1、方法精講-數(shù)量2 (筆記)學(xué)習(xí)任務(wù)：1 .授課內(nèi)容：工程問題、行程問題2 .時(shí)長：2.5小時(shí)3 .對(duì)應(yīng)講義：159頁164頁4 .重點(diǎn)內(nèi)容：(1)工程問題的三種考法與對(duì)應(yīng)解題步驟，以及常用的賦值方法(2)行程問題的基礎(chǔ)公式與等距離平均速度公式(3)直線和環(huán)形上的相遇、追及的計(jì)算公式，用圖示來理解復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(4)多次相遇的結(jié)論、流水行船的公式，行程公式的比例性質(zhì)【拓展】(2018四川)10個(gè)相同的盒子中分別裝有110個(gè)球，任意兩個(gè)盒 子中的球數(shù)都不相同。小李分三次每次取出若干個(gè)盒子，每次取出的盒子中的球 數(shù)之和都是上一次的3倍，且最后剩下1個(gè)盒子。問剩下的盒子中有多少個(gè)球？A.9B.6C.5D

2、.3【解析】拓展.10個(gè)盒子，任意兩個(gè)盒子中的球數(shù)都不相同，即 10個(gè)盒子的球數(shù)分別為110。取3次球，設(shè)第一次取了 n個(gè)球，每次取出的盒子中的球數(shù)之和都是上一次的3倍；即第二次取3n個(gè)球，第三次取9n個(gè)球。10個(gè)盒子中球的總數(shù)為1+2+3+910=55 個(gè)(等差數(shù)列求和，(1+10 ) *10/2=55),設(shè)剩下的一個(gè)盒子中有x個(gè)球，取走的球數(shù)和剩下的球數(shù)加和為總數(shù)：55,即n+3n+9n+x=55, x=55-13n, n和x的范圍都是110,n取13時(shí)，x均大于10 ,不滿足。只有當(dāng)n取4時(shí)，x=3 ,滿足條件。選D第四節(jié)工程問題【知識(shí)點(diǎn)】工程問題(常用的應(yīng)用題型)：1. 基本公式（三量

3、關(guān)系）：（ 1 ）工程量 = 效率 * 時(shí)間。例： 100 塊磚每小時(shí)搬50 塊，需要2 小時(shí)搬完，總量=50*2=100 塊。（ 2 ）效率= 工程量/ 時(shí)間。例： 100 塊磚 2 小時(shí)搬完，則每小時(shí)搬100/2=50 塊。（ 3 ）時(shí)間= 工程量/ 效率。例： 100 塊磚每小時(shí)搬50 塊，需要100/50=2 小時(shí)搬完。（ 4）所有的工程問題都是圍繞這三個(gè)量來出題的，不同的題目切入方法不同，有的題從工程量著手，有的題從效率著手，給的條件不同，用不同的方法。2. 給定完工時(shí)間型：（ 1 ）賦總量（完工時(shí)間的公倍數(shù)）。（ 2 ）算效率：效率= 總量 / 時(shí)間。（ 3 ）根據(jù)工作過程列方程。

4、（ 4）完工時(shí)間：一次性完成全部工作所需的時(shí)間。（ 5 ）例：唐老師和小龍去搬一車磚，唐老師2 小時(shí)搬完，小龍3 小時(shí)搬完，問兩人合作多少小時(shí)搬完？答：條件中只給了時(shí)間，沒有給出總量或每小時(shí)搬多少等具體量，問的也不是具體量，說明題目所求與具體量沒有關(guān)系，可以用賦值法。（1 ）先假設(shè)磚的總量：設(shè)總量為完工時(shí)間公倍數(shù)（如果設(shè)為1 的話，后面計(jì)算效率時(shí)會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)）：2*3=6 。 （ 2）算效率：效率= 總量 /時(shí)間，則唐老師的效率=6/2=3 ；小龍的效率=6/3=2 。 （ 3）求合作時(shí)間：時(shí)間= 總量 /效率， 6/（2+3）=1.2 小時(shí)。例 1 （ 2018 陜西）要完成某項(xiàng)工程，甲施工隊(duì)

5、單獨(dú)干需要30 天才能完成，乙施工隊(duì)需要40 天才能完成。甲乙合作干了10 天，因故停工10 天，再開工時(shí)甲、乙、丙三個(gè)施工隊(duì)一起工作，再干4 天就可全部完工。那么，丙隊(duì)單獨(dú)干需要大約（）天才能完成這項(xiàng)工程。A.21B.22D.24F.26C.23E.25G.27H.28【解析】例1.題干中分別給出了甲、乙的完工時(shí)間。(1)設(shè)總量為30和40的公倍數(shù)，求公倍數(shù)用短除法：30和40先約10 ,剩3和4互質(zhì)，約數(shù)和剩下的數(shù)乘起來：10*3*4=120。 Q)算效率：甲=120/30 天=4 ,乙=120/40 天=3。(3)整個(gè)工程分三部分完成：甲乙合作10天后停工10天，最后三人合作4天完成總工

6、作，設(shè)丙的效率為x,可以根據(jù)工程總量列出等式：10* (4+3 ) +0 (停工)*10+4*(4+3+x ) =120 ,解得x=50/4-7=5.5。丙單獨(dú)做耗時(shí)：t丙=總量/效率=120/5.5=21.8 ,比21天多，選22天。選B +【注意】1.完工時(shí)間：一次性完成全部工作的時(shí)間(如果題中給出3天完成工程的一部分，則不是完工時(shí)間)。2.找公倍數(shù)：短除法，有互質(zhì)的先相乘，有倍數(shù)的留大的。(1)例：求5、6、8的公倍數(shù)：答：先看互質(zhì)的，5和6互質(zhì),公倍為兩者乘積為30 ,再求30和8的公倍數(shù)，先約 2,余 15 和 4, 2*15*4=120。(2)例：求30 :、15、12的公倍數(shù)：答

7、：15和30存在倍數(shù)關(guān)系，有倍數(shù)的留大的，公倍數(shù)就是 30 ,再求30和 12的公倍數(shù)，先約6剩5和2 , 6*5*2=60。例 2（ 2018 江蘇）編制一批“中國結(jié) ”，甲乙合作6 天可完成；乙丙合作10天可完成；甲乙合作4 天后，乙再單獨(dú)做5 天可完成，則甲、乙、丙的工作效率之比是（） 。A.3 ：2：1B.4：3：2C.5：3：1D.6：4：3【解析】例2. 方法一：已知甲乙合作，乙丙合作的完工時(shí)間。（1 ）賦總量：賦總量為6 和 10 的公倍數(shù)30 。 （ 2）算效率：甲乙效率和=30/6=5 ，乙丙效率和=30/10=3 。 （3）直接看選項(xiàng)，只有 A項(xiàng)：3+2=5 , 2+1=3

8、 ,兩者比為5 : 3 ,恰好滿 足甲 + 乙 =5 ，乙 + 丙 =3 ，其他選項(xiàng)均不滿足。方法二（正常做法）：（1 ）總量 =30 。 （ 2）效率：甲乙效率和=30/6=5 ，乙丙效率和 =30/10=3。 （ 3） “甲乙合作4 天后，乙再單獨(dú)做5 天可完成 ”， 根據(jù)總量列方程： 5*4+ 乙 *5=30 ，解得乙 =2 ，甲乙和為5，則甲 =3 ，對(duì)應(yīng) A 項(xiàng) 。【 選 A】【注意】給出了甲、乙、丙三者的效率比，即選項(xiàng)信息充分，考慮代入排除法。【知識(shí)點(diǎn)】給效率比例：1. 賦效率（滿足比例即可）。2. 算總量：效率* 時(shí)間 = 總量。3. 根據(jù)工作過程列方程。4. 例：唐老師和小龍去

9、搬一車磚，唐老師和小龍的效率比為3 ： 2 ，已知兩人合作需要10 天搬完，問唐老師單獨(dú)搬要多少天？答：已知效率比例為3： 2。 （ 1）設(shè)效率：設(shè)唐老師效率為3，小龍效率為2。（ 2） “兩人合作 10 天完工 ，” 即總量 = （ 3+2 ） *10=50 。 （ 3）唐老師單獨(dú)搬耗時(shí)=總量 /效率 =50/3=16.7 天。例 3（ 2018 江蘇）某新建農(nóng)莊有一項(xiàng)綠化工程，交給甲、乙、丙、丁4 人合作完成。已知4 人的工作效率之比為3 ： 5： 4： 6，甲乙合作完成所需時(shí)間比丙丁合作多9 天，則 4 人合作完成工程所需時(shí)間是（） 。A.17 天B.18 天C.19 天D.20 天【解

10、析】例3. 方法一： 4 個(gè)人完成一項(xiàng)工作，直接給出了他們的工作效率之比 。 （ 1 ）設(shè)效率：甲=3 ，乙 =5 ，丙 =4 ，丁 =6 （注意順序不是3、 4、 5、 6，不要掉坑） 。 （ 2）求總量：“甲乙合作完成所需時(shí)間比丙丁合作多9 天 ”， 設(shè)丙丁完工耗時(shí)為t天，則總量=（3+5 ） * （t+9 ） =8t+72 ，總量=（4+6 ） *t=10t ，將 代入，解得t=8*9/2=36 天,則總量=10t=360。（3）問4人合作耗時(shí)：t=360/（ 3+5+4+6 ） =360/18=20 天。方法二：（1）設(shè)效率：甲=3 ,乙=5 ,丙=4 , 丁 =6。（2）設(shè)總量為x,

11、甲乙合作耗時(shí) =x/ （ 3+5 ） =x/8 ；丙丁合作耗時(shí)=x/ （ 4+6 ） =x/10 。 “甲乙合作完成所需時(shí)間比丙丁合作多9 天 ”，即x/8-x/10=9 ，通分解得總量：x=360 。 （ 3）問 4 人合作耗時(shí)：t=360/ （ 3+5+4+6 ） =360/18=20 天 。 【 選 D】例 4（ 2018 浙江）機(jī)械廠加工某器件，需依次進(jìn)行3 道工序，工作量的比依次是 3： 2： 4。甲完成1 個(gè)工件后又完成了第2 個(gè)工件的前兩道工序，正好用時(shí)1 小時(shí)。已知甲和乙的加工效率比是7 ： 9 ，問乙完成1 個(gè)工件需要多長時(shí)間？（）A.30 分鐘B.36 分鐘C.42 分 1

12、0秒D.46 分 40 秒【解析】例4. “工作量的比依次是3： 2： 4，” 即一個(gè)工件的全部工作量為9。 （ 1 ）假設(shè)三步工作量分別為3、 2、 4， “甲完成 1 個(gè)工件后又完成了第2 個(gè)工件的前兩道工序，正好用時(shí)1 小時(shí) ”，即甲的效率（單位時(shí)間的工作量）= （ 3+2+4 ） + （ 3+2 ） =14 ，甲、乙效率比是7： 9，則乙的效率=14*9/7=18。 （ 2）一個(gè)工件的工作量=9 。 （ 3）乙完成一個(gè)工件耗時(shí)t 乙 =工作量 /效率 =9/18=1/2 小時(shí) =30分鐘，對(duì)應(yīng)A 項(xiàng) 。 【 選 A】【注意】雖然給出了效率比為7 ： 9，但是本題從工作量著手更方便，相對(duì)

13、于常規(guī)題目，是比較反常規(guī)的。例 5（ 2018 國考）工程隊(duì)接到一項(xiàng)工程，投入80 臺(tái)挖掘機(jī)。如連續(xù)施工30天,每天工作10小時(shí)，正好按期完成。但施工過程中遭遇大暴雨，有 10天時(shí)間無法施工。工期還剩8天時(shí)，工程隊(duì)增派70臺(tái)挖掘機(jī)并加班施工。問工程隊(duì)若想按期完成，平均每天需多工作多少個(gè)小時(shí)？（）A.1.5B.2C.2.5D.3【解析】例5.題干沒有告訴甲、乙等條件，只給出了 80臺(tái)挖掘機(jī)，即不是 給定完工時(shí)間，也不是給定效率比例。（1）設(shè)每臺(tái)機(jī)器單位時(shí)間（每小時(shí)）的效 率為1。（2） 80臺(tái)機(jī)器每天工作10小時(shí)，工作30天完工，即總量=80*30*10*1 =24000 o （3）實(shí)際工作分為

14、3個(gè)階段，可以畫線段示意整個(gè)工程完成情況，前期 工作12天后停10天，最后工期還剩8天，前12天正常工作效率為80*10 ;中 間停工效率為0;最后8天增加70臺(tái)挖掘機(jī)，設(shè)每天工作t小時(shí)，則最后8天 效率為（80+70 ） *t ,根據(jù)總量列方程：80*10*12+150*8*t=24000,解得 t=12小時(shí)，原來每天工作10小時(shí)，現(xiàn)在多工作2小時(shí)，即加班2小時(shí)，對(duì)應(yīng)B項(xiàng)。【選B】郴工電疔五/屋”【注意】遇到N名工人、N臺(tái)機(jī)器等表述時(shí)，一般默認(rèn)每人、每臺(tái)機(jī)器的效 率均相等，可設(shè)為1。則此時(shí)工作效率=人數(shù)或臺(tái)數(shù)。【知識(shí)點(diǎn)】給具體單位型（個(gè)/塊/噸）：前五題是主流考法，第六題是非主流考法，可不使

15、用工程思維，用方程法便可以做，不聽課也能做。如搬 1200塊 磚、修1500米公路、制作300個(gè)零件。賦值是隨便假設(shè)1個(gè)數(shù)，是1或100均 可，題目中有具體值時(shí)無法賦值，需要設(shè)未知數(shù)，將原來想賦值的量設(shè)為X。1 .設(shè)未知數(shù)。2 .找等量關(guān)系列方程。例6 （2018廣州）辦公室需要復(fù)印一批文件，使用甲復(fù)印機(jī)單獨(dú)印需要20分鐘，使用甲乙兩臺(tái)復(fù)印機(jī)一起印需要 12分鐘，已知甲復(fù)印機(jī)每分鐘比乙復(fù)印機(jī)多印6份文件，則這批文件一共有()份。A.216B.240C.360D.600【解析】例6.方法一：有具體份數(shù)，不能賦值，可以設(shè)未知數(shù)，12、20的公倍數(shù)是60 (如下圖)，方程法常結(jié)合倍數(shù)特性，份數(shù)應(yīng)是

16、12、20的公倍數(shù)， 故而設(shè)總量為60x ,甲效率=60x/20=3x/分鐘，甲、乙效率=5x ,乙效率=5x-3x=2x/分鐘，甲復(fù)印機(jī)每分鐘比乙復(fù)印機(jī)多印6份文件”一3x-2x=6 份一x=6，總份數(shù) =60x=360。方法二：本方法是純方程法，甲復(fù)印機(jī)每分鐘比乙復(fù)印機(jī)多印6份文件”，設(shè)甲效率為x+6 ,乙效率為x,總量=20* (x+6 ) =12*(x+6+x ),解出x,代回得到總量。【選C】【注意】做題多了后，會(huì)不自覺地傾向于方法一，看到 20分鐘、12分鐘， 便會(huì)想到設(shè)總量。【答案匯總】1-5 : BADAB ; 6: C1 .給完工時(shí)間型：(1)根據(jù)時(shí)間賦總量(公倍數(shù))，不一定

17、設(shè)最小公倍數(shù)。如 8、10,可以設(shè) 總量為80 (最小公倍數(shù)是40),沒有給總量才能賦值，只要能賦值，說明數(shù)值不 影響答案，類似小學(xué)生喜歡賦值為1 ,若能找到最小的，建議設(shè)最小的，減少計(jì) 算量，計(jì)算量大時(shí)容易出錯(cuò)，考試時(shí)可以偷懶，將兩個(gè)數(shù)做乘積也可以，不影響 答案，總量翻倍后效率也會(huì)翻倍，翻倍的總量 /翻倍的效率得到的時(shí)間不變，最 后的答案不受影響。(2)再算效率=總量/時(shí)間。(3)根據(jù)工作過程列方程。2 .給效率比例型：(1)先賦效率(滿足比例即可)，注意順序。(2)再算總量=效率*時(shí)間。(3)根據(jù)工作過程列方程。(4)效率的賦值方法：直接給效率比，如甲的效率是乙的2倍，甲=乙*2 ,設(shè)甲為

18、2,乙是1;甲: 乙=3 : 2,設(shè)甲為3,乙是2。間接給效率比，如甲三大做的量等于乙兩天做的量，甲3大二乙2大，總量相同，用時(shí)長則效率低，單位時(shí)間做的量少，成反比，甲效率：乙效率 =2 : 3。3 .給具體單位型：設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系列方程。第五節(jié)行程問題一、基礎(chǔ)行程【知識(shí)點(diǎn)】行程問題：三個(gè)量存在乘法關(guān)系。1 .公式：路程=速度*時(shí)間，每秒鐘走2米，10秒走20米；速度=路程/時(shí)間 20米的路程走了 10秒，速度為20/10=2 米/秒；時(shí)間二路程/速度，20米的路 速度為2米/秒，時(shí)間為20/2=10 秒。2 .考查題型：(1)基礎(chǔ)行程：即一般行程問題，考基本概念，如基本公式、平均速度。(

19、2)相對(duì)行程：相遇、追及、流水行船。(3)比例行程：不從純公式角度分析，分析正比、反比，切入點(diǎn)不同。例1 (2018國考)一輛汽車第一天行駛了 5個(gè)小時(shí)，第二天行駛了 600公里， 第三天比第一天少行駛200公里，三天共行駛了 18個(gè)小時(shí)。已知第一天的平均 速度與三天全程的平均速度相同，問三天共行駛了多少公里？()A.800B.900C.1000D.1100【解析】例1.方法一：給了三大，畫一條線段，分為三段， 第一天的平均 速度與三天全程的平均速度相同”，設(shè)第一天平均速度為V,則總平均速度也是V, 第一天走了 5小時(shí)，第二天走了 600公里，第三天比第一天少行駛200公里”， 第一天的路程為

20、5V,第三天的路程為5V-200 ,共走18小時(shí)，總速度為V,總路 程二18V，總路程二三天路程加和，代入數(shù)據(jù)：5V+600+5V-200=18V, 8V=400 ,解得V=500 ,所求 18V=900 。24方法二：倍數(shù)特性有兩種情況，甲、乙用18天做完一項(xiàng)工程，工程總量=18*(甲+乙)，四個(gè)選項(xiàng)依次為240、250、270、300，總量是18的倍數(shù)。本題中, 三天行駛的路程=18小時(shí)*平均速度，做不出來時(shí)，根據(jù) 18的倍數(shù)選答案，18 有9因子，只有B項(xiàng)是9的倍數(shù)，很可能是答案。時(shí)間、速度不一定是整數(shù)，但 行程問題中想用倍數(shù)特性，便要放寬要求，行程問題中很少有一定是整數(shù)的量， 要么直接

21、選，要么代入B項(xiàng)，不要太較真。【選B】【知識(shí)點(diǎn)】等距離平均速度：1 .平均速度定義：平均速度=總路程/總時(shí)間，有時(shí)考查特殊情況，最常見的 便是等距離平均速度。2 .例：唐宋老師從家到公司，去時(shí)速度為100 ,回家速度為60 ,問全程的平 均速度？答：注意并非( 100+60 ) /2=80 ,除非從家到公司與從公司到家所用時(shí)間相 同，但此時(shí)家到公司與公司到家的路程不同，一會(huì)是 100 , 一會(huì)是60,若答案中 有80 ,可直接排除，不會(huì)做在剩余三項(xiàng)中蒙一個(gè)，有 1/3的正確率。賦值路程 S=300 , V= (300+300 ) / (300/100+300/60) =600/8=75。，,3

22、 .公式：V=2*V1 *V / (1V+V )。4 .推導(dǎo)(看懂即可，無需記住)：設(shè)來回路程均為 S,去程速度為V1,回程 速度為 V2, V=S 總 /t 總=(S+S ) / (S/V +S/V ) =2/ 11/V 2+ 1/V ) =2/ 2 (V+V ) / (V*V2)=2*V1 * V / (V+V )。5 .適用于：等距離往返、上下坡往返。6 .例：唐宋老師從家A到學(xué)校B上班，上山速度為V ,下山速度為V ,僅從 A到B,沒有往返，平均速度不能使用等距離平均速度公式；若往返， A - B再B 一A,去程：上山(AC段)速度為V ,下山(CB段)速度為2V ；回程：上山(BC段

23、）速度為V1 ,下山（CA）速度為V ,每一段路都是5 2V各走一遍，A?C是等 距離往返，C?B也是等距離往返，此時(shí)可用等距離平均速度公式，不管兩段的距離，即便是九曲十八彎（如下圖），也可以使用。例2 （2016云南事業(yè)單位）李大夫去山里給一位病人出診，他下午 1點(diǎn)離開 診所，先走了一段平路，然后爬上了半山腰，給那里的病人看病。半小時(shí)后，他 沿原路下山回到診所，下午3點(diǎn)半回到診所。已知他在平路步行的速度是每小時(shí) 4千米，上山每小時(shí)3千米，下山每小時(shí)6千米。請(qǐng)問李大夫出診時(shí)共走了多少 路？（）A.5千米B.8千米C.10千米D.16千米【解析】例2.方法一：1點(diǎn)鐘出發(fā)，先走平路，再爬山，平路、

24、山的比例關(guān)系未知，無需關(guān)注，往返便可以使用等距離平均速度公式。注意看病的 0.5h需 要去掉，即在病人家中的半小時(shí)無需考慮，t走=3.5-1-0.5=2h事S =2*1V A-B:平路的平均速度V平=4 , VC =2*3*6/（3+6 ） =4 ,全程分為兩部分，前后的平均速度不變，說明V全程=4 , S =2*，V =2*4=8km。方法二：根據(jù)出題人的出題習(xí)慣和命題思維，有平路、下坡、上坡的題目,全程平均速度與平路速度往往一致，真題中目前無反例，若平路一個(gè)平均速度， 上下坡是另一個(gè)平均速度，此時(shí)缺少條件無法做，命題時(shí)會(huì)將兩段路的平均速度 設(shè)置成相同的，左邊平路，右邊上下坡，平路的速度容易

25、算(已知)，V全程二丫路=4 ,且若不這樣設(shè)置，需要添加條件，還會(huì)增加計(jì)算量，故而得到此方法。【選B】【注意】2h是往返總時(shí)間，去程、回程均已計(jì)入，無需再乘以 2。【答案匯總】1-2 : BB、相對(duì)行程【知識(shí)點(diǎn)】直線相遇與環(huán)形相遇：1 .直線相遇：S目遇=%*T 。(1 )牛郎和織女鵲橋相會(huì)，牛郎速度快一點(diǎn)為 V ,織女速度慢一點(diǎn)為V ,桂 1遇時(shí)間為T,全程為S,牛郎走的路程為VT,織女走的路程為V T, S=V *T2+V *T=(V+V ) *T=V(2)若兩人不是同時(shí)出發(fā)，如牛郎先出發(fā)1小時(shí)，之后再相遇，單獨(dú)走的部 分單獨(dú)算，或從總路程中減掉，之后再按相遇計(jì)算，S=X*1+(V什V加建

26、T 。絕大多數(shù)情況是同時(shí)出發(fā)。2 .環(huán)形相遇：S =V叮。 相遇 和(1)牛郎、織女相背而行，一左一右，在環(huán)形上走路，在某點(diǎn)相遇，兩人 走的路程分別為M*T、V *T,兩人走完一個(gè)全程，環(huán)形中的全程是一整圈，則 正 =1 H=V *T+V *T=1(2V+V )叮。(2)直線相遇、環(huán)形相遇的算法均為 S=V和*T。(3)不同點(diǎn)出發(fā)：同向而行，此時(shí)與直線相遇相同，只是將直線掰彎，殊途同歸背向而行，則相遇路程是大半圈，若相向而行，則相遇路程是小半圈 環(huán)形絕大多數(shù)情況考查同點(diǎn)出發(fā)，直線相遇通常考查同時(shí)不同點(diǎn)出發(fā)。例1. (2018聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四人同時(shí)同地出發(fā)，繞一橢圓形環(huán)湖棧道行走。甲順時(shí)針

27、行走，其余三人逆時(shí)針行走。已知乙的行走速度為60米/分鐘， 內(nèi)的速度為48米/分鐘。甲在出發(fā)6、7、8分鐘時(shí)分別與乙、丙、丁三人相遇， 求丁的行走速度是多少？A.31米/分鐘B.36米/分鐘C.39米/分鐘D.42米/分鐘【解析】例1.畫一個(gè)圓弧，從A點(diǎn)出發(fā)，甲順時(shí)針走，乙、丙、丁逆時(shí)針走，甲分別于乙、丙、丁三個(gè)人相遇，思考三次相遇過程，再過1分鐘”不好想，看成三次獨(dú)立的相遇過程。第一次：甲和乙用時(shí)6分鐘相遇，V乙=60 , S =(V +60 ) *6分鐘；第二次：甲和丙相遇：S =依V +48 ) *7分鐘；第三次: 甲甲與丁相遇：S/(W +W- ) *8分鐘。得到三個(gè)等量關(guān)系，要求 V

28、 ,需要先 圈求V、S圈，可以根據(jù)求出，S圈=6V甲+360=7V+7*48甲V =360-336=24甲77入：S 圈=84*6 ,代入：84*6=(24+V ) *8 一V =63-24=39。【選 C】【注意】本題考試時(shí)需要2分鐘，別的題目做得再快，題量也是有限的。再 想提高只能做數(shù)學(xué)，考試建議用 15分鐘做數(shù)學(xué)，若共15題，目的是做出7至 10題，若僅有10題，做7題即可，平均1.5至2分鐘做一題。看不懂的題目可 以放棄，如排列組合問題，本題列方程只需要二三十秒，解出答案便能得分，故而要做。數(shù)學(xué)的平均正確率為 30% ,即10道題對(duì)3題，數(shù)學(xué)起點(diǎn)低，我們的目 標(biāo)是15分鐘做對(duì)7至10題

29、。不是難算到極點(diǎn)的題目建議完整計(jì)算。【知識(shí)點(diǎn)】直線追及：1 .如男生追女生，在某個(gè)地方追上女生，能追上是由于女生速度比較慢，走 的路程為V慢*T ,男生走的速度比較快，路程為 V快叮，距離差為S追及，則S追及二 (V -V ) *T。快 慢2 .公式：S = (V夬-V慢)*T二V甲 叮，追及路程=追及剛開始時(shí)兩人的距離。 追及如唐宋老師的速度為5m/s ,張小龍速度為為2m/s ,唐宋老師離張小龍30米，30/ (5-2 ) =10 ,需要10秒，唐宋老師才能追上張小龍。例2 （2018深圳）清晨，爺爺、爸爸和小磊在同一條筆直跑道上朝同一方向 勻速晨跑，某一時(shí)刻，爺爺在前，爸爸在中，小磊在后

30、，且三人之間的間距正好 相等。跑了 12分鐘后小磊追上了爸爸，又跑了 6分鐘后小磊追上了爺爺，則再 過（）分鐘，爸爸可追上爺爺。A.12B.15C.18D.36【解析】例2.方法一：非常熱門的題目，考法很多，浙江、江蘇考到類似 的，如果聯(lián)考出現(xiàn)這類題也是正常的。注意是筆直跑道，三個(gè)人間距相等，爺爺 在前，爸爸在中間，小磊在后面。題目有三個(gè)追及過程，題目問的是時(shí)間，給的 也是時(shí)間，沒有路程的量，賦值間距為 36 （12和18的公倍數(shù)），依題意列式： 36= （V、-% ） *12 分鐘，36*2=小（V 行V ） * （12+6 ）分鐘，36= 4V -V ） 。求時(shí)間t,需要知道爸爸和爺爺?shù)乃?/p>

31、度差，由可知 V -V =3 ,由可知 小 爸V -V爸=4 ,則拓-V爺=1 ,即爸爸和爺爺?shù)乃俣炔顬? ,代入，即t=36/1=36 分鐘，題目問再跑幾分鐘，36分鐘是總共跑了 36分鐘，前面跑了 12+6=18 分鐘， 36-18=18 分鐘，即再過18分鐘，爸爸追上爺爺，對(duì)應(yīng) C項(xiàng)。方法二：以坑治坑，出題老師考這類考法往往設(shè)置陷阱。前面已經(jīng)跑了12+6=18 分鐘，問再跑幾分鐘，算的時(shí)候不可能先算再跑多久，先算的是共跑多久，算出的是共x分鐘，答案是x-18分鐘，觀察選項(xiàng)里面有沒有兩個(gè)選項(xiàng)差 18分鐘，D項(xiàng)-C項(xiàng)=18 ,則C項(xiàng)當(dāng)選。【選C】【知識(shí)點(diǎn)】環(huán)形追及（同點(diǎn)出發(fā)）：1 .在環(huán)形追

32、及，考的是同點(diǎn)出發(fā)。如唐宋老師跑的慢，劉翔跑了一整圈回來, 又跑到這里，追上唐宋老師，比唐宋老師多跑了整整一圈。第二次追上，多跑了 2圈；第三次追上，多跑了 3圈，追上幾次就是多跑幾圈。2 .公式：S追及=（V -V曼）叮。追上1次：S追及=1圈；追上N次：S追m=N圈。例3 （2017廣東）老林和小陳繞著周長為720米的小花園勻速散步，小陳比 老林速度快。若兩人同時(shí)從某一起點(diǎn)同向出發(fā)，則每隔 18分鐘相遇一次；若兩 人同時(shí)從某一起點(diǎn)相反方向出發(fā)，則每隔 6分鐘相遇一次。由此可知，小陳繞小 花園散步一圈需要多少分鐘？（）A.6B.9C.15D.18【解析】例3.周長即環(huán)形，只要是封閉的圖形就是

33、環(huán)形，同向出發(fā)是追及。 看到同向”，把后面出現(xiàn)的 相遇”打個(gè)X,這是出題老師設(shè)置的陷阱，相遇 分為迎面相遇或者背后相遇，我們說的追及即是同向相遇。數(shù)學(xué)上，只要是相遇， 兩個(gè)人方向是相反的；只要是追及，兩個(gè)是同向的。判定追及還是相遇，以方向 為準(zhǔn)，同向考追，相反方向考遇。方法一：依題意可知18分鐘追上一次，6分鐘相遇一次。環(huán)形上，S遇二$圈 =V和式遇=u *6=720 與 S 圈-S 差=U *T =V *18=720 ，和解彳3:V 差=120 , V 二40 。知道速度和、速度差，V = （V曼+V曼）/2=80 ,可以當(dāng)個(gè)小公式記一下。求小陳繞一 大圈的時(shí)間，已知小陳比老林速度快”，即小

34、陳的速度為V ,t =720/V=720/80=9大分鐘，對(duì)應(yīng)B項(xiàng)。方法二：兩個(gè)人反向出發(fā)，6分鐘相遇一次，相遇的時(shí)候，小陳速度快，則 小陳6分鐘走了一大半圈，老林6分鐘走了一小圈。題目問小陳走一圈的時(shí)間， 小陳的速度大于老林的速度，小陳走老林的部分不用6分鐘，即小陳走一圈的時(shí)問=6+ （6）,排除C、D,小陳走自己的部分用了 6分鐘，走一圈不可能是6分 鐘，排除A項(xiàng)。可以記住結(jié)論：速度大的，則 t X 2*t遇;速度小的，則t k2*t 遇。【知識(shí)點(diǎn)】多次相遇（兩端出發(fā)）：1 .多次相遇指的是甲乙之間不斷跑，如牛郎和織女，想在鵲橋相遇，兩人在 王母娘娘這里喝酒喝多了，沒認(rèn)出對(duì)方，兩人繼續(xù)往前

35、走，在某個(gè)點(diǎn)相遇。2 .兩端出發(fā)相遇：第1次相遇，共走1S ;第2次相遇，共走3S;第3次相 遇，共走5S;第n次相遇，共走（2n-1）S=V 和*T。如題目問第三次相遇用了多少 時(shí)間，把n=3代入公式，即5S=M *T , T=5SN 。例4 （2015聯(lián)考）在一次航海模型展示活動(dòng)中，甲乙兩款模型在長 100米的水池兩邊同時(shí)開始相向勻速航行，甲款模型航行 100米要72秒，乙款模型航行 100米要60秒，若調(diào)頭轉(zhuǎn)身時(shí)間略去不計(jì)，在12分鐘內(nèi)甲乙兩款模型相遇次數(shù) 是（）。A.9B.10C.11D.12【解析】例4.相向考的是相遇，題目問相遇多少次，即考多次相遇，公式：（2n-1）S=V和 叮，

36、題目求n,找S, S是一個(gè)單程為100 , T為12 , V =V +V ,即 （2n-1）S=V 和叮=（100/72+100/60） *720 ,注意單位的統(tǒng)一，12 分鐘=720 秒。出現(xiàn)兩個(gè)復(fù)雜分?jǐn)?shù)相加或者相減，再乘一個(gè)大數(shù)，分別乘往往計(jì)算比較計(jì)算，原式 （2n-1）S=100*10+12*100 ，解得 2n=23 ，即 n=11.5 。次數(shù)是只有相遇到了才算一次， 11.5 是指已經(jīng)相遇了11 次，還不到12 次，對(duì)應(yīng)C 項(xiàng) 。 【 選 C】【注意】多次相遇的考法一般不考慮追及相遇，考試不用糾結(jié)。【知識(shí)點(diǎn)】流水行船：1 .V =V船+% , V =V -V ,常識(shí)理解。 順2 .V

37、船=（Vfc +% ） /2 , V =6V -V ）/2,是推導(dǎo)出來的，建議可以記一下。 逆如去的時(shí)候速度為50 ，回來的速度為40 ，船在水中的問題，則V 水 =（ 50-40 ） /2=5 。3 . 靜水速度= 船速、漂流速度= 水速。例 5（ 2017 山東）有A、 B 兩家工廠分別建在河流的上游和下游，甲、乙兩船分別從A、 B 港口出發(fā)前往兩地中間的C 港口。 C 港與 A 廠的距離比其與B 廠的距離遠(yuǎn)10 公里。乙船出發(fā)后經(jīng)過4 小時(shí)到達(dá)C 港，甲船在乙船出發(fā)后1 小時(shí)出發(fā)，正好與乙船同時(shí)到達(dá)。已知兩船在靜水中的速度都是32 公里/小時(shí)，問河水流速是多少公里/小時(shí)？（）A.4B.5

38、C.6D.7【解析】例5. 建議大家畫一下圖，上游畫的高一點(diǎn)，下游畫的低一點(diǎn)即可，分別標(biāo)一下上游A、下游B, C在A和B的中間，更靠近Bo乙船從B （下游）行駛到 C 從，逆水行駛了4 個(gè)小時(shí)，已知“船在乙船出發(fā)后1 小時(shí)出發(fā)，正好與乙船同時(shí)到達(dá)，甲船從A （上游）行駛到C,順?biāo)旭偭?3小時(shí)。已知C港與A廠的距離比其與B 廠的距離遠(yuǎn)10 公里 ”，即3*V 順 =4*V 逆 +10 ，船速為32，即 3*（32+V水）=4* （32-V ） +10 ,解e V =42/7=6 ,對(duì)應(yīng) C 項(xiàng)。選 C【答案匯總】1-5 : CCBCC三、比例行程【知識(shí)點(diǎn)】比例行程：考試考得比較少，難度不高，剛

39、學(xué)可能思維上不好把 握。1.S=V*T 。(1) S一定，V、T成反比。如同一段路，甲從 A到B花了 90分鐘，乙從B 到家花了 100分鐘，路程一定，時(shí)間比為 90/100 ,速度比為100/90=10/9。(2) V一定，S、T成正比。(3) T 一定，S、V成正比。2.方法：確定不變量，找比例。比如題目告訴我們走了同一段路程，路程相等。當(dāng)題目給了當(dāng)甲時(shí)，乙：即時(shí)間一樣。例(2017河南)老王和老李沿著小公園的環(huán)形小路散步，兩人同時(shí)出發(fā)， 當(dāng)老王走到一半路程時(shí)，老李走了100米；當(dāng)老王回到起點(diǎn)時(shí)，老李走了5/6的路程。問環(huán)形小路總長多少米？A.200B.240C.250D.300【解析】例

40、.已知 當(dāng)老王走到一半路程時(shí)，老李走了100米；當(dāng)老王回到起點(diǎn)時(shí)，老李走了 5/6的路程”，這兩句話都是當(dāng)?shù)臅r(shí)候，路程的 形式，意味著時(shí)間是一樣的，時(shí)間t 一定，S之比是v之比。已知 當(dāng)老王走到一半路程時(shí)，老李走了 100米”，則V /V =1/2S/100;已知 當(dāng)老王回到起點(diǎn)時(shí)，老李走了 5/6 的路程；V /V =S/ (5/6S )。Ve /V李=1/2S/100=S/(5/6S ),王解得 5/6*S=2*100, S=200*6/5=240 ，對(duì)應(yīng) B 項(xiàng)。【選B(S-VT)總施仁+總時(shí)利f*均現(xiàn)度 Of-個(gè)距席平均逑度2V1串w(1V2 利法上多和-V也T遇 相遇氓量n出&* S=VwTjfi行程問題相對(duì)行程住拒洱司Ji發(fā)班n次粕遇(2n-1S-V*JT跖H詰?口 M曲工n決用詞口 nMvKi-r小招兌c次祖及J nHTV4T喇!水：5=，%十*農(nóng)1ffi4