”,“1”換成換成“0” 原原變量換成變量換成反反變量，變量，反反變量換成變量換成原原變量變量已知已知則則運算順序：運算順序：括號括號 與與 或或不屬于單個變量上不屬于單個變量上的反號應保留不變的反號應保留不變Y 將將Y 式中式中“.”換成換成“+”,“+”換成換成“.” “0”換成換成“1”,“1”換成換成“0”3. 對偶規則：對偶規則：和反演規則相似，只不過

34、沒有變量取反。和反演規則相似，只不過沒有變量取反。對偶規則的應用：對偶規則的應用：求邏輯函數的對偶函數和證明等式求邏輯函數的對偶函數和證明等式 對偶定理：對偶定理：Y2121YYYY例例1：已知已知 )( 1CDCBAY )DC ( )BCA (Y1則則例例2：證明證明A+BC=(A+B)(A+C) 六、六、5 5個常用公式個常用公式BAAB (1)ABA (2)BAA (3)CAABBCCAAB (4)ABB ABABA (5)AAA ) ()(BBA )1(BA )(BAAA A A BA 推廣推廣合并合并吸收吸收消去消去取消取消ABBAABBA (6)反演定理反演定理 BCAACAAB)

35、( 左左BCAABCCAAB CAAB 公式公式 (4) 證明：證明：CAABBCDCAAB 推論推論ABB ABABA BABA 左左)()(BA BA BBABB AAA ABB A 公式公式 (5) 證明：證明：即即BA = AB同理可證同理可證CAABBCCAAB AABA BA AB一、標準與或表達式一、標準與或表達式) ( A ,B ,CFY CBABCACABABC CAAB 2. 3. 1 邏輯函數的標準與或式和最簡式邏輯函數的標準與或式和最簡式)()(BBCACCAB 標準與標準與或式或式標準與或式就是最小項之和的形式標準與或式就是最小項之和的形式最小項最小項最簡式最簡式 例

36、例 1. 2. 1 1. 最小項的概念：最小項的概念： 包括所有變量的乘積項，每個變量均以原變量或包括所有變量的乘積項，每個變量均以原變量或反變量的形式出現一次。反變量的形式出現一次。) ( A ,B FY ( ( 2 變量共有變量共有 4 個最小項個最小項) )BABABAAB) (A ,B ,C ,DFY ( ( 4 變量共有變量共有 16 個最小項個最小項) )( ( n 變量共有變量共有 2n 個最小項個最小項) )DCBADCBADABCABCDDCBA) ( A ,B ,CFY ( ( 3 變量共有變量共有 8 個最小項個最小項) )CBACBACBABCACBACBACABABC

37、1 CBA1 CBA對應規律：對應規律：1 原變量原變量 0 反變量反變量2. 最小項的性質：最小項的性質：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCBACBACBABCACBACBACABABC(1) 任任一一最小項，只有一組對應變量取值使其值為最小項，只有一組對應變量取值使其值為 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1(2) 任意兩個最小項的乘積為任意兩個最小項的乘積為 0 ；(3) 全體最小項之和為全

38、體最小項之和為 1 。變量變量A、B、C全部最小項的真值表全部最小項的真值表3. 最小項是組成邏輯函數的基本單元最小項是組成邏輯函數的基本單元CABCABA ,B ,CFY ) ( ABCCBAABCBCAABCCAB 任何邏輯函數都是由其變量的若干個最小項構成，任何邏輯函數都是由其變量的若干個最小項構成，都可以表示成為最小項之和的形式。都可以表示成為最小項之和的形式。)()()(BBCAAABCCCABY 例例 1. 2. 2 寫出下列函數的標準與或式：寫出下列函數的標準與或式： 解解 相同最小相同最小項合并項合并ABCCBABCACAB 標準與或表達式是唯一的，一個函數只有一個標準與或表達

39、式是唯一的，一個函數只有一個最小項之和的表達式。最小項之和的表達式。函數的標準與或式也可以由其真值表直接寫出：函數的標準與或式也可以由其真值表直接寫出：例如，已知例如，已知 Y = A + BC 的真值表的真值表A B CBCA 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100011111ABCCBACBABCA 函數的標準與或式函數的標準與或式)(CABAY 4. 最小項的編號：最小項的編號： 把與最小項對應的變量取值當成二進制數，與之把與最小項對應的變量取值當成二進制數，與之相應的十進制數，就是該最小項的編號，用相應的十進制數，就是該最小項的編號，用 m

40、i 表示。表示。對應規律：對應規律：原變量原變量 1 反變量反變量 0CBACBACBABCACBACBACABABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m7 例例 寫出下列函數的標準與或式：寫出下列函數的標準與或式：CBADABY )( )( )(CBDABA )( )(CBD BA DCBCABA )( )( )(AADCBBBCACCBA DCBADCBACBACBABCA DCBADCBADCBADCBA DCBADCBADBCABCDA m7m6m5m4m1m0m88014567mmmmmmm

41、 ) 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1 , 0 (mm0與前面與前面m0相重相重二、二、邏輯函數的最簡表達式邏輯函數的最簡表達式BCDBCCAABY 1. 最簡與或式：最簡與或式： 乘積項的個數最少，每個乘積項中相乘積項的個數最少，每個乘積項中相乘的變量個數也最少的與或表達式。乘的變量個數也最少的與或表達式。例如：例如：BCCAAB CAAB 2. 最簡與非最簡與非 與非式：與非式：非號最少，每個非號下面相乘的變量非號最少，每個非號下面相乘的變量個數也最少的與非個數也最少的與非 - 與非式。與非式。 例例 1. 2. 3 寫出下列函數的最簡與非寫出下列函數的最簡與非 - 與非式：與非

42、式：CAABY 解解 CAABY CAAB )()(CA BA 3. 最簡或與式：最簡或與式： 括號個數最少，每個括號中相加的變括號個數最少，每個括號中相加的變量的個數也最少的或與式。量的個數也最少的或與式。 例例 1. 2. 4 寫出下列函數的最簡與或式：寫出下列函數的最簡與或式：CAABY 解解 CABAY CABAY CABA 4. 最簡或非最簡或非 或非式：或非式：非號個數最少，非號下面相加的變量非號個數最少，非號下面相加的變量個數也最少的或非個數也最少的或非 或非式。或非式。 例例 1. 2. 5 寫出下列函數的最簡或非寫出下列函數的最簡或非 或非式：或非式：CAABY 解解 )()

43、(CA BAY CA BA 5. 最簡與或非式：最簡與或非式： 非號下面相加的乘積項的個數最少，非號下面相加的乘積項的個數最少，每個乘積項中相乘的變量個數也最每個乘積項中相乘的變量個數也最少的與或非式。少的與或非式。 例例 1. 2. 6 寫出下列函數的最簡與或非式：寫出下列函數的最簡與或非式：CAABY 解解 CA BAY CA BA 結論：結論：只要得到函數的最簡與或式，再用摩根定只要得到函數的最簡與或式，再用摩根定理進行適當變換，就可以獲得其它幾種類理進行適當變換，就可以獲得其它幾種類型的最簡式。而最簡與或式一般需要經過型的最簡式。而最簡與或式一般需要經過化簡才能求得。化簡才能求得。已知

44、已知2. 3. 2 邏輯函數的公式化簡法邏輯函數的公式化簡法一、一、并項法并項法: :ABAAB BACABABCY BAAB B CBACABCBAABCY )()(CBCBA C BBCA A )(CBACBA 例例 1. 2. 7 例例 （與或式（與或式最簡與或式）最簡與或式）公式公式定理定理二、二、吸收法：吸收法：AABA EBDAABY EBDABA BA BCDC BA BCAAY )( )()()(DC BA BCABCA BCA 例例 1. 2. 8 例例 例例 CDBCDAABY CDBAAB )( CDABAB AB BA 三、三、消去法：消去法：BABAA BDACABY

45、 BDACBA DCBA 例例 1. 2. 9 CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB 例例 ABCCBABABAY )()(BCBA CBB A )()(CBA CB A ACCABABA CBABA 例例 四、四、配項消項法：配項消項法：CAABBCCAAB BA BACACB 或或CBCACACB CBCABA BCCABACBACBAY CBACBA BCCABA BA CBCACACBY 或或BCCABACBACBA 例例 1. 2. 10 例例 1. 2. 11 冗余項冗余項冗余項冗余項綜合練習：綜合練習：EACDECBEDCBBEAACEY DCBACDCBBAACE

46、 ) ( DCBEADEBECE DCBEADCBE )( DCBEADCBE DCBEAE DCBE DCBADBCE ) ( 2. 3. 3 邏輯函數的圖形化簡法邏輯函數的圖形化簡法一、邏輯變量的卡諾圖一、邏輯變量的卡諾圖(Karnaugh maps)卡諾圖：卡諾圖：1. 二變量二變量 的卡諾圖的卡諾圖最小項方格圖最小項方格圖( (按循環碼排列按循環碼排列) )( (四個最小項四個最小項) )ABAABBBABABAAB0mAB01011m2m3mAB01012. 變量卡諾圖的畫法變量卡諾圖的畫法三變量三變量 的卡諾圖：的卡諾圖：八個最小項八個最小項ABC010001 10 1111 10

47、卡諾圖的實質：卡諾圖的實質：邏輯相鄰邏輯相鄰幾何相鄰幾何相鄰邏輯不相鄰邏輯不相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰緊挨著緊挨著行或列的兩頭行或列的兩頭對折起來位置重合對折起來位置重合邏輯相鄰：邏輯相鄰：兩個最小項只有一個變量不同兩個最小項只有一個變量不同邏輯相鄰的兩個最小項可以邏輯相鄰的兩個最小項可以合并成一項，并消去一個因子。合并成一項，并消去一個因子。如：如：CABCACBA m0m1m2m3m4m5m6m7五變量五變量 的卡諾圖：的卡諾圖：四變量四變量 的卡諾圖：的卡諾圖：十六個最小項十六個最小項ABCD0001111000 01 11 10 當變量個數超過當變量個數超過六個以上時，無法使

48、六個以上時，無法使用圖形法進行化簡。用圖形法進行化簡。ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100以此軸為對稱軸（對折后位置重合）以此軸為對稱軸（對折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21幾幾何何相相鄰鄰幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰三十二個最小項三十二個最小項3. 變量卡諾圖的特點：變量卡諾圖的特點：用幾何相鄰表示邏輯相鄰用幾何

49、相鄰表示邏輯相鄰(1) 幾何相鄰：幾何相鄰：相接相接 緊挨著緊挨著相對相對 行或列的兩頭行或列的兩頭相重相重 對折起來位置重合對折起來位置重合(2) 邏輯相鄰：邏輯相鄰：CABCBA CBCBAA )(例如例如兩個最小項只有一個變量不同兩個最小項只有一個變量不同化簡方法：化簡方法：卡諾圖的缺點：卡諾圖的缺點：函數的變量個數不宜超過函數的變量個數不宜超過 6 個。個。邏輯相鄰的兩個最小項可以合并成一邏輯相鄰的兩個最小項可以合并成一項，并消去一個因子。項，并消去一個因子。4. 變量卡諾圖中最小項合并的規律：變量卡諾圖中最小項合并的規律：(1) 兩個相鄰最小項合并可以消去一個因子兩個相鄰最小項合并可

50、以消去一個因子ABC010001 11 100432CBCBACBA BACBACBA ABCD0001111000 01 11 101946DCBDCBADCBA DBADCBADCBA (2) 四個相鄰最小項合并可以消去兩個因子四個相鄰最小項合并可以消去兩個因子ABCD0001111000 01 11 1004128DC 321011CB ABCD0001111000 01 11 105713 15BD02810DB 81240mmmm DCBADCABDCBADCBA DC 111023mmmm DCBADCBADCBADCBA CB 151375mmmm DCBADCBADCBADCB

51、A BD 10820mmmm DCBADCBADCBADCBA DB (3) 八個相鄰最小項合并可以消去三個因子八個相鄰最小項合并可以消去三個因子ABCD0001111000 01 11 1004128C 321011B ABCD0001111000 01 11 105713 15B02810D151394612142n 個相鄰最小項合并可以消去個相鄰最小項合并可以消去 n 個因子。個因子。總結：總結：二、邏輯函數的卡諾圖二、邏輯函數的卡諾圖 根據函數的變量個數畫出相應的卡諾圖。根據函數的變量個數畫出相應的卡諾圖。 在函數的每一個乘積項所包含的最小項處都填在函數的每一個乘積項所包含的最小項處都

52、填 1 ，其余位置填其余位置填 0 或不填。或不填。1. 邏輯函數卡諾圖的畫法邏輯函數卡諾圖的畫法2. 邏輯函數卡諾圖的特點邏輯函數卡諾圖的特點用幾何位置的相鄰，形象地表達了構成函數的用幾何位置的相鄰，形象地表達了構成函數的各個最小項在邏輯上的相鄰性。各個最小項在邏輯上的相鄰性。優點：優點：缺點：缺點：當函數變量多于六個時，畫圖十分麻煩，其優當函數變量多于六個時，畫圖十分麻煩，其優點不復存在，無實用價值。點不復存在，無實用價值。 例例 1. 2. 12 畫出函數的畫出函數的卡諾圖卡諾圖DCABBAY 1 3. 邏輯函數卡諾圖畫法舉例邏輯函數卡諾圖畫法舉例 解解 根據變量個數畫出函數的根據變量個

53、數畫出函數的卡諾圖卡諾圖ABCD0001111000 01 11 10 根據函數的每個乘積項確定函數的最小項，根據函數的每個乘積項確定函數的最小項，并在相應的位置上填并在相應的位置上填 1 。標準與或式標準與或式BA m0、m1、m2、m31111ABm12、m13、m14、m151111DC m0、m4、m8、m1211一句話，缺啥補啥！一句話，缺啥補啥！ 例例 1. 2. 13 畫出函數的畫出函數的卡諾圖卡諾圖DBACBAY 2 解解 根據變量個數畫出函數的根據變量個數畫出函數的卡諾圖卡諾圖ABCD0001111000 01 11 10 根據函數的每個乘積項確定函數的最小項，根據函數的每個

54、乘積項確定函數的最小項，并在相應的位置上填并在相應的位置上填 1 。CBAm4、m51111DBAm9、m11三、三、 用卡諾圖化簡邏輯函數用卡諾圖化簡邏輯函數化簡步驟化簡步驟: : 畫出函數的卡諾圖畫出函數的卡諾圖 合并最小項：合并最小項： 畫包圍圈（卡諾圈）畫包圍圈（卡諾圈） 寫出最簡與或表達式寫出最簡與或表達式橫著看，豎著看，取其相同點橫著看，豎著看，取其相同點 例例 1. 2. 14 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 1011111111CB DBACBACBADB ACBY 解解 經卡諾圖化簡后的邏輯函數表達式，一定是最簡與或式！經卡諾圖化簡后的邏輯

55、函數表達式，一定是最簡與或式！CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 1011111111畫包圍圈的原則：畫包圍圈的原則： 先圈孤立項，再圈僅有一先圈孤立項，再圈僅有一種合并方式的最小項。種合并方式的最小項。 圈越大越好，但圈的個數圈越大越好，但圈的個數越少越好。越少越好。 最小項可重復被圈，但每最小項可重復被圈，但每個圈中至少有一個新的最小項。個圈中至少有一個新的最小項。 必需把組成函數的全部最小項圈完，并做認真必需把組成函數的全部最小項圈完，并做認真比較、檢查才能寫出最簡與或式。比較、檢查才能寫出最簡與或式。不正確不正確的畫圈的畫圈 例例 mD,C,B,AF)

56、15 , 13 , 21 , 8 , 6 , 5 , 4 , 1 () ( 解解 畫函數的卡諾圖畫函數的卡諾圖ABCD0001111000 01 11 1011111111 合并最小項：合并最小項： 畫包圍圈畫包圍圈 寫出最簡與或表達式寫出最簡與或表達式多余多余的圈的圈DBAABDDCADCAY 注意：注意：先圈孤立項先圈孤立項利用圖形法化簡函數利用圖形法化簡函數利用圖形法化簡函數利用圖形法化簡函數 例例 mF) 15 , 14 , 11 , 10 , 8 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ( 解解 畫函數的卡諾圖畫函數的卡諾圖ABCD0001111000 01 11 101111111

57、111 合并最小項：合并最小項： 畫包圍圈畫包圍圈 寫出最簡與或寫出最簡與或 表達式表達式D BD C AACB AY 例例 用圖形法求反函數的最簡與或表達式用圖形法求反函數的最簡與或表達式ACBCABY 解解 畫函數的卡諾圖畫函數的卡諾圖ABC010001 11 1011110000 合并函數值為合并函數值為 0 的最小項的最小項 寫出寫出 Y 的反函數的的反函數的 最簡與或表達式最簡與或表達式CACBBAY 2. 3. 4 具有約束的邏輯函數的化簡具有約束的邏輯函數的化簡一、一、 約束的概念和約束條件約束的概念和約束條件(1) 約束：約束： 輸入變量取值所受的限制輸入變量取值所受的限制例如

58、，例如，邏輯變量邏輯變量 A、B、C，分別表示電梯的分別表示電梯的 升、降、停升、降、停 命令命令。A = 1 表示升表示升，B = 1 表示降表示降，C = 1 表示停表示停。ABC 的可能取值的可能取值(2) 約束項：約束項：不會出現的變量取值所對應的最小項。不會出現的變量取值所對應的最小項。不可能取值不可能取值0010101000000111011101111. 約束、約束項、約束條件約束、約束項、約束條件(3) 約束條件：約束條件：ABCCABCBABCACBA 0 ABCCABCBABCAC B A 在邏輯表達式中，用等于在邏輯表達式中，用等于 0 的條件等式表示。的條件等式表示。0

59、00011101110111由約束項相加所構成的值為由約束項相加所構成的值為 0 的的邏輯表達式。邏輯表達式。約束項：約束項：約束條件：約束條件：或或0) 7 , 6 , 5 , 3 , 0 ( d2. 約束條件的表示方法約束條件的表示方法 在真值表和卡諾圖上用叉號在真值表和卡諾圖上用叉號( () )表示。表示。例如，上例中例如，上例中 ABC 的不可能取值為的不可能取值為二、二、 具有約束的邏輯函數的化簡具有約束的邏輯函數的化簡 化簡具有約束的邏輯函數時，如果充分利用約化簡具有約束的邏輯函數時，如果充分利用約束條件，可以使表達式大大化簡。束條件，可以使表達式大大化簡。1. 約束條件在化簡中的

60、應用約束條件在化簡中的應用(1) 在公式法中的應用：在公式法中的應用： 可以根據化簡的需要加上或去掉約束項。可以根據化簡的需要加上或去掉約束項。例例化簡函數化簡函數 Y = ABC，約束條件，約束條件0 CABCBCA 解解 ABCY )(BAABC )(ABABC C 問題：問題：當函數較復雜時，公式法不易判斷出哪些約束當函數較復雜時，公式法不易判斷出哪些約束項應該加上，哪些應該去掉。項應該加上，哪些應該去掉。CBCA (2) 在圖形法中的應用：在圖形法中的應用： 根據卡諾圖的特點（邏輯相鄰，幾何也相鄰），根據卡諾圖的特點（邏輯相鄰，幾何也相鄰），在畫包圍圈時包含或去掉約束項，使函數最簡。在畫包圍圈時包含或去掉約束項，使函數最簡。例例化簡函數