1、誤差理論習(xí)題答疑目錄1. 緒論2. 誤差基本原理3. 誤差的合成與分解4. 最小二乘法原理5. 回歸分析緒論緒論1-4試求其最大相對誤差。1-4在測量某一長度時，讀數(shù)值為，其最大絕對誤差為20um解：最大相對誤差（最大絕對誤差）/測得值，231諭兀相對菠差N-X008.66x10-%緒論1-51-5使用凱特擺時,由公式振動時間T為s。試求給定。今測出長度給定。今測出長度g及最大相對誤差。如果測出m，為了使gT的測量必須精確到多少解：由T2進行全微分，令并令'耳、A/n“代替dgTdh.dFAg_A/j=T的最大相對誤差為：=CWOO5_2x-OOO51.04210204*0=53625

2、x10%，所以,9.81053緒論1-71-7為什么在使用微安表時，總希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用,解：設(shè)微安表的量程為°7，測量時指針的指示值為X,微安表的精度等級為S,最大誤差Wz%,相對誤差W芍廠，一般"X"故當(dāng)X越接近忍相對誤差就越小，故在使用微安表時，希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用。緒論1-9,1-9多級彈導(dǎo)火箭的射程為10000km時，其射擊偏離預(yù)定點不超過，優(yōu)秀選手能在距離50m遠處準確射中直徑為2cm的靶心，試評述哪一個射擊精度高-!丄冥ion怖瞬解：火箭射擊的相對誤差：1（心仆門選手射擊的相對誤差：«100%10"&

3、#39;%5D所以，相比較可見火箭的射擊精度高。緒論1-10,1-10若用兩種測量方法測量某零件的長度L仁100mm其測量誤差分別為科'而用第三種方法測量另一零件的長度L2=150mm，其測量誤差為''，試比較三種測量方法精度的高低解：第一種方法測量的相對誤差為:llUnm第二種方法測量的相對誤差為:第三種方法測量的相對誤差為:±12/Jmxl（X）%=±0,008%2-2測量某物體共8次,解：算術(shù)平均值為:嚴咬耳土補沁相比較可知：第三種方法測量的精度最高，第一種方法測量的精度最低。第二章：誤差基本原理1. 算術(shù)平均值2. 標準差及算術(shù)平均值的標準差

4、3. 測量結(jié)果表達方式4. 粗大誤差判斷及剔除誤差基本原理2-2測得數(shù)據(jù)（單位為g）為，。試求算術(shù)平均值及其標準差算術(shù)平均值的標準差是:2-3用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計算習(xí)題2-2的標準差，并比較之。解：別捷爾斯法.£|<|<7=1.253jiz!三、002+0-064匸。&+0廻+0X)44605+0U4+00日屈a0.068fi5們粒馬二戈z怙=236.51-23634-017g查表得1.2510.41(K5B73屈=0.059652.85g_0.05965y/fty/S=0+02109g7=T=0*61n0.0549=0.01941g所以,最大誤差法

5、：查表得:綜上所述，用貝塞爾公式得到的標準差是，別捷爾斯法計算得到的標準是、極差法是和最大誤差法是，故最大誤差法計算的得到的標準差最小，別捷爾斯法最大。2-9已知某儀器測量的標準差為m。若在該儀器上，對某一軸徑測量一次，測得值為，試寫出測量結(jié)果。若重復(fù)測量10次，測得值（單位為mm為，試寫出測量結(jié)果。若手頭無該儀器測量的標準差值的資料，試由中10次重復(fù)測量的測量值，寫出上述、的測量結(jié)果。測量結(jié)果：奇e=±3(7=±3x0.5=±L5/«=±00015用用x=(26.2025+0,001IDr>甲乙z1-.zj-dj-a一二二勢“畑10(-

6、0.0027b)1+().W)K34-+0.0()1342+(-1).0027()>'-0.0041W1)=2j6,2fll5wfw所以對，測量結(jié)果為：-'_=Q.0022S*測量結(jié)果:xx+%|；=(26.2025±0.0005)/n/?j對，測量結(jié)果為:心耳±3近-(26+2025土0.0002)miw-Tq2'30'=7.04116°山,JU敢址+2(4326邊心JU少旣JlRdUL：可由測得數(shù)據(jù)計算得工而Vio4.2sltJ-:XI。-1劑明各測量五次，測得值如下:，73'0”，72'35”，72

7、9;25”，72'20”解：對于甲來說2-12甲、乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角72'20”，72'20”，72'15''試求其測量結(jié)果。，72'50”，72'45”7°2'20"+7<,3,0B4-7°2B5+7°2'20+7°2,15"72'25”對于乙來說a.=匚57*2*25*+7*2,25%7e2'20+7°2'5C'+72M5"=7.0425°q=O.OG167Qn(n

8、9;-I)所以兩個測量者的權(quán)是:=O.CO228:：0.00167'=""不妨取總M.536莊=1,所以，-L536e-片函亠吃吒小7曲“十85師".阿5砂宀7o3-1J36(2-1)(嶺+&)1x0.00228-+0536X0.0016721x1.536二0,0004°乞二±3才二±3x1*44”=土4.32“oa即為所求。2-16對某一線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后6次是和另一個標準線圈比較得到的，測得結(jié)果如下（單位為mH：解：nxL11"hfa用秩和檢驗法有：將兩組數(shù)據(jù)混合排列

9、，得1-2-?，試判斷兩組數(shù)據(jù)間有無系統(tǒng)誤差。tr'llz?*=14,7=30T>Ti=2).：3+f+V+JU=Jl.：>因為”'所以有根據(jù)懷疑存在系統(tǒng)誤差。2-17等精度測量某一電壓10次，測得結(jié)果（單位為V為。測量完畢后,發(fā)現(xiàn)測量裝置有接觸松動現(xiàn)10次等精度測量,象，為判斷是否接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重新作了測得結(jié)果（單位為V為，。試用t檢驗法（取為）判斷兩測量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：用t檢驗法判斷：第一次測量的數(shù)據(jù)x=26,001，cr/=1J4S>XIO3-i.549*i（r3心備io1£.一1=2597時=一£

10、仇-用=°血l5=2J5xlfl*2第二次測量數(shù)據(jù)：屮；叫z10=<26.001-25J7)110x10x(10-1-10-2)(10+1010x1.549x1O'310x24510-5)因為=10+10-2=18,取Z警查t分布表，得=210|/|=lr53<C=210所以，無根據(jù)懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差2-19對某量進行兩組測量，測得數(shù)據(jù)如下:X；J試用秩和檢驗法判斷兩組測量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：將兩組混合排列成下表:i13斗569ii)斗Q一砒1.131J31_16Ll»1.201.21y.0腫112*!H1213141516L7181920斗

11、L221.261.30pJ41.39XL211.251.311313KVt2122232526272S29301.411.57AL41L4&1J01的1曲L601,841.95得，匸"2+M7M血亡曲15融!皿25=口因為叫p=15>iq秩和T近似服從正態(tài)分布,所以，數(shù)學(xué)期望為,標準差,所以,何熱（叫+喝+1人彳12）卞二坷（嶼十眄十1）=1弘（15十詁十1）=m5<7=155x(15+15+1)12(7故，當(dāng)置信概率p<%，此時=2Mt=240此時有根據(jù)懷疑兩組測量值之間存在系統(tǒng)誤差。而當(dāng)置信概率p>%時,r=2.50此時無根據(jù)懷疑兩組測量值之間存在

12、系統(tǒng)誤差。2-20對某量進行15次測量，測得數(shù)據(jù)為,若這些測得值以消除系統(tǒng)誤差，試用萊以特準則、測量值。思路：格羅布斯準則和狄克松準則分別判斷該測量列中是否含有粗大誤差萊以特準則：計=0.0327根據(jù)萊以特準則，第14次測量值的殘余誤差所以它含有粗大誤差，故將它剔除。再根據(jù)剩下的格羅布斯準則：按照測量值的大小，順序排列得,可懷疑，由于14個測量值重復(fù)上述步驟。，現(xiàn)在有2個測量值=28,504-28.40=0304召一工二28.53-28304二0.026故應(yīng)該先懷疑X(1)是否含有粗大誤差,gl)=28.504-28.400.0327=118C43-2已知測量的系統(tǒng)誤差為ammbmmcmm，測

13、量的極限誤差為amm，bmm，cmm，試求立方體的體積及其體積的極限誤差取Ct0.054査表得”ga(l5,0.05)=2.41#則胡=3*04辭(15005)二2.41。故第個測量值x(i)含有粗大誤差，應(yīng)剔除。注意：此時不能直接對x(15)進行判斷，一次只能剔除一個粗差。重復(fù)上述步驟，判斷是否還含有粗差。狄克松準則同理，判斷后每次剔除一個粗差后重復(fù)。第三章：誤差的合成與分解知識點：1. 系統(tǒng)誤差合成2. 隨機誤差合成3. 相關(guān)系數(shù)4. 微小誤差取舍原則5. 誤差的分解及等作用原則為求長方體體積V,直接測量其各邊長為amm，bmm，cmm思路：1. 按測得值計算得V;2. 根據(jù)系統(tǒng)誤差的合成

14、原理求得V的系統(tǒng)誤差；3. 計算長方體的體積；4. 根據(jù)極限誤差的合成原理求得極限誤差；此時可寫出測量結(jié)果表達式。解：因為V=ahc嶺=£JXXC=161.6x44.5x11.2=Axc=44.5X11.2=498.4iL=dii=t6l.6xl12=1809.92lJL=4X/5=161.6x44.5=7Wh2體積的系統(tǒng)誤差：y=An+A/>4山dadbde-498.4xl_2+lB09.92職-0.8+7191.2x0/5工274生744聊護所以，長方體的體積是：=805+1.44-2745.744=77795.696mm極限誤差為（局部誤差方和根）eV營小（節(jié)呼欝近cb=

15、±yl498.42x0.82+IS09.92:x0.5-+719L220.5'=±3729.1所以，立方體的體積是，體積的極限誤差是3-4測量某電路的電流ImA，電壓UV，測量的標準差分別為巧=0.酣泌化=0.II'，求所耗功率PUI及其標準差p。解：先求所耗功率:PP=/=12h5xl0-J3UdPdf所以,且61完全線形相關(guān).故Q牛+2xpxXXX®IdUcirVdJfxQ.f+I2.o'X(0?>Itr1V*2r>22.5x1or'x12C»kO.IxQSk=j£0必n】+39的IF+21L站&

16、quot;【J*=j73J025(r=8xlT3JF所以，該電路所耗功率為，其標準差為'-3已知兀與V的相關(guān)系數(shù)d"I試求的方差譏解：因為所以,j2#比、件1rdirdu=(y/xxt-x<t-xctvdroydruy=4a:cr/+Ei<r/±2x(-l)x2xK(/xcrrxcrv=4宀*+曲-+Yxcib£7XJd*=(加丐_吧,卩所以，的方差k為所示，用取球法測量孔的直徑6其鋼球宜徑分別為幾測出的距離分別為如S試求被測孔徑D與各宜接測量量的函數(shù)關(guān)系D畑血血區(qū)、及其誤差梅遞函數(shù).解：如圖所示，由勾股定理得然后對di,d2,H1,H2分別求

17、偏導(dǎo)，即得出誤差傳遞系數(shù)。3-10假定從支點到重心的長度為L的單擺振動周期為T,重力加速度可由公式給出。若要求測量g的相對標準差昇*試問按等作用原則分配誤差時，測量L和T的相對標準差應(yīng)該是多少解£由重力加速度公式，點得，尸因為,cLT2dT因為測量項目有兩個，所以n=2。按等作用原理分配誤差，得L同理,呂丄r_乞少竹丁%工_1空卩E希蟲3fert帀華丈g(T卵杓警曲綜上所述，測量L和T的相對標準差分別是和%第五章：最小二乘法原理知識點：1. 最小二乘法原理2. 正規(guī)方程3. 兩種參數(shù)估計的方法4. 精度估計推薦掌握：基于矩陣的的最小二乘法參數(shù)估計參數(shù)最小二乘法估計矩陣形式的簡單推導(dǎo)及

18、回顧：由誤差方程-心且要求；最小，則：VJV=(L-AX)J(L-AX)=(L!-XrAr)(L-AX>=LrL-L?AX-XrArL+XZA?AX令其等于f(X)；要f(X)S小,需其對應(yīng)偏導(dǎo)為(h幺f(X)=-L7A-LrA+AXf+XrArA=0l/A=XrArAA1L=AJAX所以：X=(A/A)1AIL理論基礎(chǔ)：汾3詒妙rfJL=t(x)t-r(XjJ+r(x)r*(X)<2)c/X5-1由測量方程試3x+F=29工-2_丫"9k-3_yJ9求*y的最小.乘法處理及其相應(yīng)精度。解：方法一（常規(guī)）：1.列出誤差方程組：I-,=2.9-估工十嶺-04-（x-2jO&

19、gt;片=1.9-|3£）：=（曲-Gt七冊f押弘弋或廿分別對口求偏導(dǎo),并令它們的結(jié)果為也3（Cv-29>x3+*-）二助+玄0効-x2P3（念+7）-2勿雄丁1勿><2+2（依-効-1.9>x3=O即，14x-5=l3.45x+l4v=-4.6由上式可解得結(jié)果：1''-2.直接列表計算給出正規(guī)方程常數(shù)項和系數(shù)i1%dil心131»I3L7i1-214-2-1.6»2-34al.»K14-61470可得正規(guī)方程14x-5y=l3X-5x+14y=4-6將yx，的結(jié)果代入分別求得：v,=2,9-(3xO.962+0.

20、0L52)=-O.<M)3v2=0.9-(O.%26-2x0.()152)=-0.0322kvs=L9-(2x0.96263x0.0152T.0204得,Dj+r+才jsl=(-0M3)2+(-0.0322)a+(0.0204)1=Ot00146丄吋亦/J=二f=2ZH由題已知，得L46xIO-3=O,O3S2由不定乘數(shù)的方程組14J,-5JI；=Ib*IW|21嗎-%“1叫*1叫=J得rf|t=1).081rfH=0.0819得tr,-0,03K2jC.08W-0.01(W叭=c莎=0,0382OSI9=0.01(19方法二（按矩陣形式計算）：由誤差方程V=LAXvL=2.9-（3x-

21、n2y）比=U,g_（工-21'）”片二1.9_心_3刃J上式可以表示為'v/1?<3AAv叫LWA=1-2X=-?<V«19V»2-39丿-可得式中所以即解得，x=0.9626y=0.0152將最佳估計值代入誤差方程可得，V=L-AX=耳亠"2.9091.93121_-2-3_0.9626'00155-0()030-0.0322UU2O4B<B將計算得到的數(shù)據(jù)代入式中為求出估計量y,x，的標準差，首先求出不定常數(shù)由已知，不定常數(shù)的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而是矩陣'中各元素，即1145%.1?114514-0.

22、0X19171J4-0.0819171可得估計量的標準養(yǎng)為6=cr777=(L0382JO醫(yī)9=0.0L09石叵7=U.O3S2OX19=0.0J095-3測力計示值與測量時的溫度t的對應(yīng)值獨立測得如下表所示。t/C151821242730/FNF二k十燈設(shè)t無誤差，F(xiàn)值隨t的變化呈線性關(guān)系°試給出線性方程中系數(shù)k0和k的最小二乘估計及其相應(yīng)精度。解：利用矩陣求解，誤差方程可寫成片a115'13i21X-124_k.127LJ占i304J.6'1154361ISA«121©711244374i12743130可得試中,所以*k.TX=C"

23、ALJt1p!95-135K1IIM5-B56|_I5J82143611I1143.6S?4273o437143.7443.78'43.43240*1152=L-AX-將最佳估計值代入誤差方程得葦-片11<£611115】買2143.432J-O.MMKO.OOS68C12401152U.OOIJ2127-O.OOJ44L%k1300002為求出估計量k0,、k，的標準差,需要求出不定乘數(shù)dji的系數(shù)，而不定乘數(shù)Dji的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而Dij是矩陣中各元素，即3195-0.00635945可得估計量的標準差為6°=住眄=0.(X)64773380

24、95=0.00119ctX|=0.00647-700635=0.00051()55不等精度測量的方程組如下:劃=6p=.4.ti-y=8.1.P,-2t>f2x-3y=GSt=3試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。45解：利用矩陣計算A=1-31L=f2Lz-Fi-S.bK.l2-1V0.5'10000003'=(AJPAr'ArPLL吋得則8.260200030.0230.0095-CHJI65可計Jt/VFYhdll於十hl七也壓F*后3又知3莎"SEE-G.0715-1<HU7t5可得怙計童的標準差為6=u臥=0Q392J0D223=0.

25、0059礙=住莎=0.0392>/0.0715=0*01055-7將下面的非線性誤差方程組化成線性的形式，并給出未知參數(shù)X1,x2，的二乘法處理及其相應(yīng)精度。v=5A3旺叫=13.21（斗4比=3X)1上旺+-S.61-1'L4351V-8.1412.352巧0.52LJ將量佳估計值代入誤差方程彳嚴r尸*I呵:;=C-AZLw：1.由前面三個線性的誤差方程、亠呂可解得5址的近似估計值G利用矩陣形式求解：r/,i5.13'V,Lhs8.26v=LJ13.21f10"01I1鬣；:5.138.2613.215.13«.2613.213卜】2tI15.2IO

26、O二亍24.60005.C7OOb丄0002.取沖孔得近似值*5.07CMX.*=8200,令x2=疋°+爲(wèi)可將誤差方程線性化,偏導(dǎo)現(xiàn)分別對測董方程求則誤差方程化成線性方程組V=L-A5,*!«/（人（坷0，-匕）0.W-0.06丄一L（'G心丄TU2J10011103S18OJ-O可得三二（島丁人尸炭！；式中L«<a'xrllrI'1()1C3MJS'01010.14*0110.14b0_2. H5G105572.0213P0.6272-OJ37&"L-0327&0.M5K所以-0,06'&

27、#39;0.6272-032761T1010.3SIX_0.04-4132760.6658()1I(M46O-0.06-0120()60.6272-0.32760.299t0.19L6-0.32760.66580.3382-0.0279-0.06-0.0IM-4).0100解得爲(wèi)=-0,0164送=-0.0100則齊=.$十爲(wèi)=50700-0.0164=5X)536E=心+A=82000-0.0100=8J900將中®的量崔估計It代入棧差方程計算可WiF5.13-'5,0536_0,0764'KN000.070013.21I3.24J6-0.(336_1_01_11

28、W-01152再由,0.6272-O3MB-032760.665S則,£=0.6272趾=0.665K可得估計童的捺準差為，叫-0J12006272-Q.OSK7<7tt=a7T=0【2&&三0.0914第六章回歸分析知識點：1. 一元線性回歸2. 多元線性回歸3. 方差分析及顯著性檢驗LOGO第六章回歸分析6-1材料的抗剪強度與材料承受的正應(yīng)力有關(guān)。對某種材料試驗的數(shù)據(jù)如下：正應(yīng)力/xPa抗剪強度/yPa/xPa/yPa假設(shè)正應(yīng)力的數(shù)值是精確的，求抗剪強度與正應(yīng)力之間的線性回歸方程。當(dāng)正應(yīng)力為時，抗剪強度的估計值是多少解：123.5718.24702-1571

29、0.22J.427.3<4$.1674S29W3.4232S.924.235215S5.M699.JS42"27.1734.41砂327723.67672?556.96653.7262掰25.9571.21670.SI619.01T2+7咖祈HT09691.649612&J21.5789.615067563225926.921.7723.634TCJJ95BJ.731027421.4750.76457.965Kb.36U22625.8510.76665.645«i.0«1Z25.fi24.*655J6620.01«3T44y3ll.fi29

30、72B1M267-107.876B7.76(YjJ2“2J1rT1I屮=V.r；-»813426-_=4Jj05iJTT11I"1-n*送為工月Ji16x29722=£肚-t制=T朗-''=-沙少ZT-n12.J-253“和b=-0.6861b=匚応=空仝十0.6K6L*如蟲=42.581S*112所以”綜上所述，p=423818-0.686b=42.5&-0,69斗*O當(dāng)正應(yīng)力X為245時，抗剪強度的估計值是雲(yún)>=42.58-0.6861x24.5=25.775PU=25.8r36-7在4種不同溫度下觀測某化學(xué)反應(yīng)生成物含量的百分數(shù)

31、，每種在同一溫度下重復(fù)觀測三次，數(shù)據(jù)如下：解孑為同一溫度三次下觀測生成物含:的百分數(shù)的平均值.77,4+76,7+7K,2=77.4333841+845+817=ft41Vj=«9.267=95.)333x；=215OO(Y1sJ90D1q=202500N4-=215000-202500=12500-U5<)1111=313-=86卿節(jié)4£#50087£14IVI(£片尸1=1M531¥4=?NI74MO(L»r：I匚匹宀*=3OO&7614一>»I7.SO亠=業(yè)趣_=。皿F_12500fi.r=M.4S

32、33-D.llficS*225=協(xié)270S=7929l.M41(送斗科)Tr=LJV=77K54.S925f一mi=dgJY1456-.6675%肓菇兩兩=l274；心1(甲g=i血故回歸方程擬合的很好。6-11用表差法法驗證下列數(shù)據(jù)可以用曲線表示。y=M.27»a+0.1165j現(xiàn)將計算結(jié)巣寫入方差分析表中*»平方和aMtF510531J347iiR5U9.LQ530671$<1351531.141A12耳嗎11衛(wèi)&513.1111由于F53A4Fw)9回歸高度顯著代型蟲說明失擬誤差平方和是不顯著的，即回歸方程擬合得很好，即可將失擬平方和絡(luò)和誤差平方和Q合并

33、.因為皿soaoszi解：將表中yx，畫圖得曲線如圖所示，從曲線上按入下表。，因表中A;V極接近常數(shù)，此組觀測數(shù)據(jù)可用MH*自K±VHkttXysrJTVarAyL1041.40II44磯0.44.20-fi0_40.704.450l4OLS)205JJ1,2.4U4l_3IM«J8B.t6.60-&J.BM0illHjILL-12J*»11J22；HM0.52.7LS0門腫2>I3Jas3,30I6J33.2I6J0.3k76-12煉焦?fàn)t的焦化時間y與爐寬1x及煙道管相對溫度2x的數(shù)據(jù)如下：y/min1x/mx2求回歸方程檢驗顯著性，并討論x1，x2對y的影響。利用量小二魅所求的回歸方程為，式中的冷切是回歸方程的回歸累氣對毎一組的心上可以確定一個回歸值一二實際測得值耳與回歸曲Zi繚是殘余融齊，利用矩陣落式*46.401132l5V|15.0512.693.40兒18.7513564.10V330.2514.418.75片44.85153514.82耳V.x=b=v«4g,9416.20ISAS機憐51.5517.121532N61.501&.87IS18100.4419.8X3519V9111.42110.6540.40%則誤差方程化成矩陣形式為根據(jù)最小二乘原理