/廣東省東莞市2024-2025學年高二下冊第一次月考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.從數字1，2，3，4，5，6中取兩個數相加，所得的和共有（）個不同的偶數A.2 B.4 C.6 D.8【正確答案】B【分析】根據所取兩個數的特征，利用分類和分步計數原理，即可求解.【詳解】六個數中，1，3，5是奇數，2，4，6是偶數，兩個數相加，所得和為偶數，則所取得兩個數都為偶數，或者兩個數都為奇數，則和為偶數共有個，其中，，綜上所知，所得的和共有4個不同的偶數.故選：B.2.設是等比數列的前n項和，且a3=，S3=，則（）A. B.6 C.或6 D.或【正確答案】C【分析】直接利用等比數列公式計算得到答案.【詳解】當時，此時，驗證，滿足；當時，，，解得，.綜上所述：或.故選：C.本題考查了等比數列相關知識，意在考查學生的計算能力和應用能力，漏解是容易發生的錯誤.3.已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于，則C的方程是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用焦點坐標和離心率求得，由此求得橢圓的方程.【詳解】依題意知，所求橢圓的焦點位于x軸上，且，因此橢圓的方程是.故選：C4.已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則A.2 B.4 C.6 D.8【正確答案】B【詳解】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應用．由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．5.設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=A.5 B.6 C.7 D.8【正確答案】D【分析】首先根據題中的條件，利用點斜式寫出直線的方程，涉及到直線與拋物線相交，聯立方程組，消元化簡，求得兩點，再利用所給的拋物線的方程，寫出其焦點坐標，之后應用向量坐標公式，求得，最后應用向量數量積坐標公式求得結果.【詳解】根據題意，過點（–2，0）且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯立，消元整理得：，解得，又，所以，從而可以求得，故選D.該題考查的是有關直線與拋物線相交求有關交點坐標所滿足的條件的問題，在求解的過程中，首先需要根據題意確定直線的方程，之后需要聯立方程組，消元化簡求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應用向量坐標公式求得向量的坐標，之后應用向量數量積坐標公式求得結果，也可以不求點M、N的坐標，應用韋達定理得到結果.6.已知是兩個非零向量，其夾角為，若，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由可得，再由兩邊平方可得，代入公式可得答案.【詳解】由，得，可得，即.由，可得，即整理得故選：B本題考查向量數量積的運算性質，求向量的夾角的余弦值，將向量模長平方轉化為數量積運算是解決本題的關鍵，屬于中檔題.7.曲線上的任意一點處切線的斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用導數的幾何意義結合二次函數的基本性質可求得切線的斜率的取值范圍.【詳解】因為，則，當且僅當時，等號成立，因此，曲線上的任意一點處切線的斜率的取值范圍是.故選：D.8.已知函數的定義域為，若在上為增函數，則稱為“一階比增函數”；若在上為增函數，則稱為“二階比增函數”．我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為，所有“二階比增函數”組成的集合記為．若函數，且，，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】因為且，即在是增函數，得出，而在不是增函數，利用導數得出，進而得到答案．【詳解】因為且，即在是增函數，所以，而在不是增函數，而，所以當是增函數時，有，當不是增函數時，有，綜上所述，可得的取值范圍是，故選C．本題主要考查了函數的單調性的應用，以及利用導數判定函數的單調性的應用，其中正確理解題意，合理轉化是解答本題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與論證能力，屬于中檔試題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的導函數的圖象如圖所示，下列結論中正確的是（）A.是函數的極小值點B.是函數的極小值點C.函數在區間上單調遞增D.函數在處切線的斜率小于零【正確答案】BC【分析】根據導函數圖象，求得函數單調性，結合極值點定義，即可容易判斷選擇.【詳解】由圖象得時，，時，，故在單調遞減，在單調遞增，故是函數的極小值點.對選項：顯然，故錯誤.故選：BC．本題考查由導數涵圖象研究函數性質，屬基礎題.10.已知函數，其中正確結論的是（）A.當時，有最大值；B.對于任意的，函數是上的增函數；C.對于任意的，函數一定存在最小值；D.對于任意的，都有.【正確答案】BC【分析】利用導數研究函數的性質即可.【詳解】，當時，，函數，都是單調遞增函數，易知函數在上單調遞增，無最大值，故A錯誤；對于任意的，函數，都是單調遞增函數，則函數是上的增函數，故B正確；當時，，，故，D錯誤；對于任意的，，易知在單調遞增，當時，，當時，，∴存在，當時，，函數單調遞減，，，函數單調遞增，∴，故C正確，故選：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，導數研究函數的最值，對數的運算法則及其應用等知識，屬于中檔題.11.已知數列的前項和為，數列的前項和為，則下列選項正確的是（）A.數列是等差數列B.數列是等比數列C.數列的通項公式為D.【正確答案】BCD【分析】借助，結合等比數列定義可得A、B；由等比數列性質可得C；裂項求和后可得D.【詳解】對A、B：由，則，故，又，故數列是以為首項，為公比的等比數列，故A錯誤、B正確；對C：，則，故C正確；對D：，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.學校二樓飯堂有牛扒飯，雞扒飯和鰻魚飯三種套餐，甲、乙、丙三位同學從中各選一種，共有________種不同的選法.【正確答案】27【分析】根據分步乘法計數原理即可求解.【詳解】每位同學都有三種選擇，所以共有種選法，故2713.設P是函數圖象上的動點，則P到直線的距離的最小值為________.【正確答案】【分析】當過點的切線平行于直線時距離最小,則先求導可得,令,可求得,代回求得點坐標,再利用點到直線距離公式求解即可【詳解】由題,,設,令,則,即,則此時點到直線的距離最小,為,故本題考查導數的幾何意義的應用,考查轉化思想14.已知函數導函數為，記，，，，若，則________.【正確答案】【分析】本題可先根據求導公式求出、、、等，找出其規律，再根據規律求出與，進而求出的值.【詳解】已知，可得，即.對求導，可得對求導，可得.對求導，可得.對求導，可得.通過以上計算可發現規律：，，，（）.因為，所以.因為，所以.可得.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最小值．【正確答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）應用導數的幾何意義求切線方程；（2）根據極值點求得，再應用導數研究函數的單調區間和最值即可.【小問1詳解】當時，，則，∴，則在點處的切線方程為；【小問2詳解】因為，由題意，解得，檢驗符合，故，列表如下：400增極大值減極小值增所以，函數的增區間為、，減區間為．由解析式易知，當時；當時，且，所以．綜上，的增區間為、，減區間為，.16.如圖，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中點．（1）求平面與平面ABC夾角的余弦值；（2）在直線CD上是否存在一點P，使得BP與平面所成角的正弦值為，若存在，求出CP的長；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）（2）存在，或．【分析】（1）根據題設構建空間直角坐標系，求出面ABC、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求面面角的余弦值；（2）設，得，結合面法向量，及線面角正弦值，應用空間向量夾角坐標表示列方程求參數，即可判斷存在性并求長度.【小問1詳解】因為平面ABC，平面ABC，則，，以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以平面ABC的一個法向量為，設平面的法向量為，而，所以，即，令，則，故，所以，又平面與平面ABC夾角為銳角，所以平面與平面ABC夾角的余弦值為；【小問2詳解】假設存在點P，設，，設BP與平面所成的角為，由（1）知，平面的法向量為，則，所以，解得或，在線段CD上存在一點P，使BP與面所成角的正弦值為，此時或．17.已知函數.（1）求函數的極值；（2）在坐標系中畫出函數的簡圖（要含有必要的說明和體現必要的圖象特征）；（3）討論方程的實數解的個數.【正確答案】（1）極小值為，無極大值（2）作圖見解析（3）答案見解析【分析】（1）求導后，根據正負可得單調區間；根據極值點定義可求得極值；（2）分析可知時，，由此可作出函數圖象；（3）將問題轉化為與的交點個數問題，結合（2）中圖象分析可得結果.小問1詳解】因為函數定義域為，，又恒成立，當時，；當時，；所以，的單調遞減區間為，單調遞增區間為，極小值為，無極大值.【小問2詳解】當時，，，則恒成立，圖象如下：【小問3詳解】方程的根的個數等價于函數與的交點個數；結合（2）中圖象可知：當時，與有且僅有一個交點；當時，與有兩個不同交點；當時，與有且僅有一個交點；當時，與無交點；綜上所述：當時，方程有唯一的實數根；當時，方程有兩個不同的實數根；當時，方程無實數根.18.已知函數．（1）求函數的單調區間；（2）設函數，若在上有兩個零點，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求導后，對a分類討論即可求解；（2）根據函數在上有兩個零點可轉化為在上有兩個不相等的實數根，令，利用導數研究函數大致變化趨勢求出a的范圍.【詳解】（1）函數的定義域為，所以．當時，由，得．則的減區間為；由，得．則的增區間為．當時，由，得．則的減區間為；由，得，或．則的增區間為和．當時，，則的增區間為．當時，由，得．則的減區間為；由，得，或．則的增區間為和．（2）．在上有兩個零點，即關于方程在上有兩個不相等的實數根．令，，則．令，，則，顯然在上恒成立，故在上單調遞增．因為，所以當時，有，即，所以單調遞減；當時，有，即，所以單調遞增．因，，，所以的取值范圍是．關鍵點點睛：問題轉化為方程關于方程在上有兩個不相等的實數根后，需要對的極值，單調性進行分析，繼續利用導數研究是解題的關鍵.19.法國著名數學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以橢圓的中心為圓心，為半徑的圓（為橢圓的長半軸長，為橢圓的短半軸長），這個圓被稱為蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓的面積為，短軸長為，作直線與橢圓交于、兩點，與橢圓的蒙日圓交于、兩點．（1）已知，直線斜率為，若直線、的斜率滿足，求直線的方程；（2）若橢圓的左右焦點分別為、，直線過坐標原點．求證：．【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出橢圓的方程，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，結合求出的值，驗證其滿足，由此可得出直線的方程；（2）設，其中，則，利用平方差公式可得出關于的表達式，利用兩點間的距離公式結合橢圓方程可得出的表達式，即可證得結論成立.【小問1詳解】由橢圓的蒙日圓的面積為，短軸長為，由題意可得，解得，所以，橢圓的方程為