1、2016-2017學年安徽省合肥八中高二（下）期中數學試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1.在復平面內，復數z=-1+i對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限2,下列函數求導錯誤的是（）A.（仁），士B.（卜二/C.（lnx）D.（ex）'=e3 .函數f（x）的定義域為開區間（a,b）,導函數f'（x）在（a,b）內的圖象如圖所示，則函數f（x）在開區間（a,b）內有極小值（）A.2個B.1個C.3個D.4個4 .一個關于自然數n的命題，如果驗證當n=1時命題成立，并在假設當n=k（k>1且kCN）時命題成立的基礎上，證

2、明了當n=k+2時命題成立，那么綜合上述，對于（）A.一切正整數命題成立B,一切正奇數命題成立C.一切正偶數命題成立D.以上都不對5.若復數z=；，貝U|z|=（）A等B.27C.-D.-DZAWB.1C.-D.13337.設a,b,cC（一oo0）貝Ua+g,bJ,cJ（bcaA.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一個不大于-2D,至少有一個不小于-28,已知的和正都是無理數，試證：+加也是無理數.某同學運用演繹推理證明如下：依題設第和隹都是無理數，而無理數與無理數之和是無理數，所以&班必是無理數.這個同學證明是錯誤的，錯誤原因是()A.大前提錯誤B.小前提錯誤C推理形式錯誤D,

3、以上都可能9 .單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數.則f(4)=;f(n)=()A.373n2-3n+1B.383n2-3n+2C.363n2-3nD.353n2-3n-110 .學生的語文、數學成績均被評定為三個等級，依次為優秀“合格“不合格”.若學生甲的語文、數學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱學生甲比學生乙成績好”.如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生，則這一組學生最多有()A

4、.2人B.3人C.4人D.5人11.過點(1,1)且與曲線y=x3相切的切線方程為()ACC-31A.y=3x-2B.y=Tx+313iC.y=3x-2或丫=甲+WD.y=3x-2或y二x-百xzV1»>、,，一一.»一、t12 .已知函數f(x)=ex,g(x)=ln5行的圖象分別與直線y=m交于A,B兩點，則|AB|的最小值為()A.2B.2+ln2C.e2D.2e-In二.填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在每題的橫線上.)13 .計算定積分：Jee2xdx=.14 .已知復數z與(z+2)2-8i均是純虛數，則z=.15 .在三角形中，有

5、結論：任意兩邊之和大于第三邊”，類比到空間，在四面體中，有(用文字敘述)16 .已知函數f(x)的定義域為-1,5,部分對應值如表，x一104f(x)122f(x)的導函數y=f'(x)的圖象(該圖象關于(2,0)中心對稱)如圖所示.下列關于f(x)的命題：函數f(x)的極大值點為0與4;函數f(x)在0,2上是減函數；函數y=f(x)-a零點的個數可能為0、1、2、3、4個；如果當時x-1,t,f(x)的最大值是2,那么t的最大值為5；.函數f(x)的圖象在a=1是上凸的其中一定正確命題的序號是三.答題：(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17 .(1

6、0分)已知a>0,T>1,求證：/l.18 .(10分)請您設計一個帳篷.它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐(如圖所示).試問當帳篷的頂點O到底面中心Oi的距離為多少時，帳篷的體積最大?19 .(12分)先閱讀下列結論的證法，再解決后面的問題：已知aiDCR,a+a2=1,求證a12+a22>-.【證明】構造函數f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2貝Uf(x)=2x2-2(a1+a2)x+a2+a22=2x22x+a12+a22因為對一切xCR,恒有f(x)>0.所以=4-8(aC+a22)&0,從而得a12+a22>

7、-,(1)若a1，a2,，anCR,a1+a2+-+an=1,請寫出上述結論的推廣式；(2)參考上述解法，對你推廣的結論加以證明.20 .(12分)已知f(x)=ax-lnx(x(0,e),其中e是自然常數，aCR(I)當a=1時，求f(x)的單調區間和極值；(H)是否存在實數a,使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.21 .(12分)等比數列an的前n項和為&,已知對任意的nCN+,點(n,&)均在函數y=bx+r(b>0且bw1,b,r均為常數的圖象上.(I)求r的化bt+1bn+l式成立.；.22.(14分)設函數(H)當b=2時，記bn=

8、2(log2an+1)(nCN+),證明：對任意的nCN+,不等bnf(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x>0,其中f'(x)是f(x)的導函數.(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nCN+,求g1(x),g2(x),g3(x),并猜想gn(x)的表達式(不必證明)；(2)若f(x)>ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；(3)設nCN+,比較g(1)+g(2)+-+g(n)與n-f(n)的大小，并用數學歸納法加以證明.2016-2017學年安徽省合肥八中高二（下）期中數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每

9、小題5分，滿分60分）1.在復平面內，復數z=-1+i對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限【考點】A4:復數的代數表示法及其幾何意義.【分析】由于復數z=-1+i對應的點的坐標為（-1,1）,從而得出結論.【解答】解：由于復數z=-1+i對應的點的坐標為（-1,1）,在第二象限，故選B.【點評】本題主要考查復數的代數表示及其幾何意義，復數與復平面內對應點之問的關系，屬于基礎題.2,下列函數求導錯誤的是（）A.（五）/Bj=B.（-jj-）=zC.（lnx）D.（ex）'=ex【考點】63:導數的運算.【分析】根據導數的運算法則計算即可.【解答】解：對于D,（e

10、x）'=ex,故選：D【點評】本題考查了導數的運算法則，屬于基礎題.3.函數f（x）的定義域為開區間（a,b）,導函數f'（x）在（a,b）內的圖象如圖所示，則函數f（x）在開區間（a,b）內有極小值（）A.2個B.1個C.3個D.4個【考點】6D:利用導數研究函數的極值.【分析】如圖所示，由導函數f'(x)在(a,b)內的圖象和極值的定義可知:函數f(x)只有在點B處取得極小值.【解答】解：如圖所示，由導函數f'(x)在(a,b)內的圖象可知：函數f(x)只有在點B處取得極小值，在點B的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,且f&

11、#39;(xB)=0.函數f(x)在點B處取得極小值.故選：B.【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性極值，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力，屬于基礎題.4. 一個關于自然數n的命題，如果驗證當n=1時命題成立，并在假設當n=k(k>1且kCN)時命題成立的基礎上，證明了當n=k+2時命題成立，那么綜合上述，對于()A.一切正整數命題成立B,一切正奇數命題成立C.一切正偶數命題成立D,以上都不對【考點】RG數學歸納法.【分析】仔細體會數學歸納法的解題步驟，結合如果驗證當n=1時命題成立，并在假設當n=k(k>1且kN*)時命題成立的基礎上，證明了當n=k+2時命題成立，

12、即可推出正確選項.【解答】解：本題證的是對n=1,3,5,7,命題成立，即命題對一切正奇數成立.A、C、D不正確；故選B.【點評】本題是基礎題，考查數學歸納法證明問題的步驟，理解遞推關系，找出規律是判斷正誤的關鍵.5.若復數z=r,則|z|二()A尊B.27C.一D話52【考點】A8：復數求模.【分析】化簡復數z,求出它的模長即可.【解答】解:號=耦磊#1f故選：C【點評】本題考查了復數的化簡與模長的計算問題，是基礎題目.6,由拋物線y=x2x,直線x=-1及x軸圍成的圖形的面積為(【考點】6G:定積分在求面積中的應用.【分析】由圖形，利用定積分表示陰影部分的面積，然后計算即可.【解答】解：由

13、拋物線y=X2-x,直線x=-1及x軸圍成的圖形的面積為：J9(Jr)dx+J；G-x)&=(/J總/)|?+(/J9,b|；=14-=1；故選：B.【點評】本題考查了利用定積分求陰影部分的面積；關鍵是明確被積函數以及積分上限和下限.7.設a,b,cC（一oo,0）,貝（Ja+工，b+,c+（）bcaA.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一個不大于-2D,至少有一個不小于-2【考點】R9反證法與放縮法.【分析】假設a+工，b+1,c+1,由此利用反證法和均值不等式能求出結果.oca【解答】解：假設a4，b+工，cd都大于-2,oca即a。>2,bd>2,c+>-2

14、,bca將三式相加，得a+b+c+>-6,bca又因為a,b,c（-oo,0）,所以a+02,b+-02,c+0-2,abc三式相加，得a+yL+b+-+c+-<-6,oca所以a+b+c+>-6不成立.oca故選：C.【點評】本題考查不等式的性質和應用，解題時要注意均值不等式的合理運用.8,已知就和班都是無理數，試證：&+&也是無理數.某同學運用演繹推理證明如下：依題設加和隹都是無理數，而無理數與無理數之和是無理數，所以第+4年必是無理數.這個同學證明是錯誤的，錯誤原因是（）A.大前提錯誤B.小前提錯誤C推理形式錯誤D,以上都可能【考點】F7：進行簡單的演繹

15、推理.【分析】要分析一個演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結論及推理形式是否都正確，根據這幾個方面都正確，才能得到這個演繹推理正確.【解答】解：大前提：無理數與無理數之和是無理數，錯誤；小前提：的和灰都是無理數，正確；結論M+元也是無理數也正確，故只有大前提錯誤，故選：A.【點評】本題考查演繹推理的基本方法，考查實數的性質，這種問題不用進行運算，只要根據所學的知識，判斷這種說法是否正確即可，是一個基礎題.9 .單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律,0A.37以f(n)表示第n幅圖的

16、蜂巢總數.則f(4)=；f(n)=3n2-3n+1B.383n2-3n+2C.363n2-3nD.353n2-3n-1【考點】F1:歸納推理.【分析】根據圖象的規律可得相鄰兩項的差的規律可分析得出f(n)-f(n-1)=6(n-1),進而根據合并求和的方法求得f(n)的表達式.【解答】解：由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2X6,f(4)-f(3)=37-19=3x6,f(5)-f(4)=61-37=4X6,因此，當n2時，有f(n)-f(n-1)=6(n-1),所以f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n1)-f(n-2)+-+f(2)-f(1)+f(1)=6

17、(n-1)+(n-2)+-+2+1+1=3n2-3n+1.又f(1)=1=3x12-3X1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.當n=4時，f(4)=3X42-3X4+1=37.故選：A.【點評】本題主要考查了數列的問題、歸納推理.屬于中檔題.10 .學生的語文、數學成績均被評定為三個等級，依次為優秀“譽格“不合格”.若學生甲的語文、數學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱學生甲比學生乙成績好”.如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生，則這一組學生最多有A.2人B.3人C.4人D.5人【考點】F4:進行簡單的合情推理.【分

18、析】分別用ABC分別表示優秀、及格和不及格，根據題干中的內容推出文成績得A,B,C的學生各最多只有1個，繼而推得學生的人數.【解答】解：用ABC分別表示優秀、及格和不及格，顯然語文成績得A的學生最多只有1個，語文成績得B得也最多只有一個，得C最多只有一個，因此學生最多只有3人，顯然（AC）（BB）（CA）滿足條件，故學生最多有3個.故選：B.【點評】本題主要考查了合情推理，關鍵是找到語句中的關鍵詞，培養了推理論證的能力.11.過點（1,1）且與曲線y=x3相切的切線方程為（）31A.y=3x-2B.y=-7x+3I3IC.y=3x-2或丫=甲+WD.y=3x-2或y=x-百【考點】J7:圓的切

19、線方程.【分析】設切點為（x0,y0）,根據解析式求出導數、y0,由導數的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式方程求出切線方程，把點（1,1）代入切線方程通過因式分解求出x,代入切線方程化簡即可.【解答】解：（1）設切點為（xo,yo）,由題意得y=3x2,yo=x03,則切線的斜率k=3xo2,切線方程是：y-xo3=3xo2（x-xo）,;切線過點（1,1）,1xo3=3xo2（1xo）,化簡得，2xo3-3xo2+1=0,2(X03-1)-3(X02-1)=0,則(刈-1)(2刈2-xo-1)=0,解得X0=1或X0=一2,代入得：3xy-2=0或3x4y+1=0,切線方程為3x-y-2=0

20、或3x-4y+1=0.故選：C.【點評】本題考查了導數的幾何意義，即點P處的切線的斜率是該點出的導數值,以及切點在曲線上和切線上的應用，注意在某點處的切線和過某點的切線的區別，考查化簡、計算能力.12 .已知函數f(x)=ex,g(x)=嗚4的圖象分別與直線y=m交于A,B兩點,uu則|AB|的最小值為(A.2B.2+ln2C.e2_3D.2e-ln,【考點】6K:導數在最大值、最小值問題中的應用.【分析】由題意，A(帥m),B(24，m),其中2|AB|的最小值.0,表示|AB|,構造函數，確定函數的單調性，即可求出【解答】解：由題意，A(lnm,m),B(2m)e,其中211rJ>l

21、nm,且em>0,k-L12，|AB|=2"丁lnm,e令y=-lnx(x>0)，貝Uy'二2e2ex=1，+8)上單調遞增,0<x<卷時，y<0；x>2時，y>0,j,11y=L2-lnx(x>0)在(0,3)上單調遞減，在(節,.時，|AB|min=2+ln2.故選：B.【點評】本題考查最值問題，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.二.填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在每題的橫線上.)13 .計算定積分：Jee2xdx=-【考點】67:定積分.【分析】找出被積函數的原函數，計算

22、定積分.【解答】解：ele2xdx=(1e2a)|/(e2-e0)44;乙乙乙乙故答案為：.;【點評】本題考查了定積分的計算，關鍵是正確找出原函數，代入積分上限、下限計算.14 .已知復數z與(z+2)2-8i均是純虛數，則z=-2i.【考點】A7:復數代數形式的混合運算.【分析】兩個復數都是純虛數，可設z,化簡(z+2)2-8i,可求出z.【解答】解：設z=ai,aCR,(z+2)2-8i=(ai+2)2-8i=4+4ai-a2-8i=(4a2)+(4a8)i,.它是純虛數，.a=-2故答案為：-2i.【點評】本題考查復數的分類，及復數的運算，是基礎題.15. 在三角形中，有結論：任意兩邊之

23、和大于第三邊”，類比到空間，在四面體中，有任意三面面積之和大于第四面面積(用文字敘述)【考點】F3:類比推理.【分析】由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質.故我們可以根據已知中平面幾何中，三角形任兩邊之和大于第三邊”，推斷出生棱錐任意三個面的面積之和大于第四個面的面積【解答】解：由平面中：主角形任兩邊之和大于第三邊根據平面上關于線的性質類比為空間中關于面的性質，我們可以推斷在空間幾何中有：在四面體中，任意三面面積之和大于第四面面積”，故

24、答案為：任意三面面積之和大于第四面面積.【點評】本題主要考查類比推理及正四面體的幾何特征.類比推理的一般步驟是:(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想).16. 已知函數f(x)的定義域為-1,5,部分對應值如表,f(x)的導函數y=f'(x)的圖象(該圖象關于(2,0)中心對稱)如圖所示.下列關于f(x)的命題：函數f(x)的極大值點為0與4;函數f(x)在0,2上是減函數；函數y=f(x)-a零點的個數可能為0、1、2、3、4個；如果當時xC-1,t,f(x)的最大值是2,那么t的最大值為5;.函數f(x)的圖

25、象在a=1是上凸的其中一定正確命題的序號是.【考點】2K:命題的真假判斷與應用.【分析】，根據函數的單調性和特殊值，可判斷真假；，根據已知導函數的圖象，易分析出f(x)在0,2上的單調性，進而判斷的真假；，；,由導函數y=f'(x)的圖象可知函數f(x)的大致圖象如圖，函數y=f(x)與直線y=a的圖象有四個交點可能為0、1、2、4個，可判斷真假；，根據已知導函數的圖象，及表中幾個點的坐標，易分析出0&t&5,均能保證xC-1,t時，f(x)的最大值是2,進而判斷的真假；，根據函數f(x)的大致圖象，判斷【解答】解：對于，:由導函數的圖象知，函數f(x)的最大值點為0與

26、4,故正確；對于，由已知中y=f'(x)的圖象可得在0,2上f'(x)<0,即f(x)在0,2是減函數，即正確；對于，由導函數y=f'(x)的圖象可知，函數在-1,0,2,4上為增函數，則0,2,4,5上為減函數，且函數在x=0和x=4取得極大值f(0)=2,f(4)二2,在x=2取得極小值f(2)=0,則函數f(x)的大致圖象如圖：則函數y二f(x)與直線y二a的圖象有四個交點可能為0、1、2、4個，即錯誤對于，由已知中y=f'(x)的圖象，及表中數據可得當x=0或x=4時，函數取最大值2,若xC-1,t時，f(x)的最大值是2,那么0&t&am

27、p;5,故t的最大值為5,即正確；對于，根據函數f(x)的大致圖象，判斷錯誤；故答案為：.0X【點評】本題考查的知識點是命題的真假判斷，利用導數研究函數的單調性，其中根據已知，分析出函數的大致形狀，利用圖象分析函數的性質是解答本題的關鍵.三.答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. （10分）（2015春？邢臺期末）已知a>0,工>1,求證：Vl+>=.ba寸l-b【考點】R6:不等式白證明；R8:綜合法與分析法（選修）.【分析】證法一：利用分析法直接按照分析法的證題步驟證明即可.證法二：直接利用綜合法，通過已知條件證明推證結果即可.【

28、解答】證明：證法一：由已知-工>1及a>0,可知b>0,ba要證可證JT7?JT三>1,即證1+abab>1,這只需證a-b-ab>0,即立言>，即上一工>1,abba而這正是已知條件，以上各步均可逆推，所以原不等式得證.證法二：-工>1及a>0,可知1>b>0,ba；工>1ba.abab>0,1+abab>1,（1+a）（1-b）>1.由a>0,1b>0,得Vr?VT>1,即:.【點評】本題考查不等式的證明，分析法與綜合法的應用，注意基本不等式的應用.18. （10分）（2006

29、?工蘇）請您設計一個帳篷.它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）.試問當帳篷的頂點O到底面中心。1的距離為多少時，帳篷的體積最大？【考點】L:組合幾何體的面積、體積問題；6E:利用導數求閉區間上函數的最值.【分析】設出頂點O到底面中心01的距離，再求底面邊長和底面面積，求出體積表達式，利用導數求出高為何時體積取得最大值.【解答】解：設OOi為xm,(1<x<4).則由題設可得正六棱錐底面邊長為：而記H(m).(求解過程為：a/32-(x-D2=V8+2k-k2)于是底面正六邊形的面積為(單位：m2)432n)2=&.手.“8+2x7

30、2)g+2xr2)帳篷的體積為(單位：m3)¥(x)=V棱柱+¥棱椎二£底面(h棱柱+h棱里)可得：.，：-一:.：'：'.一,求導數，得.：.V令V'(x)=0解彳#x=-2(不合題意，舍去)，x=2.當1<x<2時，V'(x)>0,V(x)為增函數；當2<x<4時，V'(x)<0,V(x)為減函數.所以當x=2時，V(x)最大.答當OOi為2m時，帳篷的體積最大.7【點評】本小題主要考查利用導數研究函數的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力.19. (12分)(

31、2016秋？新余期末)先閱讀下列結論的證法，再解決后面的問題：已知a1,在CR,a1+a2=1,求證aT+az21/.【證明】構造函數f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2貝Uf(x)=2x2-2(a1+a2)x+a12+a22=2x22x+a12+a22因為對一切xCR,恒有f(x)>0.所以=4-8(ai2+a22)<0,從而得ai2+a22上，(1)若ai,a2,，anCR,ai+a2+-+an=1,請寫出上述結論的推廣式；(2)參考上述解法，對你推廣的結論加以證明.【考點】F4:進行簡單的合情推理.【分析】(1)由已知中已知ai,a26R,ai+a2=1,求證ai2+a2

32、2卷,及整個式子的證明過程，我們根據歸納推理可以得到一個一般性的公式，若ai,a2,，anCR,ai+a2+,+an=1,則ai2+a22+,+an2>.n(2)但此公式是由歸納推理得到的，其正確性還沒有得到驗證，觀察已知中的證明過程，我們可以類比對此公式進行證明.【解答】解：(1)若ai,a2,，anCR,ai+a2+-+an=1,求證：ai2+a22+-+an2>工,n(2)證明：構造函數2/、2/、2f(x)=(x-ai)+(x-a2)+,+(x-an)=nx2-2(a1+a2+an)x+a12+a22+,-+an2=nx2_2x+ai2+a22+an2因為對一切xCR,都有

33、f(x)>0,所以=4-4n(a12+a22+-+an2)<0222一i從而證得：ai+a2+-+an>n【點評】歸納推理的一般步驟是：(1)通過觀察個別情況發現某些相同性質；(2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題(猜想).(3)對歸納得到的一般性結論進行證明.20. (12分)(2013?山東模擬)已知f(x)=ax-lnx(x(0,e),其中e是自然常數，aCR(I)當a=1時，求f(x)的單調區間和極值；(H)是否存在實數a,使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.【考點】6E:利用導數求閉區間上函數的最值；6B:利用導數研究函數的

34、單調性；6D:利用導數研究函數的極值.【分析】(I)把a=1代入原函數，求出其導函數，即可求f(x)的單調性、極值；(II)先求出其導函數，通過分類討論分別求出導數為0的根，以及單調性和極值，再與f(x)的最小值是3相結合，即可得出結論.【解答】解：(I)當a=1時，f(x)=x-lnx,則上二(1分)XX-6)二1一二二工。且x(0,e得xC1,e)單調遞增；(3分)XX二口且x(0,e得xC(0,1)單調遞減；XX當x=1時取到極小值1;(6分)(II)1缶)二口叢(7分)x當a00時，f'(x)<0,f(x)在x(0,e)上單調遞減f(e)<0,與題意不符；(9分)當

35、a>0時，f'(x)=0的根為-a當時，f&)在M9,當上單調遞激，在山，8上單調遞增aaa小)小二七)二卜尾二3,解得a=e2(12分)當時，f'(x)<0,f(x)在xC(0,e)上單調遞減f(e)<0,與題意a不符；(14分)綜上所述a=e2(15分)【點評】本題主要考查導數的應用.導數一般應用在求切線的斜率極其方程，求函數的單調區間以及極值，和求在某個區間上的最值問題上.導數的應用是高考考查的重點，須重視.21. (12分)(2009?山東)等比數列an的前n項和為Sn,已知對任意的nN+,點(n,Sn)均在函數y=bx+r(b>0且bw

36、1,b,r均為常數的圖象上.(I)求r的化(H)當b=2時，記bn=2(log2an+1)(nCN+),證明：對任意的nCN+,不等式成立b+l辦+1bn+lbn>“口+1【考點】RG數學歸納法.【分析】本題考查的數學歸納法及數列的性質.(1)由已知中因為對任意的nCN+,點(n,0),均在函數y=bx+r(b>0且b*1,b,r均為常數的圖象上.根據數列中an與Sn的關系，我們易得到一個關于r的方程，再由數列an為等比數列，即可得到r的值.(2)將b=2代入,我們可以得到數列an的通項公式,再由bn=2(log2an+1)(nCn),我們可給數列bn的通項公式，進而可將不等式b+

37、lb2+1bn+lbb2而進行簡化，然后利用數學歸納法對其進行證明.【解答】解：(1)因為對任意的nCN+,點(n,&),均在函數y=bx+r(b>0且bw1,b,r均為常數的圖象上.所以得Sn=bn+r,當n=1時，a1=S=b+r,當n2時，an=$S1=bn+r(bn1+r)=bn-bn1=(b-1)又因為斗為等比數列，所以(2)當b=2時,an=(b-1)r=-1,公比為b,an=(b-1)bn1=2n1,bn=2(log2an+1)=2Kn1b,.n1b(log22n1+1)=2nmtIbn+12n+l則工TF，所以H+lb2+lbn+l32n+lbb2八246卜面用數學歸納法證明不等式bt+lb2+1bn+13572n+l2n>4門+1成當n=1時，左邊=右邊二%行,因為I,所以不等式成立.假設當n=k時不等式成立，h+1b2+lbn+l357即飛-右”而國.百則當n=k+1時，上.一瓦+1b2+lbk+lbk+l+l3572k+l2k+3-b2bk近+12462k2k+2>n-r斗+3.(2k+3)L4(k+l)g+4(k+l)+l,L,1>/777T-優12k+2-W4(k+1)VWljY、D%(k+l)>小+1)+1所以當n=k+1時，不等式也成立.由、可得不等式包成立.【點評】數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性