1、第四節(jié)第四節(jié) 一階線性微分方程一階線性微分方程)()(ddxQyxPxy 一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為齊次的上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)例如例如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.一、線性方程一、線性方程. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.ed)( xxPCy1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的解法一階線性微分

2、方程的解法使用分離使用分離變量法變量法這這里里記記號號 xxPd)(表表示示)(xP的的某某個個確確定定的的原原函函數(shù)數(shù). . 2. 2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(ddxQyxPxy 常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換. .作變換作變換 xxPxuyd)(e )(,e)()(e )(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和將將yy ),(e )(d)(xQxuxxP ,de)()(d)(CxxQxuxxP 積分得積分得所以一階

3、線性非齊次微分方程的通解為所以一階線性非齊次微分方程的通解為:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 對應(yīng)齊次方對應(yīng)齊次方程的通解程的通解非齊次方程特解非齊次方程特解,e )()(d)( xxPxQxu代代入入原原方方程程得得和和將將yy ),(e )(d)(xQxuxxP xxPxuyd)(e )(.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cxxxyxxxxdesined1d1 Cxxxxxdesinelnln)dsin(1 Cxxx. )cos(1Cxx 解解de)(ed)(d)(Cx

4、xQyxxPxxP 例例1 1求求方方程程2e22ddxxxyxy 滿滿足足1)0( y的的特特解解. . 解解通通解解為為 dee2ed2d22Cxxyxxxxx d2e2Cxxx )(e22Cxx , , 由初始條件由初始條件1)0( y, , 1 C, , 即即所所求求特特解解為為 ) 1(e22 xyx. . 例例2 2求求方方程程0d)(d3 yyxxy的的通通解解. . 解解方方程程含含有有3y, ,故故不不是是關(guān)關(guān)于于未未知知函函數(shù)數(shù)y線線性性方方程程, , 2ddyyxyx , , 可可把把y視視為為自自變變量量, ,把把方方程程改改寫寫為為 此此即即一一階階線線性性方方程程,

5、 ,解解得得通通解解為為 deed12d1Cxyxyyyy d12Cxyyy 43yyC . . 例例3 3nyxQyxPxy)()(dd )1 , 0( n解法解法: :二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程得得兩兩端端除除以以，ny),()(dd1xQyxPxyynn ,1 nyz 令令，則則xyynxzndd)1(dd ),()1()()1(ddxQnzxPnxz 求出通解后求出通解后, 將將 代入即得原方程的通解代入即得原方程的通解 .nyz 1代入上式代入上式.4dd2的的通通解解求求方方程程yxyxxy ,4dd12xyxxyy ,yz 令令,4dd22xzxxz 得得de2ed22d2Cxxzxxxx .224 Cxxy解解得得兩兩端端除除以以，y,22 Cxx,22dd2xzxxz 得原方程的通解為得原方程的通解為 例例4 4求求方方程程04)(2 xyyxy )0( y的的通通解解. . 解解把把y作作為為自自變變量量, ,原原方方程程改改寫寫為為 xxyyx4141dd , , 這這是是伯伯努努利利方方程程, ,兩兩邊邊乘乘以以x, ,化化為為線線性性方方程程 2121dd22 xyyx, , 得得通通解解 )(C