1、第第2 2節圓與方程節圓與方程知識鏈條完善知識鏈條完善考點專項突破考點專項突破經典考題研析經典考題研析知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來【教材導讀】【教材導讀】 1.1.在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中, ,如何確定一個圓呢如何確定一個圓呢? ?提示提示: :當圓心位置與半徑大小確定后當圓心位置與半徑大小確定后, ,圓就唯一確定了圓就唯一確定了, ,因此因此, ,確定一個確定一個圓的最基本要素是圓心和半徑圓的最基本要素是圓心和半徑. .2.2.圓的一般方程中為何限制圓的一般方程中為何限制D D2 2+E+E2 2-4F0?-4F0?3.3.直線與圓的位置關系有哪

2、些直線與圓的位置關系有哪些? ?提示提示: :相離、相切、相交相離、相切、相交. .4.4.兩圓相交時兩圓相交時, ,公共弦所在直線方程與兩圓的方程有何關系公共弦所在直線方程與兩圓的方程有何關系? ?提示提示: :兩圓的方程作差消去二次項得到的關于兩圓的方程作差消去二次項得到的關于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程, ,就就是公共弦所在直線的方程是公共弦所在直線的方程. .知識梳理知識梳理 (1)(1)圓的定義圓的定義在平面內在平面內, ,到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓. .(2)(2)圓的方程圓的方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y

3、-b)2 2=r=r2 2 1.1.圓的定義與方程圓的定義與方程2.2.點點A(xA(x0 0,y,y0 0) )與與C C的位置關系的位置關系(1)|AC|r(1)|AC|r點點A A在圓內在圓內(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rr(3)|AC|r點點A A在圓外在圓外(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rr2 2. .3.3.直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系把直線的方程與圓的方程組成的方程組轉化為一元二次方程把直線的方程與圓的方程組成的方程組轉化為一元二次方程, ,其判別式其判別式為為,設圓心到直線的距離為設圓心到直線

4、的距離為d,d,圓的半徑為圓的半徑為r.r.位置關系列表如下位置關系列表如下: :5.5.圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系O O1 1、O O2 2半徑分別為半徑分別為r r1 1,r,r2 2,d=|O,d=|O1 1O O2 2|.|.【重要結論】【重要結論】 1.1.兩圓相交時兩圓相交時, ,公共弦所在直線的方程公共弦所在直線的方程設圓設圓C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0,=0,圓圓C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0,=0,若兩圓相交若兩圓相交, ,則有一條公共弦則有

5、一條公共弦, ,由由- -, ,得得(D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0.=0.方程方程表示圓表示圓C C1 1與與C C2 2的公共弦所在直線的方程的公共弦所在直線的方程. .2.2.若點若點M(xM(x0 0,y,y0 0) )在圓在圓x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上上, ,則過則過M M點的圓的切線方程為點的圓的切線方程為x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2. .夯基自測夯基自測B B 解析解析: :設圓心為設圓心為(0,m),(0,m),由已知得圓的方程為由已知得圓的方程為x x2 2+(y

6、-m)+(y-m)2 2=m=m2 2, ,又因為圓過點又因為圓過點(3,1),(3,1),則則9+(1-m)9+(1-m)2 2=m=m2 2, ,解得解得m=5.m=5.故圓的方程為故圓的方程為x x2 2+(y-5)+(y-5)2 2=5=52 2, ,即即x x2 2+y+y2 2-10y=0.-10y=0.C C 3.(20153.(2015溫州十校聯考溫州十校聯考) )對任意的實數對任意的實數k,k,直線直線y=kx-1y=kx-1與圓與圓C:xC:x2 2+y+y2 2-2x-2=0-2x-2=0的位置關系是的位置關系是( ( ) )(A)(A)相離相離(B)(B)相切相切(C)

7、(C)相交相交(D)(D)以上三個選項均有可能以上三個選項均有可能C C 5.5.圓圓x x2 2+y+y2 2+x-2y-20=0+x-2y-20=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2=25=25相交所得的公共弦長為相交所得的公共弦長為.考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 圓的方程圓的方程答案答案: : (1)D (1)D 答案答案: : (2)B (2)B (3)(3)圓圓C C通過不同的三點通過不同的三點P(k,0),Q(2,0),R(0,1),P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圓已知圓C C在點在點P P處的切線處的切線斜率為斜率為1,1

8、,則圓則圓C C的方程為的方程為.答案答案: :(3)x(3)x2 2+y+y2 2+x+5y-6=0+x+5y-6=0反思歸納反思歸納 (1) (1)求圓的方程求圓的方程, ,一般采用待定系數法一般采用待定系數法. .若已知條件與圓的圓心和半徑有關若已知條件與圓的圓心和半徑有關, ,可設圓的標準方程可設圓的標準方程. .若已知條件沒有明確給出圓的圓心和半徑若已知條件沒有明確給出圓的圓心和半徑, ,可選擇圓的一般方程可選擇圓的一般方程. .(2)(2)在求圓的方程時在求圓的方程時, ,常用到圓的以下幾個性質常用到圓的以下幾個性質: :圓心在過切點且與切線垂直的直線上圓心在過切點且與切線垂直的直

9、線上; ;圓心在任一弦的垂直平分線上圓心在任一弦的垂直平分線上. .考點二考點二直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系 反思歸納反思歸納 (1) (1)圓的切線方程的求法圓的切線方程的求法代數法代數法: :設切線方程為設切線方程為y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0),),與圓的方程組成方程組與圓的方程組成方程組, ,消元消元后得到一個一元二次方程后得到一個一元二次方程, ,然后令判別式然后令判別式=0=0進而求得進而求得k.k.幾何法幾何法: :設切線方程為設切線方程為y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0),),利用點到直線的距離公式表示利用點到直線的距離公式表示出圓心

10、到切線的距離出圓心到切線的距離d,d,然后令然后令d=r,d=r,進而求出進而求出k.k.(2)(2)弦長的求法弦長的求法代數方法代數方法: :將直線和圓的方程聯立方程組將直線和圓的方程聯立方程組, ,消元后得到一個一元二消元后得到一個一元二次方程次方程, ,在判別式在判別式00的前提下的前提下, ,利用根與系數的關系利用根與系數的關系, ,根據弦長公式根據弦長公式求弦長求弦長. .圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系考點三考點三 答案答案: : (1)B (1)B(2)1(2)1反思歸納反思歸納 判斷圓與圓的位置關系時判斷圓與圓的位置關系時, ,一般不用代數法一般不用代數法: :利用幾何法利用幾

11、何法的關鍵是判斷圓心距的關鍵是判斷圓心距|O|O1 1O O2 2| |與半徑的關系與半徑的關系. .【即時訓練】【即時訓練】 (1)(1)已知圓已知圓C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2mx+m-2mx+m2 2=4,=4,圓圓C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+2x-2my=8-m+2x-2my=8-m2 2(m3),(m3),則兩圓的位置關系是則兩圓的位置關系是( () )(A)(A)相交相交(B)(B)內切內切(C)(C)外切外切(D)(D)相離相離(2)(2)若若O:xO:x2 2+y+y2 2=5=5與與O O1 1:(x-m):(x-m)2 2+y+y2 2=20(

12、m=20(mR R) )相交于相交于A,BA,B兩點兩點, ,且兩圓在點且兩圓在點A A處的切線互相垂直處的切線互相垂直, ,則線段則線段ABAB的長度是的長度是.答案答案: : (1)D (1)D(2)4(2)4與圓有關的軌跡問題與圓有關的軌跡問題考點四考點四 解解: :(1)(1)設設APAP的中點為的中點為M(x,y),M(x,y),由中點坐標公式可知由中點坐標公式可知,P,P點坐標為點坐標為(2x-2,2y).(2x-2,2y).因為因為P P點在圓點在圓x x2 2+y+y2 2=4=4上上, ,所以所以(2x-2)(2x-2)2 2+(2y)+(2y)2 2=4.=4.故線段故線段

13、APAP中點的軌跡方程為中點的軌跡方程為(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.(2)(2)設設PQPQ的中點為的中點為N(x,y).N(x,y).在在RtRtPBQPBQ中中,|PN|=|BN|.,|PN|=|BN|.設設O O為坐標原點為坐標原點, ,連接連接ON,ON,則則ONPQ,ONPQ,所以所以|OP|OP|2 2=|ON|=|ON|2 2+|PN|+|PN|2 2=|ON|=|ON|2 2+|BN|+|BN|2 2, ,所以所以x x2 2+y+y2 2+(x-1)+(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.故線段故線段PQPQ中點的軌跡方程為中點的軌

14、跡方程為x x2 2+y+y2 2-x-y-1=0.-x-y-1=0.反思歸納反思歸納 求與圓有關的軌跡方程時求與圓有關的軌跡方程時, ,常用以下方法常用以下方法(1)(1)直接法直接法: :根據題設條件直接列出方程根據題設條件直接列出方程; ;(2)(2)定義法定義法: :根據圓的定義寫出方程根據圓的定義寫出方程; ;(3)(3)幾何法幾何法: :利用圓的性質列方程利用圓的性質列方程; ;(4)(4)代入法代入法: :找出要求點與已知點的關系找出要求點與已知點的關系, ,代入已知點滿足的關系式代入已知點滿足的關系式. .備選例題備選例題 【例【例3 3】 (1)(1)若圓若圓(x+1)(x+

15、1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=9=9上的相異兩點上的相異兩點P,QP,Q關于直線關于直線kx+2y-4=0kx+2y-4=0對稱對稱, ,則則k k的值為的值為.(2)(2)圓圓(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=5=5關于原點關于原點(0,0)(0,0)對稱的圓的方程為對稱的圓的方程為.解析解析: :(1)(1)圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形, ,過圓心的直線都是它的對稱軸過圓心的直線都是它的對稱軸. .已知圓的圓心已知圓的圓心為為(-1,3),(-1,3),由題設知由題設知, ,直線直線kx+2y-4=0kx+2y-4=0過圓心過圓心, ,則則k k(-1)+2(-1)+2

16、3-4=0,3-4=0,解得解得k=2.k=2.(2)(2)因為所求圓的圓心與圓因為所求圓的圓心與圓(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=5=5的圓心的圓心(-2,0)(-2,0)關于原點關于原點(0,0)(0,0)對稱對稱, ,所以所求圓的圓心為所以所求圓的圓心為(2,0),(2,0),半徑為半徑為, ,故所求圓的方程為故所求圓的方程為(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=5.=5.答案答案: :(1)2(1)2(2)(x-2)(2)(x-2)2 2+y+y2 2=5=5(2)(2)求求y-xy-x的最大值和最小值的最大值和最小值; ;(3)(3)求求x x2 2+y+y2 2的最大值和最小值的最大值和最小值. .經典考題研析經典考題研析 在經典中學習方法在經典中學習方法利用對稱性求范圍利用對稱性求范圍審題指導審題指導關鍵點關鍵點所獲信息所獲信息M(xM(x0 0,1),1)點點M M在直線在直線y=1y=1上上點點N N在圓在圓x x2 2+y+y2 2=1=1上上為確定關于為確定關于x x0 0的不等式提供依據的不等式提供依據OMN=45OMN=45可利