1、1第第2 2章章 插插 值值 法法22.1 2.1 引言引言 2.2 Lagrange2.2 Lagrange插值插值2.3 2.3 均差與均差與NewtonNewton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式2.4 Hermite2.4 Hermite插值插值2.5 2.5 分段低次插值分段低次插值2.6 2.6 三次樣條插值三次樣條插值3 2.0 為什么要研究插值法為什么要研究插值法 插值法是廣泛應(yīng)用于理論和實(shí)踐的重要數(shù)值方插值法是廣泛應(yīng)用于理論和實(shí)踐的重要數(shù)值方法法, 它是用簡單函數(shù)它是用簡單函數(shù)(特別是多項(xiàng)式或分段多項(xiàng)特別是多項(xiàng)式或分段多項(xiàng)式式)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型；為非有理函數(shù)提為離散數(shù)組建立連續(xù)模型

2、；為非有理函數(shù)提供好的逼近方法。眾所周知，反映自然規(guī)律數(shù)供好的逼近方法。眾所周知，反映自然規(guī)律數(shù)量關(guān)系的函數(shù)大致有三種表示方法：量關(guān)系的函數(shù)大致有三種表示方法： 解析表達(dá)式52)(3xxxfyyxsin 圖象法 表格法2022-4-2934 2.0 為什么要研究插值法為什么要研究插值法 許多函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)是用表格法給出許多函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)是用表格法給出(如觀測和實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)如觀測和實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)據(jù))。但用離散的函數(shù)值進(jìn)行理論分析和設(shè)計，是不方便或。但用離散的函數(shù)值進(jìn)行理論分析和設(shè)計，是不方便或是不可能的。因此需要尋找與已知函數(shù)值相符，并且形式是不可能的。因此需要尋找與已知函數(shù)值相符，并且形式簡單的插

3、值函數(shù)簡單的插值函數(shù)(或近似函數(shù)或近似函數(shù))。 另外一情況是，另外一情況是，函數(shù)表達(dá)式給定，但其形式不適宜計算機(jī)函數(shù)表達(dá)式給定，但其形式不適宜計算機(jī)使用使用，一些涉及連續(xù)變量問題的計算需經(jīng)過離散化后才能，一些涉及連續(xù)變量問題的計算需經(jīng)過離散化后才能進(jìn)行。如數(shù)值積分方法、數(shù)值微分方法、差分方程以及有進(jìn)行。如數(shù)值積分方法、數(shù)值微分方法、差分方程以及有限元法等，都必須直接或間接地應(yīng)用到插值理論和方法限元法等，都必須直接或間接地應(yīng)用到插值理論和方法。2022-4-29452.1 2.1 引引 言言 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，且已知在點(diǎn))(xfy ,ba 上的值 ，bxxxan10nyyy,10函數(shù) ，

4、)(xP), 1 , 0()(niyxPii（1.1）成立，就稱 為 的插值函數(shù)插值函數(shù)，點(diǎn) 稱為插插)(xP)(xfnxxx,10值節(jié)點(diǎn)值節(jié)點(diǎn)，包含節(jié)點(diǎn)的區(qū)間 稱為插值區(qū)間插值區(qū)間，求插值函數(shù),ba若存在一簡單使)(xP的方法稱為插值法插值法. .2.1.1 2.1.1 插值問題的提出插值問題的提出6 插值函數(shù)插值函數(shù) p (x) 作為作為 f (x) 的近似，可以選自不同的近似，可以選自不同類型的函數(shù)類型的函數(shù), 如如 p (x) 為代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式、有為代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式、有理分式理分式；其函數(shù)性態(tài)可以是光滑的、亦可以是分段光其函數(shù)性態(tài)可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其中，滑

5、的。其中，代數(shù)多項(xiàng)式代數(shù)多項(xiàng)式類的插值函數(shù)占有重要地位：類的插值函數(shù)占有重要地位： (a) 結(jié)構(gòu)簡單、計算機(jī)容易處理、任何多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)簡單、計算機(jī)容易處理、任何多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)和積分也易確定。和積分也易確定。(b) 著名的著名的Weierstrass逼近定理逼近定理(定義在閉區(qū)間上的定義在閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)任何連續(xù)函數(shù) f(x) , 存在代數(shù)多項(xiàng)式存在代數(shù)多項(xiàng)式p(x)一致逼近一致逼近f(x),并達(dá)到所要求的精度并達(dá)到所要求的精度)。因此，我們主要考慮代數(shù)多項(xiàng)式的插值問題。因此，我們主要考慮代數(shù)多項(xiàng)式的插值問題。2022-4-2967nnxaxaaxP10)(（1.2） 若 是次數(shù)不超過

6、n 的代數(shù)多項(xiàng)式，即)(xP其中 為實(shí)數(shù)，就稱 為插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式，ia)( xP本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值. 若 為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值分段插值. .)( xP 若 為三角多項(xiàng)式 ，就稱為三角插值三角插值. .)( xP相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值. .8x0 , x1, , xn 插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn), 函數(shù)函數(shù) P(x) 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y=f(x) 的插值函數(shù)，的插值函數(shù)，區(qū)間區(qū)間 a, b 稱為插值區(qū)間。稱為插值區(qū)間。 2022-4-2989 插值的幾何意義 從幾何上看，插值就是求一條曲線從幾何上看，插值就是求一條曲線 使其通過給定的使其通過給定的 個點(diǎn)個點(diǎn) ，

7、 并且與已知曲線并且與已知曲線 有一定的近似度。有一定的近似度。( )yP x1n( ,)iix y(0,1, )in( )yf xx 0 y y = p(x) a=x0 x1 x2 x3 xn=b (xi, yi)y = f (x)曲線曲線 P ( x) 近似近似 f ( x) 910插值問題是否可解. 若有解,是否唯一.如何求插值函數(shù)P(x).P(x)與 f(x)的誤差如何估計.當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)無限加密時, P(x)是否收斂 于f(x).插值法的研究內(nèi)容插值法的研究內(nèi)容11【問題問題】 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，且已知在點(diǎn))(xfy ,ba 上的值 ，bxxxan10nyyy,10的多項(xiàng)式 ，使

8、得)(xP., 1 , 0,)(niyxPii（1.3）求次數(shù)不超過n2.1.2 2.1.2 插值多項(xiàng)式的存在唯一性插值多項(xiàng)式的存在唯一性12 在次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式集合 中，滿足條件(1.3)的插值多項(xiàng)式 是存在唯一的. nHnnnHxP)( 由（1.3）式得到關(guān)于系數(shù) 的線性方程組因此，線性方程組（1.3）的解存在唯一，證畢.定理定理1 1證明證明其系數(shù)矩陣的行列式(是Vandermande行列式)naaa,10.,101111000010nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa（1.4）. 0)(111det)det(101100njijinnnnnxxxxxxxxA（1.

9、5）13插值余項(xiàng)與誤差估計插值余項(xiàng)與誤差估計 若在 上用 近似 ， ,ba)(xPn)(xf),()()(xPxfxRnn 設(shè) 在 上連續(xù)， 在 內(nèi))()(xfn,ba)()1(xfn ),(ba存在，節(jié)點(diǎn) 是滿足條件(2.6)的插值多項(xiàng)式，)(,10 xPbxxxann則對任何 ，插值余項(xiàng),bax )()!1()()()()(11(xnfxPxfxRnnnn這里 且依賴于 ，),(bax則其截斷誤差為也稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)余項(xiàng). .定理定理2 2).()()(101nnxxxxxxx14 余項(xiàng)表達(dá)式只有在 的高階導(dǎo)數(shù)存在時才能應(yīng)用. )(xf 但 在 內(nèi)的具體位置通常不可能給出，),(ba如

10、果可以求出 那么插值多項(xiàng)式 逼近 的截斷誤差限是 ,)(max1)1(nnbxaMxf)(xPn)(xf. )()!1()(11xnMxRnnn15 2.2.1 2.2.1 線性插值與拋物插值線性插值與拋物插值 對給定的插值點(diǎn)，可以用多種不同的方法求得形如(1.2)的插值多項(xiàng)式. 先討論 的簡單情形.1n【問題問題】給定區(qū)間 及端點(diǎn)函數(shù)值 ，,1kkxx)(),(11kkkkxfyxfy要求線性插值多項(xiàng)式 ，)(1xL.)(,)(1111kkkkyxLyxL2.2 Lagrange 2.2 Lagrange 插值插值使它滿足16 其幾何意義就是通過兩點(diǎn) 的直線. ),(),(11kkkkyxy

11、x圖2-2如圖2-2.17由 的幾何意義可得到表達(dá)式)(1xL)()(111kkkkkkxxxxyyyxL（點(diǎn)斜式），11111)(kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL（兩點(diǎn)式），（2.1） 由兩點(diǎn)式看出， 是由兩個線性函數(shù))(1xL,)(11kkkkxxxxxl,)(11kkkkxxxxxl（2.2）的線性組合得到，其系數(shù)分別為 及 ，即ky1ky)()()(111xlyxlyxLkkkk（2.3）18顯然， 及 也是線性插值多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn) 及)(xlk)(1xlk kx1kx稱 及 為線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)，)(xlk)(1xlk , 1)(kkxl;0)(1kkxl,0)(1k

12、kxl, 1)(11kkxl上滿足條件圖形見圖2-3.19圖2-320下面討論 的情形.2n 假定插值節(jié)點(diǎn)為 ， ， ，要求二次插值多項(xiàng)式1kxkx1kx),(2xL) 1, 1()(2kkkjyxLjj 幾何上 是通過三點(diǎn) 的拋物線.)(2xL),(),(),(1111kkkkkkyxyxyx 可以用基函數(shù)的方法求 的表達(dá)式，此時基函數(shù))(2xL);1,(,0)(, 1)(111kkjxlxljkkk);1, 1(,0)(, 1)(kkjxlxljkkk（2.4）)., 1(,0)(, 1)(111kkjxlxljkkk使它滿足),(1xlk ),(xlk)(1xlk 是二次函數(shù)，且在節(jié)點(diǎn)上

13、滿足條件21 接下來討論滿足（2.4）的插值基函數(shù)的求法，以求 為例，)(1xlk 由插值條件，它應(yīng)有兩個零點(diǎn) 及 ，kx1kx),)()(11kkkxxxxAxl可由插值條件 定出1)(11kkxl其中 為待定系數(shù)，A)(1111kkkkxxxxA于是.)()()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl可表示為22同理.)()()(1111kkkkkkkxxxxxxxxxl.)()()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl 二次插值基函數(shù) ， ， 在區(qū)間 上的圖形見圖2-4.)(1xlk )(xlk)(1xlk ,11kkxx23圖2-424 利用 ， ， ，)(1xlk )(

14、xlk)(1xlk )()()()(11112xlyxlyxlyxLkkkkkk（2.5）顯然，將 , ， 代入 (2.5) ,)(1xlk )(xlk)(1xlk )()()(111112kkkkkkkxxxxxxxxyxL)()(1111kkkkkkkxxxxxxxxy.)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy立即得到二次插值多項(xiàng)式).1, 1( ,)(2kkkjyxLjj它滿足條件得25 2.2.2 2.2.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式 將前面的方法推廣到一般情形，討論如何構(gòu)造通過 個節(jié)點(diǎn) 的 次插值多項(xiàng)式 .1nnxxx10n)( xLn)., 1 ,0()(nj

15、yxLjjn（2.6） 根據(jù)插值的定義 應(yīng)滿足)(xLn先定義 次插值基函數(shù).n 為構(gòu)造 ，)(xLn26 定義定義1 1 若 次多項(xiàng)式 在 個節(jié)點(diǎn) n), 1 ,0()(njxLj1n), 1 , 0,(., 0;, 1)(nkjjkjkxlkj（2.7）就稱這 個 次多項(xiàng)式 為節(jié)點(diǎn) 1nn)(,),(),(10 xlxlxln上的 次插值基函數(shù)次插值基函數(shù).nxxx,10nnxxx10上滿足條件27顯然它滿足條件（2.7）. 于是，滿足條件（2.6）的插值多項(xiàng)式 可表示為 )(xLn. )()(0nkkknxlyxL（2.9）)()()()()()()(110110nkkkkkknkkkx

16、xxxxxxxxxxxxxxxxl)., 1 , 0(nk（2.8） 與前面的推導(dǎo)類似， 次插值基函數(shù)為 n28由 的定義，知)(xlk)., 1 ,0()()(0njyxlyxLjnkjkkjn形如（2.9）的插值多項(xiàng)式 稱為拉格朗拉格朗日插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式，)( xLn而(2.3)與(2.5)是 和 的特殊情形.1n2n容易求得 ),()()()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx),()()(101nnxxxxxxx（2.10） 若引入記號 29于是公式（2.9）可改寫成 .)()()()(011nkknknknxxxxyxL（2.11） 注意注意: : 次插值多項(xiàng)式 通常是

17、次數(shù)為 的多項(xiàng)式，n)(xLnn特殊情況下次數(shù)可能小于 .n30若取 ，則 0m.1)(0nkkxl（2.18）.,1 ,0.)(0nmxxlxnkmkmk（2.17）可得, 1 , 0,)(nmxxfm若令它可用來檢驗(yàn)函數(shù)組 的正確性., 1 ,0),(nkxlk31當(dāng) 時，線性插值余項(xiàng)為 1n),)()(21)()(21)(1021xxxxfxfxR ,10 xx（2.17）當(dāng) 時，拋物插值余項(xiàng)為 2n),)()()(61)(2102xxxxxxfxR ,20 xx（2.18）32由題意, 取 ,314567. 0,32. 000yx.352274. 0,36. 022yx（1）用線性插值

18、計算，的值并估計截斷誤差. ,333487. 034. 0sin,314567. 032. 0sin,352274.036.0sin,333487. 0,34. 011yx例例1 1已知3367.0sin用線性插值及拋物插值計算解解,34. 0,32. 010 xx取由公式（2.1）33)3367. 0(3367. 0sin1L0167. 002. 001892. 0314567. 0)3367. 0(00101xxxyyy.330365. 034 由（2.17）,其截斷誤差,)(2)(1021xxxxMxR其中 )(max102xfMxxx 于是 )3367.0(3367.0sin)3367

19、.0(11LR0033. 00167. 03335. 021xxxxsinmax10,3335.0sin1x.1092. 0535（2） 用拋物插值計算，由公式（2.5）得 )()()()(3367.0sin21012012010210 xxxxxxxxyxxxxxxxxy)()(1202102xxxxxxxxy)3367.0(2L333487.00008.0107689.0314567.040008.0105511.0352274.00004.01089.344330374. 036 由（2.18）,截斷誤差限,)()(6)(21032xxxxxxMxR其中 )(max203xfMxxx 于

20、是 這個結(jié)果與6位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，0cos x,828.0這說明查表時用二次插值精度已相當(dāng)高了. 37)3367.0(3367.0sin)3367.0(22LR0233. 0033. 00167. 0828. 061.10178.06382.3 2.3 均差與牛頓插值公式均差與牛頓插值公式 2.3.1 2.3.1 插值多項(xiàng)式的逐次生成插值多項(xiàng)式的逐次生成 利用插值基函數(shù)很容易得到Lagrange插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時全部插值基函數(shù) 均要重新計算.), 1 ,0)(nkxlk【Lagrange插值多項(xiàng)式的缺陷】39),()(),()(11

21、1001xfxPxfxP利用點(diǎn)斜式直線方程得 為了克服這一缺點(diǎn)，我們設(shè)計一種逐次生成插值多項(xiàng)式的方法：對n=1,插值多項(xiàng)式 滿足)(1xP).()()()()(0010101xxxxxfxfxfxP它可看成零次插值 的修正：)()(00 xfxP),()()(01001xxaxPxP其中 是函數(shù) 的差商.01011)()(xxxfxfa)(xf40,)()(01011xxxfxfa.)()()()()()()(1201010202120221222xxxxxfxfxxxfxfxxxxxPxPa其中),)()()(1020102xxxxaxxaaxP 對n=2，插值多項(xiàng)式 可表示為 )(2xP這

22、里 是函數(shù) 的“差分的差分”，稱為“二階差分”，也稱“均差”. 2a)(xf41)()()(102010 xxxxaxxaaxPn)()(10nnxxxxa（3.1）其中 為待定系數(shù)，naaa,10), 1 ,0()(njfxPjjn確定 . 一般地，插值多項(xiàng)式 表示為如下便于計算的形式 可由 個插值條件1n)(xPn（3.2）42 稱 為函數(shù) 關(guān)于點(diǎn) 的一階均差一階均差. 000)()(,xxxfxfxxfkkk)(xfkxx ,0110010,xxxxfxxfxxxfkkk稱為 的二階均差二階均差.)(xf定義定義2 2 2.3.2 2.3.2 均差及其性質(zhì)均差及其性質(zhì)4311102010

23、,kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf（3.3） 一般地，稱為 的 階均差階均差k)(xf（均差也稱為差商）.44 均差有如下的基本性質(zhì)基本性質(zhì)： .)()()()(,011010kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxxf（3.4）這個性質(zhì)可用歸納法證明. 1 階均差可表為函數(shù)值 的線性組合，)(,),(),(10kxfxfxfk 這性質(zhì)也表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，稱為均差的對稱性. 即45 3 若 在 上存在 階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點(diǎn))(xf,ban,10baxxxn.,!)(,)(10banfxxxfnk（3.5）這公式可直接用羅爾定理證明.,010110 xxxxfxxfxxxfk

24、kkk(3.3) 2 由性質(zhì)1及（3.3）可得 ,0120110 xxxfxxxxfxxxfkkk即則 階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下：n46,)(,)(,)(,)()()(4321043214324344321032132332102122101100 xxxxxfxxxxfxxxfxxfxfxxxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxfxkk四階均差三階均差二階均差一階均差1表2 均差計算可列均差表如下（表2-1）. 47 2.3.3 Newton 2.3.3 Newton 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 根據(jù)均差定義，把 看成 上一點(diǎn)，x,ba),(,)()(000 xxxxfx

25、fxf),(,110100 xxxxxfxxfxxf).(,101010nnnnxxxxxxfxxxfxxxf可得48只要把后一式代入前一式，就得到 )(,)()(0100 xxxxfxfxf)(,10210 xxxxxxxf),()(xRxNnn)(,)()(0100 xxxxfxfxNn)(,10210 xxxxxxxf其中 )()(,1010nnxxxxxxxf)(,10 xxxxfnn（3.6）),()(,1010nnxxxxxxxf49),(,)()()(10 xxxxfxNxfxRnnnn（3.7） 是由（2.10）定義的. )(1xn 顯然，由（3.6）確定的多項(xiàng)式 滿足插值條件

26、，)(xNn且次數(shù)不超過 ，n)., 1 , 0(,0nkxxfakk稱 為牛頓（牛頓（NewtonNewton）均差插值多項(xiàng)式）均差插值多項(xiàng)式. )(xNn 系數(shù) 就是均差表2-1中加橫線的各階均差，它比拉格朗日插值計算量省，且便于程序設(shè)計.ka其系數(shù)為 它就是形如（3.1）的多項(xiàng)式，50 但（3.7）更有一般性，它在 是由離散點(diǎn)給出的情形或 導(dǎo)數(shù)不存在時也是適用的.ff （3.7）為插值余項(xiàng)，由插值多項(xiàng)式唯一性知，它與拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)應(yīng)該是等價的. 事實(shí)上，利用均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系式就可以證明這一點(diǎn). 牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)還在于它的遞進(jìn)性，當(dāng)增加插值節(jié)點(diǎn)時，只要在原來插值多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上增

27、加一項(xiàng)即可.51 首先根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表. 給出 的函數(shù)表（見表2-2），求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此計算 的近似值.)596.0(f)(xf0.000120.031260.228630.524931.515331.253821.050.031340.213000.433481.384101.026520.900.197330.358931.275730.888110.800.280001.186000.696750.651.116000.578150.550.410750.40五階均差四階均差三階均差二階均差一階均差2表2)f(xxkk例例4 452 從均差表看到4階均差近似常數(shù)，5階

28、均差近似為0. 故取4次插值多項(xiàng)式 做近似即可. )(4xN)55. 0)(4 . 0(28. 0)4 . 0(116. 141075. 0)(4xxxxN)65.0)(55.0)(4 .0(19733.0 xxx于是 ,63192.0)596.0()596.0(4 Nf),8 . 0)(65. 0)(55. 0)(4 . 0(03134. 0 xxxx 按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入53截斷誤差 .1063.3)596.0(,)(95504xxfxR這說明截斷誤差很小，可忽略不計. 542.3.4 2.3.4 差分與等距節(jié)點(diǎn)的差分與等距節(jié)點(diǎn)的NewtonNewton插值插值 實(shí)際應(yīng)用時經(jīng)常遇到等

29、距節(jié)點(diǎn)的情形，這時插值公式可以進(jìn)一步簡化，計算也簡單得多. 2.3.4.1 2.3.4.1 差分及其性質(zhì)差分及其性質(zhì) 設(shè)函數(shù) 在等距節(jié)點(diǎn) 上的值 為已知，這里 為常數(shù)，稱為步長步長.)(xfy ), 1 , 0(0nkkhxxk)(kkxff h 為了得到等距節(jié)點(diǎn)的插值公式，先介紹差分的概念.55記號 ,1kkkfff（4.1）,1kkkfff（4.2）,)2/()2/(2121kkkkkffhxfhxff（4.3）分別稱為 在 處以 為步長的向前差分向前差分，向后差分向后差分)(xfkxh 符號 ， ， 分別稱為向前差分算子向前差分算子，向后差分算子向后差分算子定義定義3 3及中心差分中心差

30、分. 及中心差分算子中心差分算子.56 利用一階差分可定義二階差分為 .21212kkkkkkffffff一般地可定義 階差分階差分為 m.111kmkmkmfff.111kmkmkmfff 中心差分 用到了 及 這兩個值，但它們并不是函數(shù)表上的值.kf21kf21kf 如果用函數(shù)表上的值，一階中心差分應(yīng)寫成57這樣，二階中心差分為 21212kkkfff 除了已引入的差分算子外，常用算子符號還有不變算不變算子子 及移位算子移位算子 ，IE,kkffI,1kkffE于是，由,)(1kkkkkkfIEfIfEfff),(IE ,121kkkfff,121kkkfff.2)(1111kkkkkkk

31、fffffff定義如下：可得58,1EI,2121EE同理可得 59 差分基本性質(zhì). 性質(zhì)性質(zhì)1 1knknfIEf)(knknfEIf)(1其中 為二項(xiàng)式展開系數(shù). !) 1() 1(jjnnnjn例如各階差分均可用函數(shù)值表示.kjnnjjfEjn0) 1(（3.9a）,) 1(0jknnjjfjnknjnjjnfEjn0) 1(（3.9b）,) 1(0njknjjnfjn60 性質(zhì)性質(zhì)2 2 例如，可用向前差分表示 ，knf所以 .0kjnjknfjnf（3.10）knknfEf可用各階差分表示函數(shù)值.因?yàn)閗nfI)(,0kjnjfjn61 性質(zhì)性質(zhì)3 3kkkkkkxxffxxf111,

32、kkkkkkkkkxxxxfxxfxxxf212121,2122kfh 例如，對向前差分，均差與差分有密切關(guān)系.由定義,hfkhhxfxfhxfxfkkkk2)()()()(11262同理，對向后差分有 ,1!1,1kmmmkkkfhmxxxf 利用（4.7）及均差與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系又可得到),()(nnknfhf （3.12）其中 ，),(nkkxx,1!1,kmmmkkfhmxxf).,2,1(nm 一般地有 這就是差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.（3.11a）（3.11b）634434222343133244043212233032122021100443322)()()()()()()()()()()()

33、()()(ffffffffffffffffffffffffffk 3表2 計算差分可列差分表（見表2-3），表中 為向前差分， 為向后差分. 64 2.3.4.2 2.3.4.2 等距節(jié)點(diǎn)的等距節(jié)點(diǎn)的NewtonNewton插值公式插值公式 將牛頓均差插值多項(xiàng)式（3.6）中各階均差用相應(yīng)差分代替，就可得到各種形式的等距節(jié)點(diǎn)插值公式. .)() 1()(101kjkjkhktttxx 如果節(jié)點(diǎn) ，要計算 附近點(diǎn) ), 1 , 0(0nkkhxxk0 x的函數(shù) 的值，x)(xf 這里只推導(dǎo)常用的前插與后插公式.于是, 10,0tthxx可令6502000! 2) 1()(fttftfthxNn,!

34、) 1() 1(0fnntttn（3.13）將此式及均差與差分的關(guān)系代入牛頓插值公式，則得 ),()!1()() 1()()1(1nnnfhnntttxR).,(0nxx（3.14）稱為NewtonNewton前插公式前插公式， 由（3.7）得余項(xiàng)66 如果要表示 附近的函數(shù)值 ，也可使用牛頓插值公式（3.6），但為了降低誤差，插值點(diǎn)應(yīng)按 的次序排列，nx)(xf01,xxxnn)(,)()(1nnnnnxxxxfxfxN)(,121nnnnnxxxxxxxf 作變換 ，并利用公式均差與向后差分關(guān)系公式（4.8），01,tthxxn這時).()(,101xxxxxxxfnnn得67稱其為牛頓后插公式牛頓后插公式，)()()(thxNxfxRnnn),()!1()() 1()1(1nnfhnnttt（4.13）其中 ).,(0nxx02! 2) 1()(fttftfthxNnnnn,!) 1() 1(nnfnnttt（4.12）其余項(xiàng)68 通常求開頭部分插值點(diǎn)附近函數(shù)值時使用牛頓前插公式，求插值節(jié)點(diǎn)末尾附近函數(shù)值時使用牛頓后插公式. 如果