1、圖解虛數(shù)什么是虛數(shù)首先，假設(shè)有一根數(shù)軸，上面有兩個(gè)反向的點(diǎn)：+1和-1。這根數(shù)軸的正向部分，可以繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。顯然，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度，+1就會(huì)變成-1。這相當(dāng)于兩次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。因此，我們可以得到下面的關(guān)系式：(+1) * (逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度) * (逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度) = (-1)如果把+1消去，這個(gè)式子就變?yōu)椋?逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度)2 = (-1)將"逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度"記為 i ：i2 = (-1)這個(gè)式子很眼熟，它就是虛數(shù)的定義公式。所以，我們可以知道，虛數(shù) i 就是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，i 不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)旋轉(zhuǎn)量。復(fù)數(shù)的定義既然 i 表示旋轉(zhuǎn)量，我們就可以用 i

2、，表示任何實(shí)數(shù)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。將實(shí)數(shù)軸看作橫軸，虛數(shù)軸看作縱軸，就構(gòu)成了一個(gè)二維平面。旋轉(zhuǎn)到某一個(gè)角度的任何正實(shí)數(shù)，必然唯一對(duì)應(yīng)這個(gè)平面中的某個(gè)點(diǎn)。只要確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，比如( 1 , i )，就可以確定某個(gè)實(shí)數(shù)的旋轉(zhuǎn)量（45度）。數(shù)學(xué)家用一種特殊的表示方法，表示這個(gè)二維坐標(biāo)：用 + 號(hào)把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)連接起來(lái)。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。這種表示方法就叫做復(fù)數(shù)（complex number），其中 1 稱為實(shí)數(shù)部，i 稱為虛數(shù)部。為什么要把二維坐標(biāo)表示成這樣呢，下一節(jié)告訴你原因。虛數(shù)的作用：加法虛數(shù)的引入，大大方便了涉及到旋轉(zhuǎn)的計(jì)算。比如，物理學(xué)需要計(jì)算"力的

3、合成"。假定一個(gè)力是 3 + i ，另一個(gè)力是 1 + 3i ，請(qǐng)問(wèn)它們的合成力是多少？根據(jù)"平行四邊形法則"，你馬上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。這就是虛數(shù)加法的物理意義。虛數(shù)的作用：乘法如果涉及到旋轉(zhuǎn)角度的改變，處理起來(lái)更方便。比如，一條船的航向是 3 + 4i 。如果該船的航向，逆時(shí)針增加45度，請(qǐng)問(wèn)新航向是多少？45度的航向就是 1 + i 。計(jì)算新航向，只要把這兩個(gè)航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因在下一節(jié)

4、解釋）：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )所以，該船的新航向是 -1 + 7i 。如果航向逆時(shí)針增加90度，就更簡(jiǎn)單了。因?yàn)?0度的航向就是 i ，所以新航向等于：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )這就是虛數(shù)乘法的物理意義：改變旋轉(zhuǎn)角度。虛數(shù)乘法的數(shù)學(xué)證明為什么一個(gè)復(fù)數(shù)改變旋轉(zhuǎn)角度，只要做乘法就可以了？下面就是它的數(shù)學(xué)證明，實(shí)際上很簡(jiǎn)單。任何復(fù)數(shù) a + bi，都可以改寫成旋轉(zhuǎn)半徑 r 與橫軸夾角 的形式。假定現(xiàn)有兩個(gè)復(fù)數(shù) a + bi 和 c + di，可以將它們改寫如下：a + bi = r1 * ( cos + isin )c + di = r2 * ( cos + isin )這兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，( a + bi )( c + di ) 就相當(dāng)于r1 * r2 * ( cos + isin ) * ( cos + isin )展開后面的乘式，得到cos * cos - sin * sin + i( cos * sin + sin * cos )根據(jù)三角函數(shù)公式，上面的式子就等于cos(+) + isin(+)所以，( a +