1、2020年高考理科數學立體幾何題型歸納與訓練【題型歸納】題型一線面平行的證明一 ,1 一 例1如圖，圖為1的等腰梯形 ABCD3,AM= CD= -AB= 1.現將 AM冊 M所起，使平面 AMd平面MBCD3連接AR AC試判斷：在 AB邊上是否存在點 P,使AD/平面MP"說明理由1【答案】當 AP= qAB時，有AD/平面 MPC 3理由如下：連接BD交M。點N,連接NP，一 ，DN DC 1在梯形MBC四，DC/ MB 荷而5，NB IvlB 2AP 1在ADBf, 我 2，AD/ PN. AD?平面 MPC PN?平面 MPC .AD/平面 MPC【解析】線面平行，可以線線

2、平行或者面面平行推出。此類題的難點就是如何構造輔助線。構造完輔助線，證明過程只須注意規范的符號語言描述即可。本題用到的是線線平行推出面面平行?！疽族e點】不能正確地分析 DN與BN的比例關系，導致結果錯誤?！舅季S點撥】此類題有兩大類方法：1 .構造線線平行，然后推出線面平行。此類方法的輔助線的構造須要學生理解線面平行的判定定理與線面平行的性質之間的矛盾轉化關系。在此，我們需要借助倒推法進行分析。首先，此類型題目大部分為證明題，結論必定是正確的，我們以此為前提可以得到線面平行。再次由線面平行的性質可知，過已知直線的平面與已知平面的交線必定平行于該直線，而交線就是我們要找的線，從而做出輔助線。從這個

3、角度上看我們可以看出線線平行推線面AD做了一個平面 ADB與平行的本質就是過已知直線做一個平面與已知平面相交即可。如本題中即是過AD平面MPCf交于線PN最后我們只須嚴格使用正確的符號語言將證明過程反向寫一遍即可。即先證平行于PN最后得到結論。構造交線的方法我們可總結為如下三個圖形。方法二方法三P方法2 .構造面面平行，然后推出線面平行。此類方法輔助線的構造通常比較簡單，但證明過程較繁瑣，一般做為備選方案。輔助線的構造理論同上。我們只須過已知直線上任意一點做一條與已知平面平行的直線即可?？煽偨Y為下圖方法例2如圖，在幾何體 ABCD計，四邊形 ABCD矩形，AB，平面 BEG B已EC, AB=

4、 BE= EC= 2, G, F分別是線段BE, DC的中點.求證：GF/平面ADE【答案】解法一 ：（1）證明：如圖，取 AE的中點H,連接HG HD又G是BE的中點,1所以 GH/ AB,且 G+ 2AB.又F是CD的中點， ,1所以 DF= CD.由四邊形ABC虛矩形得，AB/ CD AB= CD所以 GH/ DF,且 GH= DF,從而四邊形HGF虛平行四邊形，所以 GF/ DH.又DH?平面ADE GF?平面ADE所以GF/平面ADE.解法2: (1)證明：如下圖，取 AB中點M,連接MG MF.又G是BE的中點，可知GM/ AE.;又 AE?平面 ADE GM?平面 ADE所以GM

5、/平面ADE.卅/ "在矩形ABC邛，由M F分別是AB, CD的中點得 MF/ AD.-；又 AD?平面 ADE MF?平面 ADE/ ：所以MF/平面ADE.汴少少”又因為 GMT MF= M, GM?平面 GMF MF?平面 GMF了/所以平面GMF平面ADE./'夕二因為GF?平面GMF所以 GF/平面 ADE.右任二二二一/SL【解析】解法一為構造線線平行，解法二為構造面面平行。【易錯點】線段比例關系【思維點撥】同例一題型二線線垂直、面面垂直的證明例1如圖，在三棱錐 P-ABC, PA± AB, PAL BC AEJ±BQ PL AB=BC2,

6、D為線段AC的中點，E為線 段PC上一點.(1)求證：PAL BQ(2)求證：平面 BDEL平面PAC【答案】(1)證明：因為 PAL AB, PAL BC ABA BC= B,所以PL平面ABC又因為BD?平面ABC所以PAL BD(2)證明：因為AB= BC D為AC的中點，所以BDL AC由 知，PAL BD 又 ACT PA= A,所以BDL平面PAC因為BD?平面BDE所以平面BD曰平面PAC【解析】(一)找突破口第(1)問：欲證線線垂直，應轉化到證線面垂直，再得線線垂直；第(2)問：欲證面面垂直，應轉化到證線面垂直，進而轉化到先證線線垂直，借助(1)的結論和已知條件可證；(二)尋關

7、鍵點有什么想到什么注意什么信息：PAL AR PAL BC線面垂直的判定定理，可證PAL平面ABC(1)證明線面平行的條件：一 直線在平囿外，一直線在平囿 內(2)證明線面垂直時的條件： 直線垂直于平面內兩條相交 直線(3)求點到面的距離時要想到 借助錐體的“等體積性”信息：AB= BC D為AC的中占1八、等腰三角形中線與高線合一，可得BDL AC信息：PAL BD證明線線垂直，可轉化到證明 一直線垂直于另一直線所在 平囿，冉由線面垂直的定義可得信息：平面BDEL平面PAC面面唯直的判定定理，線線垂 直？線卸垂直？囿回垂直信息：PA/平面BDE線囿平行的性質定理，線囿平 行，則線線平行，可得

8、 PA/DE【易錯點】規范的符號語言描述，正確的邏輯推理過程。【思維點撥】(1)正確并熟練掌握空間中平行與垂直的判定定理與性質定理，是進行判斷和證明的基礎；在證明線面關系時，應注意幾何體的結構特征的應用，尤其是一些線面平行與垂直關系，這些都可以作為條件直接應用.(2)證明面面平行依據判定定理，只要找到一個面內兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證明面面平行轉化為證明線面平行，再轉化為證明線線平行.(3)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉化為證明線面垂直，一般先從現有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決.(4

9、)證明的核心是轉化，空間向平面的轉化，面面？線面？線線.題型三空間向量例1如圖，四面體 ABCDfr, ABC是正三角形， AC*直角三角形， ABD CBD , AB=BD(1)證明：平面ACIDLY面ABC(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEG巴四面體ABC盼成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C的余弦值.【答案】(1)證明：由題設可得,4 ABm CBD 從而 AD= DC又ACD直角三角形，所以/ADC= 90取AC的中點O,連接DO BQ則DOL AC DO= AO又因為 ABB正三角形，所以BOL AC所以/ DOE二面角 DACB的平面角.在 Rt AO沖,BO+ AO=

10、 A百.又 AB= BD,所以 bO+ dO= bO+aO= ag=bD故/ DOB= 90所以平面ACD_平面ABC(2)由題設及(1)知，OA OB OD兩兩垂直.以 O為坐標原點，OA的方向為x軸正方向，| OA|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,則A(1,0,0),R0,43,0),C(-1,0,0) ,D(0,0,1).一.一 1由題設知，四面體ABCE勺體積為四面體 ABCD勺體積的,從而E到平面ABC勺距離為D到平面ABC勺距離的 2,即 E為 DB的中點，得 E0,呼,2 .故KD =(-1, 0,1),血= (2,0,0) ,AE = 1,4,；.設n=(x

11、i, yi, zi)是平面DAE勺法向量,n AD=0, 則n AE = 0, Xi + Zi = 0,即3 i Xi +yi 2Zi = 0.可取n= i, U3 3設mi= (X2, y2, Z2)是平面AEC勺法向量,nr AC=0, 則nr AE = 0,一 2x2= 0,即3 i x2+-2y2+2Z2= 0,n m -當+.甲=工-.I n| m . 2i 7XX 23由圖知二面角 DAEC為銳角，所以二面角 DAEC的余弦值為 平.【解析】(一)找突破口第(i)問：欲證面面垂直，應轉化去證線面垂直或證其二面角為直角，即找出二面角的平面角，并求其 大小為90° ；第(2)

12、問：欲求二面角的余弦值，應轉化去求兩平面所對應法向量的夾角的余弦值，即通過建系，求所 對應法向量來解決問題.(二)尋關鍵點有什么想到什么注意什么信息： ABC為正三角形， AC皿直角三角形特殊三角形中的特殊的邊角： ABC中三邊相等， ACD中的直角(i)建系時要證明哪三條線兩 兩垂直，進而可作為坐標軸 (2)兩平面法向量的夾角不一 定是所求的一面角，也有可能 是兩法向量夾角的補角，因此必須說明角的范圍信息：/ ABD= / CB口 AB=BD邊角相等關系可證兩二角形全等，進而可證 AD= DQ /ADC= 90°信息：證明面ABC平囿 ACDL平囿間垂直的證明方法：幾何法或定義法信

13、息:體積相等由體積的大小關系轉化到點到面的距離的大小關系，進而知點E為DB的中點【易錯點】正確建立空間直角坐標系，確定點的坐標，平面法向量的計算?！舅季S點撥】1.利用空間向量求空間角的一般步驟(1)建立恰當的空間直角坐標系；(2)求出相關點的坐標，寫出相關向量的坐標；(3)結合公式進行論證、計算；(4)轉化為幾何結論.2.求空間角應注意的 3個問題(1)兩條異面直線所成的角a不一定是直線的方向向量的夾角3 ,即 COS a = |COS 3 |.(2)直線與平面所成的角的正弦值等于平面的法向量與直線的方向向量夾角的余弦值的絕對值，注意函數名稱的變化.(3)兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面

14、角，有可能為兩法向量夾角的補角.【鞏固訓練】題型一線面平行的證明S是BD的中點，E、F、G分別是BC DC SC的中點，求證:1.如圖，在正方體 ABCD-A1BCD中,直線EG/平面BDDB;平面EFG/平面BDEB.【答案】詳見解析【解析】(1)如圖，連接SRE、G分別是BG SC的中點，EG/ SB.又 SB?平面 BDDB, EG?平面 BDDB1, 直線 EG/平面 BDDB1.(2)連接SR F、G分別是DG SC的中點，FG/ SD.又 SD?平面 BDDB, FG?平面 BDDBi,FG/平面 BDDBi,又 EG?平面 EFG FG?平面 EFG EGA FG= G, ,平面

15、 EFG/平面 BDDBi.2.如圖，四棱錐 P ABCD勺底面是邊長為1的正方形，側棱 PA1底面ABCD且PA= 2, E是側棱PA上的中點.求證：PC/平面BDE【答案】詳見解析【解析】證明：連接 AC交BD于點O,連接OE,如圖：四邊形ABC比正方形，.O是AC的中點.又E是PA的中點，PC/ OE. PC?平面 BDE OE?平面 BDE.PC/平面 BDE.3.如圖，在四棱柱 ABCP ABGD中，底面 ABCM等腰梯形,DAB= 60 , AB= 2CD= 2, M是線段 AB 的中占I 八、求證：CM/平面AADD;【答案】詳見解析【解析】證明：因為四邊形 ABCD1等腰梯形，

16、且AB= 2CD所以AB/ DC又由M是AB的中點，因此 CD/ MA且CD= MA連接AD,在四棱柱 ABCDABiCiD中，因為 CD CD, CD= CD,可得 CiD/ MA OD = MA所以四邊形 AM©為平行四邊形.因此 CiM/ DA,又 CM?平面 AADD, DA?平面 A ADD,所以CiM/平面AiADD題型二線線垂直、面面垂直的證明1.如圖，在四棱錐 P ABCDh, PAa底面 ABCDABL AQ ACL CQ / ABC= 60° , PAAB= BQ E是PC的中點.(1)證明：CDL AE;(2)證明：PDL平面ABE【答案】詳見解析【解

17、析】(1)在四錐 P ABCD43,因為 PAL 底面 ABCD CD?平面 ABCD 故 PAL CD ACL CD PAH AC =A, . CDL平面PAC而AE?平面PAC. CDL AE(2)由 PA= AB= BC, Z ABC= 60 ,可得 AC= PA .E是 PC的中點，AE±PC由(1)知，AE1 CD且PCT CD= C,所以AE1平面PCD而PC?平面PCD AE1 PD.PAL底面ABCD PD在底面ABCDJ的射影是ADABI AD AB± PQ又. ABH AE= A綜上可得PDL平面ABE2.如圖，在三棱錐 P ABC, PA= PB= P

18、C= AC= 4, AB= BC= 2小.求證：平面ABC1平面APC【答案】詳見解析【解析】 證明：如圖所示，取 AC中點0,連接OP OB. PA= PC= AC= 4,OPL AC 且 P0= 4sin60 = 2，3.BA= BC= 2y2， .BA+BC2=16 = AC,且 BOL AC. B0= A百A0=2.PB= 4,0P+ 0B= 12 + 4= 16= P氏. OPL 0B. AS 0B= 0, . OPL平面 ABC. OP?平面 PAC平面ABCL平面APC3.如圖所示，四棱錐BD= ：3, PDL底面 ABCDP-ABC用，底面 ABC四平行四邊形， AB= 2AD

19、= 2,證明：平面PBCL平面PBD 【答案】詳見解析 【解析】(1)證明：QCB 1,CD 2,BD .3 .cD= bC+bD, BCL BD 又.PDL底面 ABCD PDL BC 又 PDH BD= D, Bd平面 PBD而BC?平面PBC平面PBCL平面PBDG(0,0,4)題型三空間向量1.已知直三棱柱 ABC- A1B1C 中，Z ACB= 90 , AC= BC= 2, AA=4, D 是 棱AA的中點.如圖所示.(1)求證：DC，平面 BCD(2)求二面角A- BD- C的大小.【答案】詳見解析【解析】(1)證明：按如圖所示建立空間直角坐標系.由題意，可得點C(0,0,0),

20、A(2,0,0),R0,2,0),D(2,0,2),A1(2,0,4),uLurumruur于是，DC1=( 2,0,2) , DC =( 2,0, 2), DB =(-2, 2, -2). umr umruiuir uur可算得 DC1 DC = 0, DC1 DB = 0.因此，DG± DC DG± DB又D6 DB= D,所以DC,平面BDC(2)設n=(x, y, z)是平面ABD的法向量，uuuuuur又 AB =(2,2,0) , AD = (0,0,2),x= 1,-2x+2y=0,所以取y=1,可得y=1,2z = 0.z=0,即平面ABD勺一個法向量是 n

21、= (1,1,0).uuur由(1)知，DC1是平面DBC勺一個法向量，uur記n與DC1的夾角為0 ,則 cos 8 =-4 0 =T 23結合三棱柱可知，二面角 A BD- C是銳角, 一 一一一 . , TT故所求二面角A- BD- C的大小是萬.2.如圖 1,在 Rt ABC43, / ACB= 30 , / ABC= 90 , D 為 AC中點,AE! BD點 E,延長 AE交 BC 于點F,將 ABDgBD折起，使平面 ABDL平面BCD如圖2所示.由圖1條件計算得 AE=BC= 23,(1)求證：AE1平面BCD(2)求二面角A- DC- B的余弦值；(3)在線段AF上是否存在點

22、 M使得EM/平面ADC若存在，t#指明點 M的位置；若不存在，請說明理【答案】詳見解析【解析】(1)證明：因為平面 ABDL平面BCD交線為BD, 又在 ABD中,AE，BD于點E, AE?平面ABQ 所以A已平面BCD.(2)由(1)中AE1平面BCM彳尋AE! EF由題意可知 EF± BD又AEL BD如圖，以E為坐標原點，分別以EF, EQ EA所在直線為x 軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系 E-xyz,不妨設AB= BD = DC= AD- 2,則 BE= ED- 1.2.3BF=,則 E(0,0,0), D(0,1,0), B(0 , - 1, 0) , A(0,0 ,

23、3® F 興 0, 0 , 6(也,2,0) urn maDCB勺法向量為 EA , EA = (0,0 , 設平面ADC勺法向量為n= (xy3x+ y= 0,- J3z= o.1,則 y = V3, x =因為平面DCB勺法向量為uuu所以 cosn, EA > =T,uurEA,吏5 .所以二面角uurDC=(g<3), y, z),所以n=(11,0)uuurAD =(0,1 , -yj3).由AE1平面 BCD可知平面，一 、一，15A- DC> B的余弦值為?uuur 設AMuur由于AF =uuur=入AF ,其中入e 0,1.興0,-亞，uuuu uuur.'3所以AM