1、主講人：劉濟2011.90 模型論概述模型論概述0.3 建模實例建模實例0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真0.3.2 水箱液位控制水箱液位控制0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測0 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真1 1、問題提出、問題提出控制理論中，把獨輪自行車問題歸結為一階倒立擺控制問題，此外，諸如機器人行走過程中的平衡控制，火箭發射中的垂直度控制，衛星飛行中的姿態控制，海上鉆井平臺的穩定控制，飛機的安全著陸控制等均涉及到“倒立倒立擺的控制問題擺的控制問題”。0 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行

2、車實物仿真單一剛性鉸鏈，兩自由度動力學問題單一剛性鉸鏈，兩自由度動力學問題獨輪自行車實物仿真模型獨輪自行車實物仿真模型0 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真 小車的質量為m0，倒立擺的質量為m，擺長為 ，擺的偏角為 ，小車的位移為x，作用在小車上水平方向的力為F，O1為擺桿的質心。2 2、實物抽象、實物抽象物理模型物理模型l 20 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真3 3、建模過程、建模過程假定擺桿為勻質細桿，與小車的連接為剛性鉸鏈。1)擺桿繞其中心的轉動方程為擺桿繞其中心的轉動方程為2)擺桿重心的水平運動可能描述為擺桿重心的

3、水平運動可能描述為sincosyxJF lF l22(sin )xdFmxldt根據剛體繞定軸轉動的動力學微分方程，轉動慣量與加速度乘積等于作用于剛體主動力對該軸的代數和。0 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真3 3、建模過程、建模過程3)擺桿中心在垂直方向上的運動可描述為擺桿中心在垂直方向上的運動可描述為4)小車水平方向運動可描述為小車水平方向運動可描述為22( cos )ydFmgmldt202xd xFFmdt0 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真3 3、建模過程、建模過程將上述將上述14式聯立可得精確模型：式聯立可得精

4、確模型：2222 222 2202 2202 2220()()sinsin cos()()coscossin cos() lgsincos()()Jml F lm Jmlml gxJmlm mmlmlF mlmmmmlJmlm m 式中，J為擺桿對于質心的轉動慣量，因為擺桿為均勻細桿，J為32mlJ 0 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真4 4、模型簡化、模型簡化若只考慮若只考慮 在工作點在工作點 附近（附近（ ）的細）的細微變化，則可將精確模型簡化為：微變化，則可將精確模型簡化為：22 22000200()()() lg()Jml Fm l gxJ m mm

5、mlmm mmlFJ m mmml001cossin0210100 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真4 4、模型簡化、模型簡化若給定一階直線倒立擺系統的參數為：小車的質量若給定一階直線倒立擺系統的參數為：小車的質量m0=1kg；倒擺振子的質量；倒擺振子的質量m=1kg；倒擺長度；倒擺長度2l=0.6m；重力加速度取重力加速度取g=10m/s2，則可得到進一步簡化模型，則可得到進一步簡化模型 （微分方程形式微分方程形式）：）：60.8402.0XFF 0 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真4 4、模型簡化、模型簡化222211

6、04 . 0)()()(400 . 2)()()(ssssXsGssFssG對上式進行拉氏變換可得系統的對上式進行拉氏變換可得系統的傳遞函數模型傳遞函數模型為為0 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真4 4、模型簡化、模型簡化進一步變換可得系統的進一步變換可得系統的狀態空間模型狀態空間模型為為11223344010004000020001060000.8xxxxXxxxxTXxxCXxxxxxY432101000001設系統狀態為設系統狀態為0 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真5 5、模型驗證、模型驗證60.8402.0XFF

7、 在在MATLAB的圖形仿真環境下搭建的圖形仿真環境下搭建上述模型仿真圖上述模型仿真圖0 模型論概述模型論概述0.3.1 獨輪自行車實物仿真獨輪自行車實物仿真5 5、模型驗證、模型驗證60.8402.0XFF 令外作用令外作用F為為0.1N的脈沖，運行上述仿的脈沖，運行上述仿真圖，觀察小車位移真圖，觀察小車位移x和擺桿擺角和擺桿擺角 的曲線：的曲線：從中可見，在從中可見，在0.1N的沖擊力作用下，擺桿擺角由零逐步增大，小的沖擊力作用下，擺桿擺角由零逐步增大，小車位移逐漸增加，這一結果符合實驗設計，可基本認定模型有效。車位移逐漸增加，這一結果符合實驗設計，可基本認定模型有效。0 模型論概述模型論

8、概述0.3.2 水箱液位控制水箱液位控制1 1、問題提出、問題提出工業過程控制領域中，諸如電站鍋爐氣泡水位控制，化學反應釜液位控制，化工配料系統的液位控制等問題，均可等效為水箱液位控制問題。 h為液位高度(又稱為水頭)，qin為流入水箱中液體的流量, qout為流出水箱液體的流量，qin與qout分別為進水閥和出水閥門的控制開度，S為水箱底面積。0 模型論概述模型論概述0.3.2 水箱液位控制水箱液位控制1 1、問題提出、問題提出(1) 雷諾系數(2) 紊流(3) 層流 當液體的雷諾系數Re2000，流體的流態稱為紊流。紊流表征了流體在傳遞中有能量損失，質點運動紊亂 (有橫向分量),通常條件下

9、,容器與導管連接處的流態呈紊流狀態. 當液體的雷諾系數Re2000，流體的流態稱為層流。層流表征了流體在傳遞中能量損失很少，質點運動有序 (沿軸向方向),通常條件下,長距離直管段中,在壓力恒定情況下,流體呈層流狀態.evdRr其中v為液體流速，d為管道口徑，r為液體黏度雷諾系數反應了液體在管道中流動時的物理性能.0 模型論概述模型論概述0.3.2 水箱液位控制水箱液位控制2 2、模型假定和簡化、模型假定和簡化假設流體輸送管道為理想工作狀態管道，各處壓力均勻且流體為均質流體。對于水箱的進水管道，假設其流體符合層流層流狀態。對于水箱與導管連接處的紊流紊流，其水頭與流量之間為非線性關系hKqout將

10、其在水箱的平衡點(q0 ，h0)處線性化因此，出口處流量Rhqout20RRqhqKdqdh22120002qhR 定義0 模型論概述模型論概述0.3.2 水箱液位控制水箱液位控制3 3、建模過程、建模過程時間間隔流出系統的量時間間隔流入系統的量時間間隔的積累一個系統內AAA時間間隔在系統內消耗的量時間間隔在系統內產生的量AA(1)單位時間內，水箱里流體體積的變化量為：單位時間內，水箱里流體體積的變化量為：outinqqdtdhS(2)水箱出口水頭與流量的線性化關系為：水箱出口水頭與流量的線性化關系為：Rhqout0 模型論概述模型論概述0.3.2 水箱液位控制水箱液位控制3 3、建模過程、建

11、模過程系統模型（系統模型（微分方程形式微分方程形式）為）為inRqhdtdhRS取拉氏變換得到取拉氏變換得到傳遞函數模型傳遞函數模型 1sRSRsQsHsGin以上各式中，RS為水箱系統的時間常數。0 模型論概述模型論概述0.3.2 水箱液位控制水箱液位控制4 4、模型驗證、模型驗證0 模型論概述模型論概述0.3.2 水箱液位控制水箱液位控制思考與嘗試：思考與嘗試：試建立如下水箱系統模型（水箱液位試建立如下水箱系統模型（水箱液位2 2與入口流量與入口流量q1的的關系模型）關系模型）0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測1 1、問題提出、問題提出除了各種

12、物理過程以外，工業過程領域還有一大類更為復雜的化學反應過程，研究此類過程的模型化問題，有助于更好地監控其過程狀態、檢測其質量指標，為控制系統的設計提供有力的幫助。管式反應器本身是一個分布參數系分布參數系統統，對其內部化學反應過程建模需采用一些特殊的方法。0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測1 1、問題提出、問題提出右圖為PET（聚酯）固相縮聚移動床反應器。2毫米見方的PET固體切片從反應器頂部注入，緩慢向下移動，在一定的溫度下發生加聚反應，同時恒定流量的純凈氮氣逆流向上流動，帶走反應生成的副產物。反應產物從底部勻速排出。反應器出口PET切片的平均分子

13、量、粘度是重要的質量指標。pure N2N2 and byproductsPET pelletPET pellet0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測1 1、問題提出、問題提出建模對象特性建模對象特性pure N2N2 and byproductsPET pelletPET pellet顆粒內，縮聚反應和小分子的擴散顆粒內，縮聚反應和小分子的擴散床層軸向，顆粒和小分子逆向傳質床層軸向，顆粒和小分子逆向傳質床層徑向，小分子徑向傳質床層徑向，小分子徑向傳質除主要反應外還有包括降解的多種副反應發生除主要反應外還有包括降解的多種副反應發生顆粒表面，小分子向氮

14、氣體擴散顆粒表面，小分子向氮氣體擴散0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測2 2、模型假定、模型假定擴散擴散軸向擴散服軸向擴散服從從FickFick定律定律相間傳質相間傳質氣固相氣固相“擬均擬均相相”，將反應速，將反應速率表示成所關心率表示成所關心的固相濃度函數，的固相濃度函數，考慮顆粒外小分考慮顆粒外小分子的擴散，引入子的擴散，引入有效系數有效系數 反應反應 忽略酯化反忽略酯化反應及其它副應及其它副反應，只考反應，只考慮縮聚反應慮縮聚反應對流對流忽略徑向的忽略徑向的濃度差和溫濃度差和溫度差，用簡度差，用簡單的平推流單的平推流擴散流模擴散流模型來等效表

15、型來等效表示軸向傳質示軸向傳質 0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測3 3、建模過程、建模過程dzv, COHv, COH2N2,NEGpellet2,NEGEGZOH 2經模型假定和簡化后，主反應方程其中，-OH為羥基，Z為產物雙酯基團，EG為小分子產物乙二醇。其中，C0H為羥基濃度， Cz為產物雙酯基團濃度， CEG為乙二醇濃度。v為流速。反應器管道橫截面積為A，長度為L。固狀PET切片在管道里的空隙率為 0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測3 3、建模過程、建模過程擬均相擬均相假定假定微元法微元法質量

16、守質量守恒法則恒法則123根據反應機理，主反應的反應動力學方程為且雙酯基團濃度為2111 4 d ZZEGROHdtK21OHZ（1）（2）0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測在z面EG的流入量為在z面EG的擴散量為在z+dz面EG的流出量為在z+dz面EG的擴散量為在dz中反應生成量反應生成量為（1）在微元）在微元dz內內EG的變化率的變化率為為對流對流擴散擴散反應有反應有效因子效因子時間間隔流出系統的量時間間隔流入系統的量時間間隔的積累一個系統內AAA時間間隔在系統內消耗的量時間間隔在系統內產生的量AAvAtzCEG,vAtdzzCEG,Aztz

17、CDEGz,AztdzzCDEGz,AdztzCtzCROHEG,1AdztzCtEG,=流入-流出+擴散變化+反應生成反應反應反應速率反應速率0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測（1）在微元）在微元dz內內EG的變化率的變化率為為vAtzCEG,vAtdzzCEG,AztzCDEGz,AztdzzCDEGz,AdztzCtzCROHEG,1AdztzCtEG,=流入-流出+擴散變化+反應生成AdztzCtEG,（3）0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測時間間隔流出系統的量時間間隔流入系統的量時間間隔的積累

18、一個系統內AAA時間間隔在系統內消耗的量時間間隔在系統內產生的量AA在z面Eg的流入量為在z+dz面Eg的流出量為在dz中Eg反應消耗量反應消耗量為對流對流（2）在微元）在微元dz內內-OH的變化率的變化率為為AdztzCtOH1,=流入-流出-反應消耗vAtzCOH1,vAtdzzCOH1,AdztzCtzCROHEG1,21反應反應0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測（2）在微元）在微元dz內內-OH的變化率的變化率為為AdztzCtOH1,=流入-流出-反應消耗AdztzCtzCROHEG1,21AdztzCtOH1,vAtzCOH1,vAtd

19、zzCOH1,（4）0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測4 4、模型化簡、模型化簡將式（3）和（4）中 、 在z處泰勒級數展開，并舍掉二次以上項，可得tdzzCEG,tdzzCOH,KCCCkzCvtCKCCCkzCLDzCvtCZEGOHOHOHZEGOHEGzEGEG42422222Lzqtp,令設反應固體在反應器的停留時間為 ，則可將上述方程無因次化。0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測因此，精確模型因此，精確模型（偏微分方程形式）（偏微分方程形式）為：為：KCCCkqCpCKCCCkqCLDqCpC

20、ZEGOHOHOHZEGOHEGzEGEG4242222221OHZCC初始條件邊界條件0, 0EGOHCCp0, 1, 0, 0, 0qCqCqCtCCtCqEGOHgEGhOH0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測未知參未知參數數621212.6 100.278zcmsDcms1固相縮聚與熔融縮聚有著類似的反應平衡常數，即擴散系數反映小分子在氣固混合體內的等效擴散系數 有效系數反映微元體內小分子實際變化數量當溫度在220230時，反應速率常數為k=1.06模型的參數有：反應平衡常數模型的參數有：反應平衡常數K；反應速率常數；反應速率常數k；乙；乙二

21、醇在氣固混合體內擴散系數二醇在氣固混合體內擴散系數Dz;反應有效系數反應有效系數0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測5 5、質量指標計算、質量指標計算反應器出口產物的特性粘度和平均分子量是PET固相縮聚過程關鍵質量指標。平均聚合度數均分子量特性粘度192.17/MnPn g mol40.822.1 10/IVMndL gOHCnP20 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測6 6、模型求解、模型求解 上述所建立的PET固相縮聚反應器動態模型為偏微分方程（partial differential equation，

22、PDE）所描述的分布參數模型，對于此類模型，很難求取解析解。 因此，過程模擬時需要采用數值方法進行求解。對于化工過程而言，通常的做法是用正交配置方法正交配置方法空間離散模型方程，得到一組常微分方程，然后用龍格龍格-庫塔法庫塔法求常微分方程組的數值解。 0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測7 7、模型驗證、模型驗證 模型驗證采用模型適用性的仿真研究方法，在實驗條件不具備的情況下，借用已發表的該領域某權威文獻實驗條件和數據，采用本模型進行仿真研究。 進行仿真研究前，必須先確定模型參數，也就是要根據實驗條件和實驗數據對模型參數進行修正。根據文獻 ， 當 溫

23、 度 在 2 2 0 2 3 0 時 ， 反 應 速 率 常 數 為k=1.06(mol/)-1h-1。運用該文獻實驗條件和相應的實驗數據，采用單純形法估計出該實驗條件下擴散系數和有效系數分別為 ， 。20.02502/zDcms0.05820 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測圖圖 反應啟動過程乙二醇（反應啟動過程乙二醇（a）和羥基（）和羥基（b）濃度時空分布圖）濃度時空分布圖 (a) (b) 采用采用7個配置點進個配置點進行離散，精度不高，行離散，精度不高，數據存在波動而非數據存在波動而非絕對光滑曲線絕對光滑曲線反映物料逐反映物料逐漸充滿整個漸充滿

24、整個反應器的啟反應器的啟動過程動過程0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.522.533.5x 10-5g(mol/O) z/L 00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.0110.0120.0130.0140.0150.0160.0170.0180.019e(mol/O) z/L 圖圖 反應穩態乙二醇（反應穩態乙二醇（a）和羥基（）和羥基（b）濃度軸向分布曲線）濃度軸向分布曲線 (b)(a)0 模型論概述模型論概述0.3.3 管式反應器質量指標檢測管式反應器質量指標檢測00.20.40.60.810.70.750.80.850.90.951