1、一丶外接球半徑：A1B1C1ABC1.如上圖，圓柱丶直三棱柱A1B1C1-ABC丶三棱錐A1-ABC丶四棱錐A1- B1C1CB的外接球都是同一個球，外接球半徑均為：R=r2+(h2)2其中：r為圓柱底面半徑，h為圓柱的高。同時，圓柱兩底面分別為A1B1C1和ABC的外接圓，由此可得出如下結論：（1）圓柱的外接球半徑為：R=r2+(h2)2其中：r為圓柱底面半徑，h為圓柱的高。（2）直三棱柱A1B1C1-ABC的外接球半徑為R=r2+(h2)2其中：r為三棱柱底面三角形外接圓半徑，h為棱柱的高。（3）有一條棱與底面垂直的三棱錐A1-ABC的外接球半徑為：R=r2+(h2)2其中：r為棱錐底面三

2、角形外接圓半徑，h為與底面ABC垂直的棱A1A的長度。（4）有一側面與底面垂直（側面A1B1C1底面B1C1CB）且底面為矩形的四棱錐A1- B1C1CB的外接球半徑為：R=r2+(h2)2其中：r為棱錐中與底面垂直的側面A1B1C外接圓的半徑，h為與側面A1B1C1垂直的矩形的邊BB1的長度。注：三角形外接圓半徑可由正弦定理推導，即asinA=bsinB=csinC=2r其中，r為三角形外接圓半徑。2.正三棱錐：以棱長為a的正三棱錐外接球半徑推導為例：對于棱長為a的正三棱錐，其外接球如圖:ABCDEOO1過A作A O1底面BCD，則O1為BCD的外接圓圓心，DE為BC邊中線，且三棱錐圓心O在

3、A O1上。在等邊BCD中，DE=32a故DO1=23DE=33a在RtAD O1中，A O1=AD2-DO12=a2-33a2=63a因O為球心，故OD=OA=R由DO12+OO12=DO2可得：(33a)2+(63a-R)2=R2解得：R=64a3.正四棱錐：正四棱錐的外接球球心也在底面正方形對角線交點與頂點連線上，同正三棱錐外接球球心半徑推導過程。可得：棱長為a的正四棱錐，其外接球半徑為R=22a注：棱長為a的正四棱錐的高為22a，故正四棱錐的外接球球心即為底面正方形對角線交點。4.長方體：長方體外接球的球心為其體對角線的中點對于長寬高分別為a.b.c的長方體，其外接球半徑為：R=a2+

4、b2+c22特別地：對于正方體，其長寬高均為a，故其外接球半徑為R=32a注：對于一般幾何體可建立直角坐標系，根據球心到各頂點距離相等建立方程組求解。二丶內切球半徑1. 正方體：正方體內切球球心位于其體對角線中點處，對于邊長為a的正方體，其內切球半徑R=a22. 正三棱錐：正三棱錐內切球球心到各面距離均為R（R為內切球半徑），故以內切球球心為頂點，各面為底面將其分成4個三棱錐。（其中3個以側面為底的三棱錐體積相同，當棱長均為a時，分成的4個三棱錐體積均相同）對于邊長為a的正三棱錐，各面均為邊長為a的正三角形，內切球球心到各面距離均為R，故由分成的小三棱錐體積和等于正三棱錐體積可得：13

5、5;S×R×4=13×S×h其中，S為正三棱錐各面面積，h為正三棱錐的高且h=63a故R=612a3.正四棱錐：推導方法同正三棱錐內切球半徑推導一樣，以內切球球心為頂點，各面為底面將正四棱錐分成4個體積相等的三棱錐和一個四棱錐。（其中4個以側面為底的三棱錐體積相同）側面面積為S1=12×a2×sin60°=34a2底面面積為S2=a2故由體積不變得：13×S1×R×4+13×S2×R=13×S2×h其中，h為正四棱錐的高，且h=22a故R=6-24a4.直三棱柱：O直三棱柱內切球在底面投影為底面三角形的內切圓，故直三棱柱內切球半徑R等于底面三角形內切圓半徑r，又因為內切球到上下底面距離相等且都為R，故僅有滿足h=2r的直三棱柱有內切球，其中，h為直三棱柱的高。三角形內切圓半徑求法如下：如圖，設三角形三邊長分別為a.b.c，其內切圓圓心為O，以O為頂點，3邊為底邊將其分成3個三角形，由于O點到三邊距離均為r，故三個三角形的高均為r，由面積不變得：