1、第三章第三章 光學成像系統的頻光學成像系統的頻率特性率特性主講人：徐世祥主講人：徐世祥本章主要內容：l光波通過透鏡的位相分布；光波通過透鏡的位相分布；l透鏡的傅立葉變換特性；透鏡的傅立葉變換特性；l透鏡孔徑對傅立葉變換的影響；透鏡孔徑對傅立葉變換的影響；l衍射受限系統的點擴散函數、成像規律；衍射受限系統的點擴散函數、成像規律；l相干傳遞函數、光學傳遞函數；相干傳遞函數、光學傳遞函數；l有像差系統的傳遞函數；有像差系統的傳遞函數；l相干與非相干成像系統的比較。相干與非相干成像系統的比較。本章的教學目的與要求：l掌握光波通過透鏡的位相分布；掌握光波通過透鏡的位相分布；l掌握透鏡傅立葉變換特性及孔徑

2、對傅立葉變換的影響；掌握透鏡傅立葉變換特性及孔徑對傅立葉變換的影響；l掌握衍射受限系統的點擴散函數、物象規律；掌握衍射受限系統的點擴散函數、物象規律；l掌握傳遞函數的物理意義及傳遞函數的計算。掌握傳遞函數的物理意義及傳遞函數的計算。3.0 概述概述l 透鏡透鏡能使人們在能使人們在較近的距離較近的距離觀察到物體的遠場衍觀察到物體的遠場衍射圖樣。射圖樣。l 透鏡透鏡能夠改變光波的空間位相分布，能夠改變光波的空間位相分布，即透鏡具有即透鏡具有對透射光波進行空間位相調制的能力。對透射光波進行空間位相調制的能力。l 透鏡透鏡可以用來實現物體的傅立葉變換。可以用來實現物體的傅立葉變換。透鏡的這透鏡的這一性

3、質是光學模擬計算方法的基礎，也是相干光學一性質是光學模擬計算方法的基礎，也是相干光學信息處理方法的基礎。信息處理方法的基礎。光學成像系統最基本的元件：透鏡光學成像系統最基本的元件：透鏡一、薄透鏡的位相調制作用l為研究透鏡對入射波前的作用，引入透鏡的為研究透鏡對入射波前的作用，引入透鏡的復振幅透過率復振幅透過率：21( , )( , )( , )LUx yP x yU x y3.1 薄透鏡的作用薄透鏡的作用透鏡能將一點成像到另一點處。透鏡能將一點成像到另一點處。lP2平面上復振幅可表示為：平面上復振幅可表示為：2222()2222( , )kixyikddAUx yeedlo點發出的球面波到達點

4、發出的球面波到達P1平面上某點平面上某點(x, y)時，其復振幅可表時，其復振幅可表示為示為(A為緊靠透鏡表面的光場振幅為緊靠透鏡表面的光場振幅)：2211()2111( , )kixyikddAUx yeed結合成像結合成像關系，假關系，假如如U1(x,y)經透鏡變經透鏡變換后成為換后成為 U2(x,y)l透鏡的復振幅透過率可表示為：透鏡的復振幅透過率可表示為：221121212()()221112( , )( , )( , )kddixyik ddLUx yA dP x yeeUx yAdl略去與略去與x, y無關的常數因子，透鏡的復振幅透過率可得：無關的常數因子，透鏡的復振幅透過率可得：

5、l忽略透鏡表面的反射損耗，顯然忽略透鏡表面的反射損耗，顯然22()2( , )kixyfLP x ye與x, y相關的空間位相調制作用21121A dAdl按照成像公式有按照成像公式有（f 為焦距）：為焦距）：12111ddfl考慮到透鏡孔徑的有限大小對光場分布的影響，考慮到透鏡孔徑的有限大小對光場分布的影響，透鏡透鏡透過率透過率更一般的表示式可寫為：更一般的表示式可寫為：22()2( , )( , )kixyfLPx yP x y el孔徑函數孔徑函數22002201( , )0 xyrP x yrxyr為透鏡孔徑孔徑函數（振幅）相位函數l考慮光波由考慮光波由P1平面到平面到P2平面：物平面

6、：物函數對入射光波的菲涅函數對入射光波的菲涅耳衍射；耳衍射；P2面上的光波場分布為：面上的光波場分布為：二 透鏡的傅立葉變換性質221()211( ,)( ,)*kixydlfx yf x yedyP4yP1O1O2xxP2P3f(x,y)fl(x,y) fl(x,y)Lg(x,y)l單色平面光波垂直照明單色平面光波垂直照明l光波由光波由P2平面平面到到P3平面：平面： P2平面平面的光波場乘以透鏡的透的光波場乘以透鏡的透過率函數過率函數； P3面面上的光波場分布為：上的光波場分布為：2222221()2()()221( ,)( ,)( ,)1( ,) *( ,)kixyfllkkixyixy

7、dffx yfx y P x y efx yeP x y edl光波光波由由P3平面到平面到P4平面：平面：P3面到面到P4面的面的菲涅耳衍射結果菲涅耳衍射結果； P4面面上的光波場分布為：上的光波場分布為：22222212()()()2222121( , )( , )*( , )*kkkixyixyixyddfg x yf x yeP x y eed dl積分形式為積分形式為22122222()()2212()()()221(,)(,)(,)kidkkixyidfgxyfePd deedddd l若觀測若觀測屏處于透鏡后焦面，且不考慮透鏡孔徑的影響，屏處于透鏡后焦面，且不考慮透鏡孔徑的影響，

8、有有d2=f, P(x, y)=1, 于是整理得于是整理得221(1)()2/1( ,)(,)xydkixyfffxfxyfyfg x yeFffif傅立葉譜位相彎曲l物面不同位置討論物面不同位置討論（1 1）物體位于透鏡前焦面時，透鏡后焦面上得光場分布為：）物體位于透鏡前焦面時，透鏡后焦面上得光場分布為：物體位于透鏡前焦面時，透鏡后焦面上將得到物函數的準確物體位于透鏡前焦面時，透鏡后焦面上將得到物函數的準確的傅立葉變換。的傅立葉變換。1( , )(,)xyg x yF ffif（2 2）物平面緊靠透鏡前表面時透鏡后焦面上的光場分布為：）物平面緊靠透鏡前表面時透鏡后焦面上的光場分布為：后焦面上

9、的光場分布仍然是物函數的傅立葉頻譜，但多了后焦面上的光場分布仍然是物函數的傅立葉頻譜，但多了一個位相因子。一個位相因子。22122(1)()()211( , )(,)(,)xydkixyifffffxyxyg x yeF ffeF ffifif（3）物體位于透鏡后時，通過物的光波是會聚波，物面上）物體位于透鏡后時，通過物的光波是會聚波，物面上光強和它離后焦面的距離光強和它離后焦面的距離d有關。物面上光場可表示為有關。物面上光場可表示為22()2( , )kixydifAgx yed2221( , )( , )(,)xyI x yg x yF fffl物后表面上的光場分布：物后表面上的光場分布：

10、22()2( , )( , ),kixyffdiddfAg x yef x y Pxyd物面被照明部分物面被照明部分的孔徑函數的孔徑函數物物(的透過的透過)函數函數仍可在后焦面上得仍可在后焦面上得到傅立葉功率譜。到傅立葉功率譜。l其光強分布為其光強分布為l從物后表面到透鏡后焦面可視從物后表面到透鏡后焦面可視為菲涅爾衍射過程，則：為菲涅爾衍射過程，則：2222-()()22( , )( , ),kkixyixyffddddfAg x yef x y Pxyed如果物面全部被照明，且令如果物面全部被照明，且令P(fx/d, fy/d )=1, 透鏡后焦面上光場分布為：透鏡后焦面上光場分布為：222

11、2222222-()()222-()()22()2/2/( ,)( ,)( , )(,)xykkixyixyddkkiixyddkixydfxdxyfydfAfAg x yef x yeddfeed dfAeF ffd 物放在透鏡后，在后焦面上仍可以得物的傅立葉譜，僅多一物放在透鏡后，在后焦面上仍可以得物的傅立葉譜，僅多一位相因子。強度分布仍然是物的功率譜。位相因子。強度分布仍然是物的功率譜。2222( , )( , )(,) ,xyxyfAxyI x yg x yF ffffddd而且而且222222222221,20,dDxyDxyfffddxyDffxyPffddddelse小結：小結：

12、1）無論物放在透鏡前還是后，在透鏡的后焦面上都可以得到）無論物放在透鏡前還是后，在透鏡的后焦面上都可以得到物的傅立葉變換功率譜。物的傅立葉變換功率譜。2）物緊貼透鏡前或后，在透鏡的后焦面上得到相同的場分布。）物緊貼透鏡前或后，在透鏡的后焦面上得到相同的場分布。3）值得注意的是，當物放在透鏡后時，由于）值得注意的是，當物放在透鏡后時，由于 ， 所以，通過調節所以，通過調節d 值，可以實現傅立葉譜空間縮放。值，可以實現傅立葉譜空間縮放。,xyxyffdd物體被點光源照明時，譜面就不在透鏡的后焦面上，而物體被點光源照明時，譜面就不在透鏡的后焦面上，而是在點光源經物鏡后的像點所在的橫截面上。是在點光源

13、經物鏡后的像點所在的橫截面上。功率頻譜功率頻譜面在哪里面在哪里?l透鏡實現傅立葉變換的兩種途徑：透鏡實現傅立葉變換的兩種途徑： 1 采用平行光照明，在透鏡的后焦面上觀察物的頻譜；采用平行光照明，在透鏡的后焦面上觀察物的頻譜； 2 采用點光源照明衍射屏，在點光源的像平面上得到衍射采用點光源照明衍射屏，在點光源的像平面上得到衍射屏函數的傅立葉頻譜（無論衍射屏位于透鏡前還是透鏡屏函數的傅立葉頻譜（無論衍射屏位于透鏡前還是透鏡后），且頻譜的零頻位置就在點光源的像點處。后），且頻譜的零頻位置就在點光源的像點處。dd三 透鏡孔徑的影響透鏡有限孔徑：透鏡有限孔徑：1）影響出射光通量；）影響出射光通量；2）影

14、響空間頻譜，）影響空間頻譜，進而影響成像質量。進而影響成像質量。 對于零頻分量，在透鏡對于零頻分量，在透鏡的孔徑范圍內的物點發出的孔徑范圍內的物點發出的都能通過透鏡。的都能通過透鏡。 對于離軸程度不同的點，對于離軸程度不同的點，透鏡孔徑作用的截止頻率透鏡孔徑作用的截止頻率不同。不同。0 物面上點發出的都可以物面上點發出的都可以經過透鏡的最大空間頻率經過透鏡的最大空間頻率分量為：分量為：)(2maxfdDf 物面上點發出的光被透物面上點發出的光被透鏡完全擋住的最小空間頻鏡完全擋住的最小空間頻率（截止頻率）：率（截止頻率）：max()2Ddff如圖，透鏡焦距如圖，透鏡焦距40厘米，厘米，d=2厘米

15、厘米, D=5厘米厘米, 波長為波長為500納米，納米， d1=60厘米，求厘米，求1）物面上點發出的都可以經過透鏡的最大空間頻率；）物面上點發出的都可以經過透鏡的最大空間頻率；2）物面上點發出的光被透鏡完全擋住的最小空間頻率。）物面上點發出的光被透鏡完全擋住的最小空間頻率。l無論成像系統的具體結構如何，都可以將其歸結為如下模無論成像系統的具體結構如何，都可以將其歸結為如下模型：光波由物平面到像平面可分為三個過程：型：光波由物平面到像平面可分為三個過程：3.2 光學成像系統的一般分析光學成像系統的一般分析一 成像系統的普遍模型物平面入瞳出瞳像平面312光學系統的孔徑光欄：光學系統中對光起實際限

16、制作用的光學系統的孔徑光欄：光學系統中對光起實際限制作用的那個光學元件孔徑。那個光學元件孔徑。入瞳：孔徑光欄通過它前面的光學系統所成的像。入瞳：孔徑光欄通過它前面的光學系統所成的像。出瞳：孔徑光欄通過它后面的光學系統所成的像。出瞳：孔徑光欄通過它后面的光學系統所成的像。孔徑光欄、入瞳和出瞳存在互為物像關系。孔徑光欄、入瞳和出瞳存在互為物像關系。實際光學系統：衍射受限系統、像差系統實際光學系統：衍射受限系統、像差系統l衍射受限系統衍射受限系統：指系統可以不考慮像差影響，僅僅考慮：指系統可以不考慮像差影響，僅僅考慮光瞳產生的衍射限制；光瞳產生的衍射限制；l衍射受限系統衍射受限系統：當像差很小，或者

17、系統的孔徑和視場都：當像差很小，或者系統的孔徑和視場都不大，實際光學系統就可以近似看作是衍射受限系統；不大，實際光學系統就可以近似看作是衍射受限系統；l衍射受限系統的邊端性質衍射受限系統的邊端性質：物面上一點光源發出的發散：物面上一點光源發出的發散球面波入射到入瞳上，被透鏡組變換為出瞳上的會聚球球面波入射到入瞳上，被透鏡組變換為出瞳上的會聚球面波；面波；l像差系統的邊端性質像差系統的邊端性質：點光源發出的發散球面波入射到：點光源發出的發散球面波入射到入瞳上，出瞳處的波前明顯偏離理想球面波。偏離的程入瞳上，出瞳處的波前明顯偏離理想球面波。偏離的程度可由波像差描述，它決定于透鏡組本身的物理結構。度

18、可由波像差描述，它決定于透鏡組本身的物理結構。二 衍射受限系統的點擴散函數),;,(),(110000yxyxhyx研究光學系統的核心任務就是求系統的點擴散函數。成像系統是線性系統，其像平面上的光場復振幅分布可寫成像系統是線性系統，其像平面上的光場復振幅分布可寫為物函數與成像系統脈沖響應函數的疊加積分；為物函數與成像系統脈沖響應函數的疊加積分；000000(,)(,) (,;,)iiiig xyfxyh xyxydx dy 只要能夠確定成像系統的脈沖響應函數，就能完備的描述只要能夠確定成像系統的脈沖響應函數，就能完備的描述該成像系統的性質。該成像系統的性質。即將物函數看成無窮多個即將物函數看成

19、無窮多個 (x0- , y0- )函數的集合函數的集合。22122222()()2212()()()221( ,)( ,)(,)kidkkixyidfg x yfePd deedddd 對于單對于單透鏡光透鏡光學系統學系統顯然對于物面點顯然對于物面點( , )000000(,)(,) (,;,)( , ;,)iiiiiig xyxyh xyxy dx dyhxy (1)(2)(3)物平面透鏡前表面像平面312透鏡后表面物面上一點物面上一點 函數表示，函數表示，P(x, y)為出射光瞳函數為出射光瞳函數221222222222001()()20000212-()()()22()()()22212

20、1(,;,)(,)( , )1( , )iikixydiikkixxyyixydfkkkix xyyiixydfh xyx yxy ed dd dP x y eedxdyeP x y eed d 222()()2iixxyyddxdy將單透鏡光學系統推廣到復合成像系統將單透鏡光學系統推廣到復合成像系統2物平面入瞳像平面31出瞳等效焦距入瞳002()()2002120000221(,;,)( , )(,)(,)iixMxxyMyyidiiiiiih xy x yP x y edxdyd dxMxyMyhh xxyydd對于成像系統，相位項可以忽略，于是對于成像系統，相位項可以忽略，于是22220

21、0120022200212()()2211(,;,)(,)/,iiiikkixyixyddiixM xxyM yyidh xyxyeed dP x y edxdyMdd 系 統 橫 向 放 大 率 。應用成像公式：應用成像公式：12111fdd等效焦距等效焦距傅里葉傅里葉變換變換結論：結論： 單色光照明時，衍射受限系統的單色光照明時，衍射受限系統的脈沖響應數值上就是脈沖響應數值上就是系系統光瞳函數的傅立葉變換，其中心在幾何光學理想像點統光瞳函數的傅立葉變換，其中心在幾何光學理想像點xi=Mx0，yi=My0 衍射受限成像系統為線性空不變系統。衍射受限成像系統為線性空不變系統。 如果光瞳無窮大，

22、則物上一點，成像面上仍是一點。如果光瞳無窮大，則物上一點，成像面上仍是一點。000022(,;,),iiiixMxyMyh xyxydd相應的成像面上函數分布相應的成像面上函數分布00000022(,)(,),(,)(,)iiiigiixM xyM ygxyfxydx dyddxyffxyMM 當不考慮出瞳的有限大小時：幾何光學的理想像是物體當不考慮出瞳的有限大小時：幾何光學的理想像是物體的準確復現，但尺寸進行了縮放。的準確復現，但尺寸進行了縮放。 考慮出瞳的有限大小時：像面上光波場的復振幅分布等考慮出瞳的有限大小時：像面上光波場的復振幅分布等于幾何光學理想像與系統脈沖函數的卷積，物面上一點，

23、于幾何光學理想像與系統脈沖函數的卷積，物面上一點，像面上一個斑。不是準確成像像面上一個斑。不是準確成像, ,部分高空間頻率信息丟失部分高空間頻率信息丟失（卷積的加寬平滑效應）。（卷積的加寬平滑效應）。00000022(,)(,),( ,)iiiixMxyMyg xyf xy hdx dyddf x y 即物函數和脈沖響應函數的卷積。三 準單色光照明的物像關系分析單色光單色光：光只有一個時間頻率，即光譜寬度無限窄。：光只有一個時間頻率，即光譜寬度無限窄。衍射傳輸衍射傳輸f(x0,y0, t)f(xi,yi, t)準單色光準單色光：光的時間頻率寬度小小與其：光的時間頻率寬度小小與其中心頻率值。中心

24、頻率值。1/0在頻率域，不同頻率的光在傳輸過程中在頻率域，不同頻率的光在傳輸過程中是相互獨立的。是相互獨立的。00000020000000012000000(, )(, )(, )(, )(, )(, ),;(, )(, )(, ),;titiiiiiitiiitiif xytF xyf xytf xyt edtG xy vF xyh xxyydx dyg xy tG xy vF xyh xxyydx dyed 于是 探測器測到的光強分布為探測器測到的光強分布為完成從物函數到像函數之間的換算。完成從物函數到像函數之間的換算。*( ,)( ,; )( ,; )()iiiiiiI x yg x y

25、 t gx y t時間平均于是光強分布為于是光強分布為00000000*00000000( ,)(,; ),;( , ; ),;(,; )( , ; ),;,;iiiiiiiiiiI x yf x y t h xx yydx dyfx y t hxx yydxdyf x y t fx y t h xxyyhxx yydx dy dxdy 同一時間，不同空間點光強的關聯程度主要考察兩處的相位同一時間，不同空間點光強的關聯程度主要考察兩處的相位關聯。關聯。假定物面上兩點假定物面上兩點（x0,y0）和和(x, y)光場為：光場為：000(,)0000( ,)(,; )(,)( , ; )( , )i

26、xytix ytf xytf xyef x y tf x y e；和000(,)( ,)*0000(,; )( , ; )(,) ( , )ixytx ytf xy t fx y tf xyf x ye；空間相干與非相干照明空間相干與非相干照明衡量物面上兩點衡量物面上兩點（x0, y0）和和(x, y)光場之間相干程度。光場之間相干程度。00002220000( ,)(,; )( ,)(,; )*0000(,; )( , ; )(,)( , )(,)( , )(,) ( , )ix ytxy tix ytxy tIf xy tf x y tf xyf x yf xyfx y efxyf x y

27、 e；時間平均部分時間平均部分顯然顯然00200220000(,)(,; )(,; )(,; )(,)(,)(,)(,)xytxytIfxytfxy tfxyfxyIxyIxy如 果；和是 不 相 關 的 ， 則 時 間平 均 部 分 為 零 ， 于 是0000( ,)(,; )(,)( ,)x ytxytII xyI x y如果；和是相關的, 則時間平均部分就不為零，于是l 相干（空間）照明：物面上任意兩點光場之間的相位差相干（空間）照明：物面上任意兩點光場之間的相位差隨時間變換是恒定的。隨時間變換是恒定的。l 非相干照明：物面上任意兩點光場之間的相位差隨時間非相干照明：物面上任意兩點光場之

28、間的相位差隨時間變換是隨機的。變換是隨機的。l 相干光場之間的疊加是電場疊加（相干疊加）；相干光場之間的疊加是電場疊加（相干疊加）；l 非相干光場之間的疊加是強度疊加。非相干光場之間的疊加是強度疊加。在相干照明方式下，衍射受限光學系統對光場復振幅變換而在相干照明方式下，衍射受限光學系統對光場復振幅變換而言是線性空不變系統；對于光強度的變換，則不是線性系統。言是線性空不變系統；對于光強度的變換，則不是線性系統。對于衍射受限光學系統，在相干光照明下有對于衍射受限光學系統，在相干光照明下有0000002(,)(,),( ,),(,)iiiiiiiiI xyf xyh xxyydx dyf x y h

29、 xx yy dxdyg xy 000(,)( ,)*0000(,; )( , ; )(,) ( , )ixytx ytf xy t fx y tf xyf x ye；的相位部分為常數，所以可忽略。于是光強分布為的相位部分為常數，所以可忽略。于是光強分布為在非相干光照明下在非相干光照明下000(,)( ,)*000022*20000(,; )( , ; )(,) ( , )(,)( , )0ixytx ytf xy t fx y tf xyf x yef xyfx yxxyyelse；非相干光的空間相干性很差，只有在非常小的空間范圍非相干光的空間相干性很差，只有在非常小的空間范圍內的兩點光場才

30、有關聯。當內的兩點光場才有關聯。當 足夠小時有足夠小時有*000000(,; )( , ; )(,) ( , ),f xy t fx y tf xyf x yxxyy在非相干光照明下，像面上的光強度分布：在非相干光照明下，像面上的光強度分布：在非相干照明方式下，衍射受限光學系統對光強度的在非相干照明方式下，衍射受限光學系統對光強度的變化是線性空不變的，而對復振幅的變換則不是線性的。變化是線性空不變的，而對復振幅的變換則不是線性的。 *00000*0000022000000000(,)(,),;( ,),;,(,),;(,)*(,;)iiiiiiiiiiIiiI xyf xyh xxyyf x

31、yhxx yyxxyydx dy dxdyf xyh xxyydx dyIxyhxy 相干成像系統是光場復振幅變換的線性空不變系統相干成像系統是光場復振幅變換的線性空不變系統: : 像場復像場復振幅振幅= =物場復振幅物場復振幅* *系統脈沖響應函數系統脈沖響應函數衍射受限相干成像系統的傳遞函數衍射受限相干成像系統的傳遞函數 在頻域：在頻域：衍射受限相干成像衍射受限相干成像系統的光學傳遞函系統的光學傳遞函數，相干傳遞函數數，相干傳遞函數相干傳遞函數的定義相干傳遞函數的定義000000000000(,)(,),11(,),(,) *(,)iiiiiigiiiigxyfxyhxM xyM ydx

32、dyxyfhxxyydx dyMMMMfxyh xy %,( ,)ixycxygxycxyiiGffHffGffHffh x y %相干傳遞函數與系統物理性質的聯系相干傳遞函數與系統物理性質的聯系),(),(yixiyxcfdfdPffH單色光單色光照明時，衍射受限系統的脈沖響應數值上等于系統光照明時，衍射受限系統的脈沖響應數值上等于系統光瞳函數的傅立葉變換，其中心在幾何光學理想像點瞳函數的傅立葉變換，其中心在幾何光學理想像點xi=Mx0，yi=My0，而相干傳遞函數是脈沖響應函數的傅立葉變換，故相，而相干傳遞函數是脈沖響應函數的傅立葉變換，故相干傳遞函數在數值上等于系統的光瞳函數。干傳遞函數

33、在數值上等于系統的光瞳函數。002()()200212000022221(,;,)( , )(,)(,)( , )iixMxxyMyyidiiiiiih xyx yP x y edxdyd dxMxyMyhh xxyyddddP x y 衍射受限系統的脈沖響應衍射受限系統的脈沖響應相干傳遞函數：相干傳遞函數：1(,)0cxyHff出瞳內出瞳外頻域坐標（頻域坐標（fx, fy）與空域坐標）與空域坐標(x, y)的關系：的關系：,xiyifxdfyd注意與以前注意與以前的區別！的區別！系統截止頻率為：系統截止頻率為：光學系統輸出像光學系統輸出像的頻譜為：的頻譜為：maxmax,CxiCyifxdf

34、yd衍射受限系統對輸入的各種頻率分量的作用就相當于一個低衍射受限系統對輸入的各種頻率分量的作用就相當于一個低通濾波器。對低于截止頻率的頻率分量，無衰減通過；對于通濾波器。對低于截止頻率的頻率分量，無衰減通過；對于高于截止頻率的頻率分量，則完全截止。截止頻率高于截止頻率的頻率分量，則完全截止。截止頻率fCx和和fCy是是衡量光學系統質量的重要參數之一（分辨率）。衡量光學系統質量的重要參數之一（分辨率）。(,)(,)0gxyixyGffGff出瞳內出瞳外像差對系統傳遞函數的影響像差對系統傳遞函數的影響光學系統的像差：入射的球面波經光學系統后，從出瞳射出光學系統的像差：入射的球面波經光學系統后，從出

35、瞳射出波的位相分布與球面波的位相分布的偏差。波的位相分布與球面波的位相分布的偏差。( , )( , )(,)(,)( , )( , )0(,)(,)0(,)(,)(,)(,)ixiyixiyikW x yikW x yikWd fd fixiyikWd fd fgxyixygxycxyeP x yP x y eeHc fx fyPd fd fGffeGffGffHff有像差時系統的光瞳函數為：在出瞳內在出瞳外有像差時系統的相干傳遞函數為：在出瞳內在出瞳外系統輸出像的頻譜函數也可寫為：0在出瞳內在出瞳外像差存在的影響：像差存在的影響：不影響相干傳遞函數的通頻帶寬度，僅在通頻帶內引入了相不影響相干

36、傳遞函數的通頻帶寬度，僅在通頻帶內引入了相位畸變，使位畸變，使像失真像失真。相干傳遞函數計算舉例相干傳遞函數計算舉例例例1 1 有一出射光瞳為正方形的衍射受限成像系統，正方形有一出射光瞳為正方形的衍射受限成像系統，正方形的邊長為的邊長為l l，試計算該系統的相干傳遞函數。，試計算該系統的相干傳遞函數。正方形光瞳正方形光瞳相干傳遞函數相干傳遞函數先求光瞳函數：先求光瞳函數：11,( ,),20 xyyllxllP x yrectelse相干傳遞函數數值上等于系統的光瞳函數，即相干傳遞函數數值上等于系統的光瞳函數，即(,),iyixixiyd fd fPd fd frectll(,)(,)11,2

37、0 xyixiyiyixiyixHffPd fd fd fd fd fd frectllllelse（用空間頻率表示）（用空間頻率表示）X X方向截止頻率：方向截止頻率：Y Y方向截止頻率：方向截止頻率：最大截止頻率：最大截止頻率：m a x222C xC yiilffdlfd衍射受限非相干成像系統的傳遞函數衍射受限非相干成像系統的傳遞函數對上式做傅立葉變換，并運用卷積定理，得：對上式做傅立葉變換，并運用卷積定理，得： 在非相干照明方式下，衍射受限光學系統對光強度的變化在非相干照明方式下，衍射受限光學系統對光強度的變化是線性空不變的：是線性空不變的： 一一 衍射受限非相干系統的光學傳遞函數衍射

38、受限非相干系統的光學傳遞函數0( ,)( ,)*( ,;)iiigiiIiiI x yIx yh x y(,)(,)(,)iIxyIgxyIxyGffGffHff22222( , )( , )(,)( , )(,)( , )( , )( , )( , )( , )(,)( , )( , )( , )( , )( , )ggIIxyIIxyIggggIixyIiiiiih x yh x yHffh x yGffgx yg x yg x yg x yg x yGffgx yg x yg x yg x yg x y ，注意：與前面功與前面功率譜比較率譜比較功率譜功率譜實函數實函數傅立葉變換函數的實部

39、為偶函數，虛部為奇函數，即傅立葉變換函數的實部為偶函數，虛部為奇函數，即),(),(*yxIyxIffGffGii研究的對象是光強：實數，非負數！研究的對象是光強：實數，非負數！(,)(,)(,)(,)(,)A(,)(,)(,),(,(,)(,)(,xyiixyxyxyxyxyxiffIxyIxyxyiffiffxyxyyGffGffffeA ffeA ffAAfffefffff 如果將寫成振幅部分為偶函數，相位部分為奇函數歸一化頻譜歸一化頻譜2 ()2 (),(,)(,)(0,0),(,)(,)(0,0),xyiiixyggif x f yiIxyIxyIiif x f ygIxyIgxyI

40、gIx y edxdyGffGffGIx y dxdyIx y edxdyGffGffGIx y dxdy對零頻分對零頻分量歸一化量歸一化如果將光學傳遞函數寫成如果將光學傳遞函數寫成),(),(),(yxffiyxoyxoeffHffHOTF，光學，光學傳遞函數傳遞函數MTF，調制，調制傳遞函數傳遞函數PTF，位相，位相傳遞函數傳遞函數歸一化傳遞函數（非相干傳遞函數，光學傳遞函數）歸一化傳遞函數（非相干傳遞函數，光學傳遞函數）2 ()00,(,)(,)(0,0),(,)(,)(,)xygif xf yIxyIxyxyIIxyIxyxyIxyhx y edf dfHffHffHhx y df d

41、fGffHffGff或光學系統對零頻信息百分之百的傳遞，即光學系統對零頻信息百分之百的傳遞，即H0(0, 0)1;1;任意空間頻率的任意空間頻率的MTFMTF低于零頻下的值，即非相干成像系低于零頻下的值，即非相干成像系統是一個低通的空間濾波器統是一個低通的空間濾波器: : H0(fx, fy) H0(0, 0)1;1;光學傳遞函數的實部為偶函數，虛部為奇函數。光學傳遞函數的實部為偶函數，虛部為奇函數。 調制傳遞函數為調制傳遞函數為偶函數，相位傳遞函數為奇函數。偶函數，相位傳遞函數為奇函數。 三三 光學傳遞函數的一般性質光學傳遞函數的一般性質二二 OTF與與CTF的關系的關系*2( , )(,)

42、(,)( , )ccxyoxycHHffd dHffHd d 光學傳遞函數等于相干傳遞函數的歸一化自相關。光學傳遞函數等于相干傳遞函數的歸一化自相關。調制傳遞函數（調制傳遞函數（MTF）描述系統對各頻率分量對比度的）描述系統對各頻率分量對比度的傳遞；而位相傳遞函數（傳遞；而位相傳遞函數（PTF）描述系統對各頻率分量）描述系統對各頻率分量施加的相移。施加的相移。將物像頻譜將物像頻譜描述為：描述為：從而有從而有(,)(,)(,)(,)(,)(,)ixyiigxyiffIxyIxyiffIgxyIgxyGffGffeGffGffe(0,0)(0,0)(0,0)igIIIGGH0(0,0)(0,0)i

43、gIIGGG 000000000(,)(,)00(,)(,)(,)(,)(,)iixygxyIIiiIIiiixygxyIIggIIggIxyiffffxyIgxyGGGGGGGGiffffGGGGGGGGGffGHffeGffGe于是于是 00000000(,)(,)0(,)(,),(,)(,),(,)ixygxyIIIIggiiIIIIiiggiffffixyxygxyGGGGGGGGixygxyGGGGGGGGVffHffeVffVffVff其 中像對比度像對比度物對比度物對比度PTFMTF(,)(,)ixygxyVffVff光學系統中像的對比度小于物的對比度。光學系統中像的對比度小于物

44、的對比度。四四 衍射受限系統的衍射受限系統的OTF計算計算光學傳遞函數是光瞳函數的歸一化自相關光學傳遞函數是光瞳函數的歸一化自相關*2(,)(,)( , )(,)(,)( , )cxyixiyccxyoxycHffPd fd fHHffd dHffHd d 光瞳函數的值非零即光瞳函數的值非零即1，即，即2*(,)(,),(,)(,)CxyCxyCxyCxyHffHffHffHff*( , ) (,)(,)( , )ixiyoxyPx y P xd fyd fdxdyHffP x y dxdyxy0, (,),iioxyxyd fd fHffff中心為(0,0)的出瞳與中心為(-)出瞳的重疊面積

45、出瞳總面積（）衍射受限系統衍射受限系統OTF的計算的計算光學傳遞函數步驟：光學傳遞函數步驟：1） 確定系統出瞳的形狀和大小，計算出瞳總面積確定系統出瞳的形狀和大小，計算出瞳總面積 0 。2）計算出瞳面至像平面之間的距離）計算出瞳面至像平面之間的距離di。3）任意給定一組）任意給定一組(fx, fy)值，算出值，算出( difx, dify)值；將出瞳平值；將出瞳平移，使其中心落在移，使其中心落在(- difx, - dify)處，計算移動前后兩出瞳處，計算移動前后兩出瞳的重疊面積。的重疊面積。4）相繼再給定一組）相繼再給定一組(fx, fy)值，再算出重疊面積。依次類推，值，再算出重疊面積。依

46、次類推，就可算出就可算出 (fx, fy)值。值。5）計算）計算 (fx, fy) / 0,從而算出從而算出HO (fx, fy)自相關意味著兩出瞳分別朝相反方向平移，直至重疊面積自相關意味著兩出瞳分別朝相反方向平移，直至重疊面積剛好為零時，它們已經平移開了剛好為零時，它們已經平移開了2xmax和和2ymax距離。距離。maxmaxmaxmax222, 2,imximymxmyiixyxd fyd fffdd非相干成像系統的截止頻率是相干成像系統的兩倍。非相干成像系統的截止頻率是相干成像系統的兩倍。衍射受限非相干成像系統的截止頻率計算：衍射受限非相干成像系統的截止頻率計算：像差對像差對OTF的

47、影響的影響( , )( , )( , )( , )0ikW x yikW x yeP x yP x y e有像差時系統的光瞳函數為：在出瞳內在出瞳外*2(,)(,)( , )(,)(,)( , )cxyixiyccxyoxyHffPd fd fHHffd dHffHcd d *2(,)(,)( ,)(,)(,)( ,)( ,)(,)( ,)ixiyxyoxyikWxd fyd fikWx yixiyPPffddHffPddP x y P xd fyd feedxdyP x y dxdy 將 像 差 和 光將 像 差 和 光學 傳 遞 函 數學 傳 遞 函 數聯系起來了。聯系起來了。(,)(,)

48、oxyoxyHffHff有像差無像差1）像差的存在會使光學系統的調制傳遞函數下降，像面光強）像差的存在會使光學系統的調制傳遞函數下降，像面光強度分布的各個頻率分量的對比度降低。度分布的各個頻率分量的對比度降低。2）只要是同樣大小和形狀的出射光瞳，則對于有像差系統和）只要是同樣大小和形狀的出射光瞳，則對于有像差系統和無像差系統，其截止空間頻率都是相同的。無像差系統，其截止空間頻率都是相同的。02(,)( , )2222(,)( , )(,)(,)(,)2( , ) (,),( , )( , )( , )ixiyixiyxyxyxyikW xd fyd fikW x yixiyoxyikW xd fyd fikW x yffff