1、空間向量坐標(biāo)法一解決立體幾何問題一.建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，能求點(diǎn)的坐標(biāo)；1、三條直線交于一點(diǎn)且兩兩垂直；方便求出各點(diǎn)的坐標(biāo)。2、如何求出點(diǎn)的坐標(biāo)：先求線段的長(zhǎng)度(特別是軸上線段)：由已知條件可全部求出來；若不能，則可先設(shè)出來。(1)軸上的點(diǎn)X軸-(a,0,0) , y 軸-(0,b,0 ) ,z 軸-(0,0,c )(2)三個(gè)坐標(biāo)面上的點(diǎn) 已知或求出過點(diǎn)作垂直軸的線段長(zhǎng)度，X0y-(a, b, 0) , y0Z(0 ,b , c) ,x0z(a, 0, c)(3)其它的點(diǎn)：已知或求出過點(diǎn)作垂直面的線段長(zhǎng)度；(4)中點(diǎn)坐標(biāo)：A(x 1, yi, Zi ), B(x 2, y2, Z2)-則線

2、段 AB 的中點(diǎn)：(上一x1,2一y1,-Z2Zi) 2223、動(dòng)點(diǎn)問題的處理 待定系數(shù)法法一：直接設(shè)出來，然后根據(jù)已知條件求出來(i)軸上:(x,0,0), (0,y,0)、(0,0,z) ; (2)面上：(x, y,0)、(x,0,z)、(0, y,Z); (3)其它：(a,b,c)。法二：A(x i, yi, Zi卜B(x 2, y2, Z2 ), M是AB上的動(dòng)點(diǎn)：設(shè) M(a,b,c),由 AB AM,用 表示點(diǎn)的坐 標(biāo)。4、有向線段的坐標(biāo)：A(x i,yi, zi ),B(x 2, y2, Z2)則 AB(x?玉*yiZ4)、重要公式或結(jié)論:設(shè)AB (Xi,yi,Zi), CD (X

3、2,y2,Z2)向量的數(shù)量積：AB?CD X1X2V1V2Z1Z2 ,向量的模：AB & y； zi2 ,向量的夾角:-Tb aZ2兩向量共線:兩向量垂直：aB/CD AB CDxix2,yiy2 ,zi、如圖，長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi, AB 2, AA i, AD=i , AE 垂直 BD 于 E , F 為 AiB1的中占 八、.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求各點(diǎn)的坐標(biāo) 及(2) M是FD上的點(diǎn)：若FM 2MD ,求M點(diǎn)的坐標(biāo)BiDiD若FD MD ,求M點(diǎn)的坐標(biāo)(用 表示)三、引入兩個(gè)重要的空間向量1 .直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量如圖，

4、在空間直角坐標(biāo)系中由Axi,yiZ與B x2,y2.z2確定的直線AB的方向向量是 AB（2 x,y y z）2 .平面的法向量如果表示向量M的有向線段所在的直線垂直于平面a ，稱這個(gè)向量垂直于平面a，記作n，a,這時(shí)向量n叫做平面a的法向量.2.1 若法向量n的模為i,則法向量叫做平面a的單位法向量.2.2 在空間直角坐標(biāo)系中，如何求平面法向量的坐標(biāo)呢？如圖，設(shè)a xi,yi.z、bx2,y2.z2是平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向鬢,用直線與平i面垂由的判定定理知，z，則n X民.反句話說,若 n a = 0 且 n b = 0,則 n，a.2.3 求平面的法向量:（一）直接法：已知線段中存在

5、（二）待建系數(shù)法步驟如下:?第一步（設(shè)）:設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n =（x,y,z）.在平網(wǎng)山找兩條相交直我，求其方向向量 AB （。丫1,4）,?第二步（列）:根據(jù)n aB = 0且n-bc = 0可列出方程組x1xx2xyy2yBC優(yōu)羋房）zz 0 z2z 0?第三步（解）:把z看作常數(shù)，用z表示x、y.?第四步（取）:取z為任意正數(shù)（如1 ,當(dāng)然取得越特殊越好）,從而得到平面法向量n的坐標(biāo)（x,y,z）例1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A 1B1C1D1中,0是面AC的中心, (1)求面0AD的法向量.(2)求面ABBH的法向量。練習(xí)：已知點(diǎn)A (1 , 0, 0), B (0, 1 ,

6、0), C (0, 0, 1),求平面ABC的一個(gè)單位法向 ,一，111、量。答案：n (不得宕案：四、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；(1)直線與直線的位置關(guān)系；線AB/ CD :存在實(shí)數(shù) 使ABCD線 AB CD :AB?CD 0(2)直線與平面的位置關(guān)系線AB面：AB n AB?n 0( n是面 的法向量)線AB 面：(1) AB?b1 0、AB?b2 0 (匕4是面 內(nèi)的相交直線)(2) AB/n AB n ( n是面的法向量)(3)平面與平面的位置關(guān)系/ : 小門2% 出 (n1,n2是平面 、 的法向量):5 M% 0 (“，也是平面、的法向量)簡(jiǎn)單應(yīng)用練習(xí)

7、：設(shè)直線n, m的方向向量分別為a b ,根據(jù)條件判斷n, m的位置關(guān)(1) a 2, 1, 2 b 6, 3, 6(2) a 1,2, 2,2,3,2(3) a 0,0,1 ,b 0,0, 3例2:在三棱柱ABC- ABC中，底面是正三角形， AA 底面ABC, AC AB , _ _ 1求證：BC ABBCA例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABCA了分別是AC,CC.的中點(diǎn)，求證:練習(xí)：在正方體 ABCD-A 1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且M、N分別為AB1、PQ的中點(diǎn)。求證：MN 平面ABCD. 1 1 1 t 1 例4:在正方體ABCD- ABC D中，E,F分別是CC ,

8、BD的中點(diǎn),、一. 一 ，一求證：面AD F，面BDE2、求解空間中的角度；a bcosa,bSab可得:90；1.異面直線AB與CD所成的角0，22.斜線AB與平面所成的角：記AB ? nsin cosiI ,(0, 1) ( n 是面 的法向JU,)AB ? n23. l的平面角0, : cosn1? n2（,也是、的法向量）（也可能是鈍角 體的題目判斷）n1 ? n2,因?yàn)槎娼莂-L- B的大小與法向量ni,n2夾角相等或互補(bǔ)，要結(jié)合具例5如圖:在正方體ABCD-A 1B1cl D1中,M是AB的中點(diǎn)，求對(duì)角線DB1與 CM所成角的余弦值.例6正三棱柱ABC-A 1B1cl的底面邊長(zhǎng)為

9、a,高斯a，求AC1與側(cè)面ABB 1Al所成的角練習(xí)：在長(zhǎng)方體 ABCD-A 1B1C1D1中，AB=BC=4 , CC1 =2 ,則直線BC1和平面DBBiDi所成角的余弦值為多少？例7在四棱錐 S-ABCD 中/DAB= /ABC=90 ,側(cè)棱SA，底面 AC, SA=AB=BC=1 , AD=2 ,求二面角 A-SD-C 的大/卜練習(xí)：如圖，在底面是直角梯形的四棱錐1AD S-ABCD 中，ZABC = 90 ,SAW ABCD , SA =AB = BC = 12 .求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值.例 8: （09.陜西理）在直三棱柱 ABC-A1B1c1 中，AB=1 ,

10、AC=AA 1= 73, ABC 60：, 證明：（1 ） AB，AC ; （2）求二面角A- AC-B的大小。3、求解空間中的距離：（1）點(diǎn)到平面的距離：1、直接求點(diǎn)到平面的垂線長(zhǎng)；2、等體積法（通常放在三棱錐中，求平面的高）*3、向量法-代點(diǎn)到面的距離公式，如下；設(shè)A為平面a外一點(diǎn)，n為平面a的法向量，過A作平面a的斜線AB及垂線AH.AB ? n點(diǎn)A到面的距離d : d n(n是面 的法向量、線段AB是經(jīng)過點(diǎn)A的任意斜線段)(2)線到面的距離、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解;(3)異面直線的距離：1、直接找公垂線求解;2、向量正投影法-,代異面直線的距離公式，如下;如圖，設(shè)兩條異面直線AC、BD的公垂線的萬向向量為n ,即n，A, n Xbd, 這時(shí)分別在直線AC、BD上各取一點(diǎn)，如A、B兩點(diǎn)，則向量AB在n上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線AC、BD的距離.n?AC 0（因?yàn)閚 1ac, n bd,所以.皆n?BD 0由此可得異面直線 AC、BD的公垂線的方向向量n例9在直三棱柱 ABC-A i