1、6.3 窄窄帶高斯過程包絡與相位的分布帶高斯過程包絡與相位的分布趙藝群趙藝群314560086.3 窄窄帶高斯過程包絡與相位的分布帶高斯過程包絡與相位的分布窄帶高斯過程的包絡和相位窄帶高斯過程的包絡和相位6.3.1 包絡和相位的一維概率分布包絡和相位的一維概率分布已知窄帶過程的一般表達式為已知窄帶過程的一般表達式為：由上節由上節內容，已知內容，已知 ， 和和 具有如下關系：具有如下關系：ttAttAtttAtttAtttAtXsc00000sin)(cos)()(sinsin)()(coscos)()(cos)()()(tA)(t)(,)(tAtAsc)()(arctan)()(tan)()(

2、)()(122tAtAtAtAttAtAtAcscssc)(sin)()()(cos)()(ttAtAttAtAsc6.3.1 包絡和相位的一維概率分布包絡和相位的一維概率分布則則 和和 之間的函數關系為之間的函數關系為其中，其中， 為垂直分量為垂直分量 在固定時在固定時刻的采樣，也都是隨機變量。則反變換關系為：刻的采樣，也都是隨機變量。則反變換關系為：ttA,stAA,ctctststctstctstctAAAAgAAAAgAarctan),(),(2t221tstAA,ct)(,)(tAtAscttstttAAhAAAhAsin),(cos),(tt2tt1ct6.3.1 包絡和相位的一維

3、概率分布包絡和相位的一維概率分布 求解思路：求解思路：首先根據已知的窄帶高斯過程垂直分量首先根據已知的窄帶高斯過程垂直分量Ac(t),As(t)的統計特性，來研究的統計特性，來研究Act，Ast的統的統計特性，從而得到計特性，從而得到Act，Ast的聯合概率密的聯合概率密度度 。從從 出發，利用雅克比變換得到出發，利用雅克比變換得到 的聯合概率密度的聯合概率密度 。 最后對最后對 的聯合概率密度的聯合概率密度 積分，求邊緣概率密度積分，求邊緣概率密度 。 ),(stctAAaafsc),(stctAAaafscttA,),(ttAafttA,),(ttAaf)()(ttAfaf和6.3.1 包

4、絡和相位的一維概率分布包絡和相位的一維概率分布1.1.求求 都是高斯隨機變量。都是高斯隨機變量。 已知已知X(t)X(t)是一個平穩高斯過程，由于是一個平穩高斯過程，由于 是是 的線性變換，所以的線性變換，所以 也為平穩高斯過程。又也為平穩高斯過程。又 均為均為 的線性組合，故的線性組合，故 也是平穩高斯過程，所以也是平穩高斯過程，所以 均為高均為高斯變量。斯變量。 ),(stctAAaafscstAA ,ct)(tX)(tX)(tX)(,)(tAtAsc)()(tXtX和)(,)(tAtAscstcAA ,tttXttXtAttXttXtAsc0000cos)(sin)()(sin)(cos

5、)()(6.3.1 包絡和相位的一維概率分布包絡和相位的一維概率分布根據根據 的性質，的性質， ， 具有零均值具有零均值和方差和方差 。則有：。則有：根據根據 的性質，同一時刻的兩個狀態互的性質，同一時刻的兩個狀態互不相關，即不相關，即 互不相關。而對于高斯隨機變量來說，互不相關互不相關。而對于高斯隨機變量來說，互不相關與統計獨立等價，所以與統計獨立等價，所以 相互獨立。相互獨立。)(),(tAtAsc2)(),(tAtAsc)(),(tAtAscstAA ,ctstAA ,ct22220XAAstctscAEAE6.3.1 包絡和相位的一維概率分布包絡和相位的一維概率分布 根據以上性質，則其

6、概率密度為：根據以上性質，則其概率密度為：2. 求求2222(,)()()1exp22cscsA ActstActAstctstfaafafaaa),(ttAaf),(),(stctAAttAaafJafsc)sin,cos(ttttAAaafJsc6.3.1 包絡和相位的一維概率分布包絡和相位的一維概率分布其中雅克比行列式為：其中雅克比行列式為：則則 的聯合概率密度為：的聯合概率密度為：ttA,20 , 02exp2),(),(),(222ttttstctAAtstctAAttAaaaaafaaafJafscsc0cossinsincosttttttttsttsttcttctaaaaaaaa

7、aJ6.3.1 包絡和相位的一維概率分布包絡和相位的一維概率分布 3. 求求 包絡的一維概率密度包絡的一維概率密度瑞利分布瑞利分布 相位的一維概率分布相位的一維概率分布均勻分布均勻分布 從上述分析可以看出：從上述分析可以看出： 這說明，在同一時刻窄帶高斯過程的包絡和相位是互相獨這說明，在同一時刻窄帶高斯過程的包絡和相位是互相獨 立的隨機變量。立的隨機變量。)()(ttAfaf和2021),()(0ttttAtdaaff0)2exp(),()(22220ttttttAtAaaadafaf)()(),(ttAttAfafaf6.3.2 包絡和相位各自的二維概率分布包絡和相位各自的二維概率分布求包絡

8、和相位的二維概率密度的步驟如下：求包絡和相位的二維概率密度的步驟如下： 先求出四維概率密度先求出四維概率密度 ，然后轉換為然后轉換為最后再推導出最后再推導出 和和 。1.1.求求 假定窄帶隨機過程假定窄帶隨機過程X(t)X(t)的功率譜密度的功率譜密度 關于載波頻率關于載波頻率 偶對稱偶對稱),(2211scscAAaaaafsc),(2211aafA),(21aafA),(21f),(2211scscAAaaaafsc),(),(),(21212211ssAccAscscAAaafaafaaaafscsc)(GX06.3.2 包絡和相位各自的二維概率分布包絡和相位各自的二維概率分布u二維高斯

9、變量二維高斯變量(Ac1，Ac2)的協方差矩陣為：的協方差矩陣為： 平穩高斯過程平穩高斯過程 的的 和和u二維高斯變量（二維高斯變量（X，Y）的聯合概率密度形式：）的聯合概率密度形式：220022122111）（）（）（）（）（）（ccccccccccccccAAAAAAAAAAAAAARRCCCCCCCCC)(tAc)()(ccAARC2)0(cAC)(2)()(2)(exp21),(22222x2x2222XYYXYXYXYYXYYXXYCmymymxCmxCyxf6.3.2 包絡和相位各自的二維概率分布包絡和相位各自的二維概率分布二維高斯變量二維高斯變量（X，Y）的聯合概率密度形式的聯合

10、概率密度形式：二維高斯變量二維高斯變量 的聯合概率密度：的聯合概率密度：)(2)()(2)(exp21),(22222x2x2222XYYXYXYXYYXYYXXYCmymymxCmxCyxf)(2)(2exp)(21),(24222212122421ccccAcccAcAccARaaaRaRaaf),21ccAA（6.3.2 包絡和相位各自的二維概率分布包絡和相位各自的二維概率分布二維高斯變量二維高斯變量 的聯合概率密度：的聯合概率密度：二維高斯變量二維高斯變量 的聯合概率密度：的聯合概率密度：),21ccAA（),21ssAA（)(2)(2exp)(21),(24222212122421c

11、cccAcccAcAccARaaaRaRaaf)(2)(2exp)(21),(24222212122421ssssAsssAsAssARaaaRaRaaf6.3.2 包絡和相位各自的二維概率分布包絡和相位各自的二維概率分布 四維高斯變量四維高斯變量 的聯合概率密度為：的聯合概率密度為：),2221ssccAAAA（)(2)(2)(exp)()2(1),(),(),(24212122222221224221212211scsscscAssccAssccAssAccAscscAARaaaaRaaaaRaafaafaaaaf）（）（scAARR6.3.2 包絡和相位各自的二維概率分布包絡和相位各自的

12、二維概率分布2. 求求 和和 的關系為：的關系為： 雅克比行列式為：雅克比行列式為：),(2211aafA222242222232111121111111sin),(cos),(sin),(cos),(AAhAAAhAAAhAAAhAscsc0cossin00sincos0000cossin00sincos21222222111111aaAAAAJ),2121ssccAAAA（),2221AA（6.3.2 包絡和相位各自的二維概率分布包絡和相位各自的二維概率分布四維隨機變量四維隨機變量 的聯合概率密度為：的聯合概率密度為：),2221AA（其他；，, 02,00,)(2)cos()(2)(ex

13、p)()2(),(),(2121241221222122422122112211aaRaaRaaRaaaaaafJaafscsscAAAscscAAA6.3.2 包絡和相位各自的二維概率分布包絡和相位各自的二維概率分布3. 求求 和和 各自的二維聯合概率密度各自的二維聯合概率密度 和和 其中，其中， 第一類零階修正貝爾賽爾第一類零階修正貝爾賽爾(Bessel)(Bessel)函數函數 )(tA)(t),(21aafA),(21f 其他，, 00,)(2)(exp)()()(),(),(212422212242102421212020221121aaRaaRRaaIRaaddaafaafsscsAAAAA