1、激光束傳輸與變換第七講本講內容2.4 Gauss光束的衍射解釋2.5 線性偏振的BesselGauss光束2.6 Gauss光束衍射損耗2.4 Gauss光束的衍射解釋 通過對一個振幅為Gauss分布的平面波的衍射處理,在衍射孔徑趨于無窮大的極限情況下,得到Gauss球面波的傳輸形式.對各光束參數的物理意義給出更深刻的解釋.2.4 Gauss光束的衍射解釋基模Gauss光束有關空間部分的表達式為)(21exp exp1)(22222yxRzkiyxAru(2.4.1) 2.4 Gauss光束的衍射解釋 如果設想有一個衍射孔位于Gauss光束的束腰處(z=0)，那么在衍射孔上的場屬于平面Gaus

2、s分布 式中)(2exp1 exp1)(20200020202000yxqkiAyxAru/200iq (2.4.2) (2.4.3) 2.4 Gauss光束的衍射解釋 下面求衍射場中任意一點的復振幅u(x,y,z)。根據Fresnel衍射積分(2.1.15)式，衍射場中任一點的復振幅為002020202000)()(2exp )(2exp)exp(1),(dydxyyxxzkiyxqkizikzAizyxu(2.4.4) 2.4 Gauss光束的衍射解釋 把指數因子中含有x和x0的項歸并成 式中 對于含有y和y0的項也用同樣方法處理2002020020)(1111)(1bxxzqxqzxqx

3、xz)/(00zqqb2002020020)(1111)(1byyzqyqzyqyyz(2.4.5) (2.4.6) (2.4.7) 2.4 Gauss光束的衍射解釋 把(2.4.5)式和(2.4.7)式代回衍射積分式(2.4.4)，并利用參量關系2/122001)(zz20)(zarctgz2201)(zzzR)()(1)(1120zizRzqzq(2.4.11) (2.4.12) (2.4.13) 2.4 Gauss光束的衍射解釋 可得到一個Gauss球面波形式的傳輸模 可以看到，原來求解微分方程時的積分常數，在這里變成了衍射積分參數。)()(21exp )(exp)(1),(22222z

4、yxRzkizyxzAzyxu(2.4.14) 2.4 Gauss光束的衍射解釋 一個Gauss平面波(在束腰處),在自由空間傳播過程中將形成一個Gauss球面波,并在以后的傳播中,一直保持這種球面波的形式. 事實上,可選擇任意一個截面為入射面作為計算的起點,同樣可得到(2.4.14)式所示的Gauss形式的傳輸模.2.5 線性偏振的BesselGauss光束 電場是線性偏振的 場分布函數是零階Bessel與Gauss函數的乘積-圓對稱的本節內容1.線性偏振的BesselGauss光束2.傳輸特性1.線性偏振的BesselGauss光束 若光束的傳輸方向為z軸方向,假設z=0處線性偏振Bess

5、elGauss光束的電場強度為 J0為零階Bessel函數,0為Gauss光束的腰斑半徑,A為常數.2020exp) ()0,(rrAJzrE1.線性偏振的BesselGauss光束 在z0的任意一點(r,z)處的場強,可由Fresnel衍射積分得到 式中k為波數,(x,y)為z=0處的橫坐標,(x,y)為z=z處的橫坐標.) () (exp )0 , ( )exp(),(22dydxyyxxziyxEzikzizyxE1.線性偏振的BesselGauss光束在極坐標下siny , cossin , cosRRxryrx1.線性偏振的BesselGauss光束上式變為 )cos(exp2exp

6、 )0 ,(2exp),(22002ddRRzikRrzikRREzkriikzzizrE 1.線性偏振的BesselGauss光束通過計算得到222220020)(2)(1exp/1 )(2exp)(),(kzrzRikzzizrJzizkkizAzrE1.線性偏振的BesselGauss光束結果表明:1.在自由空間中,線性偏振的BesselGauss光束在傳輸時仍然保持為線性偏振的BesselGauss光束.2.光束腰斑半徑0與共焦參數z0的定義,光斑半徑(z)、等相位面曲率半徑R(z)以及附加相移(z)的變化規律都與純Gauss光束相同。1.線性偏振的BesselGauss光束與純Gau

7、ss光束的不同之處1.由于零階Bessel函數的宗變量隨z變化，造成零階Bessel函數的場分布也隨傳輸距離z變化。2.由于除Gauss函數外還有Bessel函數分布(0)，使得光束的光斑以及等相位面還增加了附加的變化。2.傳輸特性 線性偏振的BesselGauss光束可以看成是腰斑大小及位置重合的許多Gauss光束分量的疊加。 這些Gauss光束分量各自的傳輸軸線均勻分布在以z軸為軸線的半角為的圓錐之中，且 ksin2.傳輸特性隨傳輸距離增加1)各Gauss光束分量的傳輸軸線相距越遠；2)各個Gauss分量的光斑大小不斷增大。單個Gauss光束的發散角0G2.傳輸特性BesselGauss光

8、束的傳輸特性由比值決定。kGarcsin02.傳輸特性=10-3rad0=1mm=632.8mm/G=4.962.傳輸特性 當/Gz0時, (z)0z/z0、R(z)z、(z) /2、 上式僅對z,r較大時才正確.)()/ (exp2exp2),(2220zkzrzrzikrziAzrE2.6 Gauss光束的衍射損耗 將Gauss光束具體的函數形式代入FresnelKirchhoff衍射積分公式,分別在Fraunhofer和Fresnel近似條件下,根據衍射孔徑的幾何形狀求出相應的結果. Gauss光束通過單縫和圓孔的Fraunhofer衍射與平面波的衍射相似. Gauss光束通過圓孔的Fr

9、esnel衍射與球面波的衍射相似. 其差別僅是零點和極值點的位置有所移動.本節內容1. 基模Gauss光束的衍射損耗2. 高階模Hermit-Gauss光束的衍射損耗3. 高階模LaguerreGauss光束的衍射損耗1. 基模Gauss光束的衍射損耗根據前面的討論,基模Gauss光束的光強為)(2exp)(22222020000zyxzAI(2.5.1) 1. 基模Gauss光束的衍射損耗 當通過一個任意形狀的通光孔時,功率透過率為T00 式中面積積分限由孔徑的幾何尺寸確定.dxdyzyxdxdyzyxTS)(2exp)(2exp22222200(2.5.2) 1. 基模Gauss光束的衍射

10、損耗 定義該孔徑的衍射損耗為L00 = 1 T00 ( 2.5.3)1)邊長2a、2b的矩形孔2)半長軸為a、b的橢圓形孔1. 基模Gauss光束的衍射損耗1)邊長2a、2b的矩形孔式中bvaudvedueL2222000041yvxu2 , 21. 基模Gauss光束的衍射損耗1. 基模Gauss光束的衍射損耗1. 基模Gauss光束的衍射損耗2)半長軸為a、b的橢圓形孔設x=rcos, y=rsin 則式中20)(200221deLr2122sincos)(bar1. 基模Gauss光束的衍射損耗對于半徑為a的圓孔衍射損耗L只與相對衍射孔徑a/有關。 當相對孔徑a/1時，功率透過率T約為8

11、6；當a/1.5時，T約為99。 孔徑比a/1.5時的光學元件的孔徑為有效通光孔徑。22/200aeL1. 基模Gauss光束的衍射損耗02020406080100L00a/1. 基模Gauss光束的衍射損耗小結 對于基模，在相同的相對通光面積情況下，方孔或圓孔的衍射損耗一般比其它比例的矩孔或橢孔要小。 對ab的孔，在一個方向上比a=b的孔限制大。 對于相對孔徑相同的矩孔和橢孔，矩孔的損耗小于橢孔。2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗HermitGauss光束的光強公式為2)22(2 22222202yxeyHxHAInmmnmn2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗 當

12、通過一個任意形狀的通光孔徑,功率透過率Tmn 式中面積積分限由孔徑的幾何尺寸確定.dxdyeyHxHdxdyeyHxHTyxyxnmSnmmn2)22(22)22(2222222222. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗 m、n階HermitGauss光束的衍射損耗Lmn為 Lmn = 1 Tmn1) 邊長2a、2b的矩形孔2) 半長軸為a、b的橢圓形孔2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗1) 邊長2a、2b的矩形孔 式中abvuabvuabvudvedueuuLdvedueuLdvedueuL2222222222220024200021100210) 144(11161

13、81yvxu2 , 22. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗2) 半長軸為a、b的橢圓形孔設x=rcos, y=rsin 則式中202)(222411202)(22210sin1)(2)(2111cos1)(2111derrLderLrr 2122sincos)(bar2. 高階模HermitGaus

14、s光束的衍射損耗對于圓孔情況222244022022224411222201102exp132exp1222exp12aaaLLaaaLaaLL2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗01201圓孔時衍射損耗的變化L20=L02L11L01=L10L00Lmna/2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗小結1.在相同條件下,基模的損耗最小.m、l越大,損耗越大.(當a/=1時, L00=0.54%, L10=3.2%,L11=5.8%,L20=13.8%)2.當m、n一定時，矩孔和橢孔的衍射損耗只與相對孔徑a/、b/有關。3.對于光強分布在x、y方向對稱的模(TEM11)，其損

15、耗規律與基模相似。2. 高階模HermitGauss光束的衍射損耗4.對于光強分布在x、y方向不對稱的模(TEM10)，在相同的相對通光面積情況下，矩孔或橢孔比方孔的損耗小。5.要減小高階模的損耗，需在模階數較大的方向用更寬的孔(TEM20)。6.不同的光強分布，選用不同的光闌孔徑，放置在適當的位置，就能改變光模橫向分布。3. 高階模LaguerreGauss光束的衍射損耗LaguerreGauss光束的光強公式為llerLrAIrlpllplp222222222202sincos22223. 高階模LaguerreGauss光束的衍射損耗 通過一任意形狀通光孔徑光闌時的功率透過率為 020222222222222sincossincos222222222222rdrdlleLrdrdlleLTrrlprSrrlprlp3. 高階模LaguerreGauss光束的