1、平面向量知識點(diǎn)與考點(diǎn)精講知識網(wǎng)絡(luò)第1講 向量的概念與線性運(yùn)算知識梳理1.平面向量的有關(guān)概念：(1) 向量的定義：既有(2) 表示方法：用有向線段來表示向量大小又有方向的量叫做向量.有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向2)3)4)5)2.如圖，已知向量 a，b，+在平面內(nèi)任取一點(diǎn)作AB=a，BC=b，則向量AC叫做a與b的和，記.表示向量的方向.用字母a, b,或用 AB , BC ,表示.特別提醒:1)模：向量的長度叫向量的模，記作I a|或I AB |.零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向不確定.單位向量：長度為1個(gè)長度單位的向量叫做單位向量 .共線向量：方向相同

2、或相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線 相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.向量的線性運(yùn)算1. 向量的加法：(1)定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法作 a+b，即卩 a+b = AB + BC = AC特殊情況:B(1)a + bBC(2)a+bAB(3)=a平行四邊形法則(a+b) +c=a+ (b+c).對于零向量與任一向量 a,有a+0 = 0 +(2)法則： 三角形法則,(3 )運(yùn)算律：a+b=b+a；2. 向量的減法：(1)定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法 已知向量a、b,求作向量(a-b) + b = a + ( -b) + b = a + 0

3、 = a 減法的三角形法則作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn) 0,作 OA= a, OB = b,貝U BA= a - b即a _b可以表示為從向量 b的終點(diǎn)指向向量 a的終點(diǎn)的向量, 注意：1） AB表示a -b強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)2）用“相反向量”定義法作差向量, 顯然，此法作圖較繁，a II b / c3.實(shí)數(shù)與向量的積：（1）定義：實(shí)數(shù)方向與a的方向相同；（2 ）運(yùn)算律：a _ b = a但最后作圖可統(tǒng)一，a - b = a + (-b)+(-b)(a - b1入與向量a的積是一個(gè)向量, 當(dāng)入V 0時(shí)，入a的方向與 入（卩a）=（入卩）a，入a,規(guī)定: a的方向相反；當(dāng) （入 + g） a

4、=入 a+ g a,記作入II a|.當(dāng)入 0時(shí)，入a的 入a與a平行.入 a|=|入=0時(shí)，入（a+b）=入 a+ 入 b.特別提醒：向量的加、減及其與實(shí)數(shù)的積的結(jié)果仍是向量。重要定理：向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得b=入a,即b / au b=（az0）.1)2)向量重難點(diǎn)突破1.重點(diǎn):形法則、理解向量及與向量相關(guān)的概念，掌握向量的幾何表示，掌握向量的加法與減法，會正確運(yùn)用三角 平行四邊形法則.2.難點(diǎn):掌握向量加法的交換律、結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量化簡與計(jì)算.3.重難點(diǎn)：.問題1：相等向量與平行向量的區(qū)別答案：向量平行是向量相等的必要條件。問題

5、2：向量平行（共線）與直線平行（共線）有區(qū)別 答案：直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況。問題3：對于兩個(gè)向量平行的充要條件：a / bu a=入b,只有bz 0才是正確的.而當(dāng)b=0時(shí)，a / b是a= b的必要不充分條件. 問題4;向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量 就是相同的向量；（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析向量及與向量相關(guān)的基本概念 概念判析考點(diǎn)一：題型1.例1判斷下列各命題是否正確（1）零向量沒有方向單

6、位向量都相等向量就是有向線段 兩相等向量若共起點(diǎn)，則終點(diǎn)也相同右 a=b , b=c，貝y a=c；r r -_.(7)若 a/b , b/c ,則 a/c(8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則 AB = CD, BC = DA(9)a=b的充要條件是|a|=|b|且a/b ；解題思路:正確理解向量的有關(guān)概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明。 解析：解：(1)不正確， 量的模為1,方向很多零向量方向任意，(2)不正確，說明模相等，還有方向(4) 不正確，有向線段是向量的一種表示形式(5)(3) 不正確，單位向 正確，(6)正確,向量相等有傳遞性(7)不正確，因若b=0，則不共線的向量 a,

7、C也有a/0，0/C ° (8)不正確，如= CD,BC hDA(9)不正確，當(dāng)a/b，且方向相反時(shí)，即使|aHb|，也不能得到a = b ；【名師指引】對于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從通過舉出反例而排除或否定相關(guān)命題。【新題導(dǎo)練】1.判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由向量AB與CD是共線向量，則A B C、D四邊形ABCDI平行四邊形的充要條件是 AB = DC 模為0 共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量AB、 AC在同一直線上. 不正確.單位向量模均相等且為 1,但方向

8、并不確定. 不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的、正確.不正確.如圖AC與BC共線，雖起點(diǎn) -C 不同，但其終點(diǎn)卻相同.評述：本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系必須 把握好.2.下列命題正確的是(A. a與b共線，b與C共線，則a與cB.B. 向量a與b不共線，則a與bC. 有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，

9、與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若a與b不都是非零向量，即 a與b至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有a與b共線，不符合已知條件，所以有 a與b都是非零向量，所以應(yīng)選C.考點(diǎn)二：向量的加、減法題型1:考查加加、減法運(yùn)算及相關(guān)運(yùn)算律例 2化簡(AB-CD)-(AC-BD) 解題思路:考查向量的加、減法，及相關(guān)運(yùn)算律。 解法一（統(tǒng)一成加法）(AB-CD) -(AC -BD) = AB-CD-AC + BD = AB + DC + CA + BD=AB +BD +DC + CA = O解法二（利用 OA - OB = B

10、A）(AB -CD) -(AC -BD) = AB-CD - AC + BD(AB-AC) - CD +BDCB-CD+BD =DB+BD =0解法三（利用 AB=OB-OA）設(shè) O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，貝y (AB-CD)-(AC-BD) = AB-CD-AC + BD= (OB -OA) -(OD -OC) -(OC -OA) +(OD -OB)=OB -OA-OD +OC -OC +OA + OD -OB =0【指引】掌握向量加減的定義及向量加法的交換律、結(jié)合律等基礎(chǔ)知識.在求解時(shí)需將雜亂的向量運(yùn)算式 有序化處理，必要時(shí)也可化減為加，減低出錯(cuò)律.題型2:結(jié)合圖型考查向量加、減法例3 （200

11、9）在MBC所在的平面上有一點(diǎn)P，滿足PA+PB + PC=AB，則也PBC與 MBC的面積之比是（）C1C2f3A.-3解題思路: 求解.B.C.D2 34本題中的已知向量都集中體現(xiàn)在三角形中為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實(shí)施解題思路:A、B、C三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條件是存在實(shí)數(shù)入，使得AC =入蟲.很顯然，題設(shè)條件中向【解析】由 PA + PB + P C=AB,得 PA + PB + BA + PC= 0,即PC =2AP,所以點(diǎn)P是CA邊上的第二個(gè)三等分點(diǎn)，如圖所示.故 S應(yīng)BC _ BC "PC _ 2S緲c BC -AC 35-1-2【名師指引】三角形中兩邊對應(yīng)向量

12、已知， 可求第三邊所對應(yīng)的向量. 值得注意的是，向量的方向不能搞錯(cuò).當(dāng)向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化成代數(shù)式運(yùn)算時(shí)，其運(yùn)算過程可仿照多項(xiàng)式的加減運(yùn)算進(jìn)行.【新題導(dǎo)練】3.若3m+ 2n = a, m 3 n= b，其中a , b是已知向量，求 解析：記3m + 2n = am 3 n= b33得 3 m 9 n = 3 b 一得 11 n= a -3 b .將代入有：m= b +3 nn = a 3 b 11 113 丄2 ba + b11 114.如圖，在 ABC中，D E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)， CA=3 a,CB=2 b,求 CD , CE .解析：Ab =Ac +CB = 3a+2b,因D、E為AB的兩

13、個(gè)三等分點(diǎn),故aD= -AB= a+ -b =DE ,33Cd =CA + AD=3 a a+ -b =2 a+ - b, 33CE=CD + DE=2 a+ 2b a+ - b=a + - b.333考點(diǎn)三：向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 題型1:三點(diǎn)共線問題例4設(shè)弓（2是不共線的向量，已知向量AB = 2ei +ke2，CB=e, +3e2，CD = 2e, e?,若a,b,d三點(diǎn)共線,求k的值解題思路:證明存在實(shí)數(shù) A，使得AB = ZBD解析：BD=CDCB=e, 4e2 ,使 AB =幾 BD 二 2e, + ke a (e - 4e2)得 A =2,k =k = -8例5已知A B、C

14、P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A B C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對實(shí)數(shù)使 PC=mPA+nPB，且 m+n=1.解析：證明： E是對角線AC和BD的交點(diǎn)值得一提的是，一個(gè)向量拆成兩量表達(dá)式并未涉及 AC、AB，對此，我們不妨利用 PC =PA + AC來轉(zhuǎn)化，以便進(jìn)一步分析求證.解析：證明充分性，由 PC =mPA +nPB , m+n=1,得AAAA APA + AC=mPA + n （PA + AB ）（m+n） Pa + nAB=pA + nAB ,AC=nAB A B、C三點(diǎn)共線.必要性：由A、B、C三點(diǎn)共線知，存在常數(shù) 入，使得AC=入AB ,即 aP +pC =入（AP+PB ）

15、.PC=（入1） AP + 入 PB= （1 入）PA +入"PB , m=1入，n=入，mi+ n=1,PC =mPA + nPB .【指引】1、逆向應(yīng)用向量加法運(yùn)算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡便， 個(gè)向量的和，一定要強(qiáng)化目標(biāo)意識.2、這是一個(gè)重要結(jié)論，要牢記。題型2:用向量法解決幾何問題例6已知口ABCD的兩條對角線 AC與BD交于E, 0是任意一點(diǎn),求證：OA+OB + OC + OD =40E解題思路:由平行四邊形的對角線互相平分和相等向量的定義可得。 AE = EC = -CE , BE = ED=-DE在 OAE中，0A+AE=OE同理 OB + BE = OE

16、 , OC+CE=OE , OD + DE=OE以上各式相加，得OA+OB + OC+OD=4OE【指引】用向量法解平面幾何問題，實(shí)質(zhì)上是將平面幾何問題的代數(shù)化處理，在解題中應(yīng)注意進(jìn)行向量語 言與圖形語言的互譯*【新題導(dǎo)練】5.已知a、b是兩個(gè)不共線的向量，若它們起點(diǎn)相同,-1 fa、一 b、t2(a + b )三向量的終點(diǎn)在一直線上,則實(shí)數(shù)t=【解析】如圖， a、1 -b、t ( a + b )三向量的終點(diǎn)在一直線上2存在實(shí)數(shù)幾使:tT f1 ff1 f(a + b) b = A ( a b )2 "又 a、b不共線， t A =0且丄1=021解得t=丄36.向量方法證明：對角線

17、互相平分的四邊形是平行四邊形。已知四邊形 ABCD AC與BD交于 O, AO=OC DO=OB 求證：ABCD是平行四邊形。證：如圖： AB =AO+OB, DC =DO+OC又由已知 AO =0C, DO' =0BALX =$一 AB =DC，故AB與DC平行且相等，所以 ABCD是平行四邊形。基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.判斷下列命題是否正確，并說明理由:(1)(2)共線向量一定在同一條直線上。 所有的單位向量都相等。向量7與"b共線，7與:共線，則a與C共線。(4)向量向量T TAB/CD，貝U AB /CD。平行四邊形兩對邊所在的向量一定是相等向量。2. 在四邊形ABCD中, “

18、AB= 2DC是“四邊形 ABCD為梯形”A充分不必要條件 條件B必要不充分條件C充要條件D、既不充分也不必要3.已知向量10,R, ah+打2, b =2，若向量a和b共線，則下列關(guān)系一定成立的是()、丨2=0 C 、11 / 12 D 、12=0 或幾=04. . D E、F分別是 ABC的BC CA AB上的中點(diǎn)，且 BC = a , CA = b，給出下列命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是()、25.ADCFA、 1已知:A、A,C、C,1 - u =a b21 -1 r=_a +b2 2BAB =3(0 +e2).B, C三點(diǎn)共線A, D三點(diǎn)共線-T1 f BE=a+ b2 AD +BE +

19、CF =0、A,、B,CD =2ei +e2，則下列關(guān)系一定成立的是(B, D三點(diǎn)共線C D三點(diǎn)共線6.若|OA+OB|mOA-OB|則向量OA, OB的關(guān)系是(A.平行 B.重合C.垂直 D.不確定綜合拔咼訓(xùn)練7.如圖，已知AB =a, AC =b, BD =3DC，用a,b表示 AD，則 AD =()A.1 - - 1 - 1 -B. a +b C. a +b4444答案：B解析：AD =AB +BD =AB +3BC = AB +3(AC -AB)=4444&已知 a + b = 01 +3e2 , a - b =e1 -2e2，用 ©、e2 表示 a= ACo答案：e

20、1+2e29.已知a2 * * * -* *=te1+(k2 -1)e2,b =(2t+1)e1-3e2，且 a / b，試求 t 關(guān)于 k 的函數(shù)。答案:十口21 +2k210.如圖,在 OAB中, OC= OA , OD = OB , AD與 BC交于 M點(diǎn)，設(shè) OA = a , OB = b , (1 )試 42用a和b表示向量OM ( 2)在線段AC上取一點(diǎn)E,線段BD上取一點(diǎn)F,使EF過M點(diǎn)，設(shè)0E = aOA ,OF = HOB 。第2講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示知識梳理i 平面向量基本定理：如果01 , 02是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線.不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的 任一_向

21、量a ,有且只有_一對實(shí)數(shù)入i,入2使a = iei +入2e2特別提醒:（1）我們把不共線向量e,、e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;（2）基底不惟一，關(guān)鍵是不共線;（3）由定理可將任一向量 a在給出基底e,、e，的條件下進(jìn)行分解;（4）基底給定時(shí)，分解形式惟一，入i,入2是被a , q , 02唯一確定的數(shù)量2.平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè).單位向量_ i、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)X、y，使得 a =xi +yj, O i我們把（X, y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作其中X叫做a在X軸上的坐標(biāo)

22、，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，O2式叫做向量的坐標(biāo)表示* 與a相等的向量的坐標(biāo)也為（X, y）.* *特別地，i =(i,0) , j =(O,i), 0 =(0,0).特別提醒：設(shè)0A = xi + yj，則向量0A的坐標(biāo)（x, y）就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn) A的坐標(biāo)（x, y）也就是向量0A的坐標(biāo)*因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示3. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若 a=(xi,yi), b=(x2,y2)，則 a + b = (xi +x2,yi +y2),a -b= (Xi -X2，yi -y2)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差(2)若 A

23、(xi, yi), B(X2,y2)，則 AB = (x?花，y? % )一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)（3）右a =（X, y）和頭數(shù)入，則Aa = （x,幾y）實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)4. 向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示：設(shè)a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2)其中ba / b ( b hO)的充要條件是xiy2 X2yi=0重難點(diǎn)突破1. 重點(diǎn)：(1) 了解平面向量基本定理及其意義，了解基底和兩個(gè)非零向量夾角的概念，會進(jìn)行向量的分解及正交分解；(2) 理解平面向量的坐標(biāo)的概念 ，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，會用坐

24、標(biāo)表示平面向量的加、減與 數(shù)乘運(yùn)算；2. 難點(diǎn)：用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件，能用向量的坐標(biāo)形式判斷兩向量以及三點(diǎn)是否共線.3. 重難點(diǎn)：(1)平行的情況有方向相同和方向相反兩種 問題1：和a= (3, 4)平行的單位向量是-3a，即(5 ,- - 1因?yàn)閍的模等于5，所以與a平行的單位向量就是 -5錯(cuò)因:在求解平行向量時(shí)沒有考慮到方向相反的情況。正解:因?yàn)閍的模等于5，所以與a平行的單位向量是+丄5熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探AMM 設(shè) OA=a,C考點(diǎn)一：平面向量基本定理題型1.利用一組基底表示平面內(nèi)的任一向量* 1 * * 1 *例 1在 OABK OC = OAQD = OB AD與 BC交于點(diǎn)4

25、2OB = b，用 a, b表示 OM .解題思路:若e1,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則根據(jù)平面向量的基本定理，平面內(nèi)的任何向B量都可用e,e2線性表示.本例中向量a, b可作基底，故可設(shè)OM =ma+ nb,為求實(shí)數(shù) m n,需利用向量AM與AD共線,向量CM與CB共線,建立關(guān)于m n的兩個(gè)方程.解析：設(shè) OM =ma+ nb ,則 AM =(mT)a+ nb, AD =-a+-b2點(diǎn)A M D共線， AM與 AD共線,On5，-卄.而 CM =OM OC =(m-)a + nb , CB=-a+b44 C M B共線, CM與cB共線,1m -44 4m+n=1.1聯(lián)立解得：mF丄

26、,73n=- , OM =-a77例2已知P是MBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為S.證明：只有唯一的一點(diǎn) P使得S與P重合.解題思路:要證滿足條件的點(diǎn)是唯一的，只需證明向量 AP可用一組基底唯一表示.解析：證明設(shè)AB=a, AC=b ,貝y A1(AR +AC)=丄丄(AB + AQ) + AC 2 2 2=AB +AC +AP ,428由題設(shè)知：AS = AP二一AP =丄AB +丄AC842一 2 - 4 -”AP = a + b77由于a, b是確定的向量，所以AP是唯一的一個(gè)向量，即AABC所在平面內(nèi)只有唯一的一點(diǎn)P使得S與P重合.【名師指引】解決此類類問題的關(guān)鍵在于以一組不共

27、線的向量主基底，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件, 把其它相關(guān)的向量用這一組基底表示出來，再利用向量相等建立方程，從而解出相應(yīng)的值。【新題導(dǎo)練】1.若已知e,、e2是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是A.e,與一e2B3© 與 262C . e, + 62 與 G e2D . G 與 2e,答案：D2 .在 ABC中,已知AM：AB=1 : 3, AN： AC=1 : 4, BN與 CM交于點(diǎn) P,且AB =a, AC =b，試解： AM AB=1 : 3,用a, b表示AP .AN： AC=1 : 4, _ 1 一 1 - AM = AB = a ,

28、 AN =AC =b ,3344 M P、C三點(diǎn)共線，故可設(shè) MP = t MC , t R,于是,ILm 1-fc1 tAP =AM +MP = a+tMC = a+t(b-a)=()a+tb,3 3333同理可設(shè)設(shè) NP = sNB , s R , AP= AN+nP-一)b + sa ,4 41 t-1 s -由得(一-_s)a +(t - )b =0 ,3 34 4AP3 -2 -=a +b -11 11考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算 題型1:向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算例 3已知 A ( 2,4 )、B ( 3, 1)、C ( 3, 4)且 CM = 3CA, CN = 2CB,求點(diǎn)

29、 M N 的坐標(biāo)及向 量MN的坐標(biāo).解題思路:利用平面向量的基本本概念及其坐標(biāo)表示求解。解析：/ A ( 2, 4)、B (3, 1)、C ( 3, 4).CA = (1,8), CB = (6,3) CM =3CA=3 (1, 8) = (3, 24), CN =2CB=2 (6, 3) = (12, 6)設(shè) M(X, y)，則 CM =(x+3,y+4)x+3=3因此（yW24 得；：0, M (0,20 )同理可得 N ( 9 ,2 ) , MN =(90, 2 20) = (9, 18)【名師指引】靈活運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式。【新題導(dǎo)練】3.若 A(0, 1),B(1,2), C(3,

30、 4)則 Ab -2BC =答案：（-3,-3）解：AB -2 BC :=(1 , 1 )-2 (2, 2) =(-3,-3)4.若 M(3, -2)N(-5, -1)且 1 MP ：= MN , 求P點(diǎn)的坐標(biāo);2解：設(shè) P（X, y）則(x-3, y+2)=11 (-8,1)=(-4,-)22ix 3 = Yf X h-1 <3y = _ c P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, -3)2考點(diǎn)三：向量平行的充要條件題型1:平行、共線問題【例4(廣東省高明一中2009屆高三月考)1已知向量 a = (1sin0,1), b= (,1 +sinS)，若 a / b，則銳角 9 等于()2A. 30 

31、6; B45。C. 60。 D . 75。解題思路:已知a、b的坐標(biāo)，當(dāng)求 a/ b時(shí)，運(yùn)用兩向量平行的充要條件X1y2 X2y1=0可求sinQ值.解析：B 解: (1-sin0)(1+sin8)-1 曠=0，故選 b2【名師指引】 數(shù)學(xué)語言常有多種表達(dá)方式，學(xué)會轉(zhuǎn)化與變通是求解的關(guān)鍵.本題以幾何特征語言形式出現(xiàn)，最終落足點(diǎn)要變式成方程的語言來求解，這一思想方法在求解向量問題時(shí)經(jīng)常用到.【新題導(dǎo)練】5.若向量 a=(-1,x)與b =(-x, 2)共線且方向相同，求x解： a=(-l,x)與b =(-x, 2) 共線(-1) 3 2- X?(- x)=0 a與b方向相同 x= J26.已知點(diǎn)

32、 0(0, 0) , A(1 , 2) , B(4 , 5)及 OP = OA + tAB ,求(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？ P在y軸上？ P在第二象限。(2)四邊形OABP能否構(gòu)成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的 t值；若不能，請說明理由。 rrO解：(1) OP = OA+tAB=(1+3t,2+3t)，若 P 在 x 軸上，只需 2+3t=0 , t=-；若 P 在 y 軸上,3只需 1+3t=0 , t=-1 ;若P在第二象限，只需31+3tc012 + 3t >0-rt1< -3(2) OA =(1,2), P B=(3-3t, 3-3t)若 OABP為平行四邊形,貝y

33、OA = PB由于 3t 一1無解，故四邊形 OABF不能構(gòu)成平行四邊形。l3-3t =2搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. (廣東省惠州市2009屆高三第二次調(diào)研考試)設(shè)平面向量 a=(3,5)b=(2,1)，則 a2b=()A. (6,3) B . (7,3)C . (2,1)D.(7,2)答案：B 解析：a-2b=(3,5)2f2,1) = (7,3)2.(廣東省深圳外國語學(xué)校在 ABC 中，AB= C , A2-1-A.b + c332009屆高三統(tǒng)測(數(shù)學(xué)理)AC = b 若點(diǎn) D 滿足 BD =2DC，貝U AD =()5 - 2 - c b33答案：A 解析：由 AD-AB =2(AC -

34、 AD ),3.已知 a= (1,A 142), b= ( 3,14答案：C解析:由已知a=(1,a 3b= (10, 4),1 2 -C31 - . 2 -D. b +33AD = AB+2AC =c + 2b ,2）,當(dāng)ka+b與a 3b平行，k為何值（1 D32), b= ( 3, 2),k a+ b= (k 3, 2k + 2).因(ka+ b)/( a 3b),故 10 (2k +2)+ 4 ( k 3) =0.4.（廣東省黃岐高級中學(xué) 2009屆高三月考）如圖，線段AB與CD互相平分，則BD可以表示為 （AB+CD2 2A . ABCD B.C. (AB-CD) D.-(AB -C

35、D)答案：B線段AB與CD互相平分，所以5.如圖，設(shè)P、ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且AP = 2 AB +1 AC ,5A. 15AQ = 2 AB3/IBD =；(CD - AB)AC，則 ABP勺面積與C.D. 13答案：B解析如圖,設(shè)AM =-AB,5AD =-c + -b3ABQ的面積之比為C 1 -AN = AC則AP = AM + AN由平行四邊形法則知 NP/ AB,所 5以進(jìn)也ABCANAC1，同理可得簽H。故處Mbq4 ,即選B.5BC =3，厶 ABC =60。所以"MH6. (2009年廣東省廣州市高三年級調(diào)研測試數(shù)學(xué)(理 科)如圖，在 ABC中，已知 AB =2 , B

36、C =3, ZABC =60。, AH丄BC于H , M為AH的中點(diǎn)，若 AAM =aAB+PBC，則2答案：2 解析：AB =2 ,3所以BH=1, M為AH的中點(diǎn),AA amPah=2(ab+Bh)AAAA= -(AB tBC) =-AB +- BC2 326綜合拔高訓(xùn)練7.(廣東省深圳外國語學(xué)校2009屆高三統(tǒng)測(數(shù)學(xué)理)已知向量a =(1,sin0) , b =(1,J3cos 0)，貝U a b的最大值為3"答案：2 解析:a -b=sin 日-胎cosQ = 2sin(0 厶)<2.& (江西省鷹潭市2008屆高三第一次模擬)已知向量a = (2,2), b

37、 = (5,k),若a + b不超過5，則k的取值范圍是.答案：-6 , 2解析:+ b =|(3,2+k)|= j9+(2+k)2 <5解得 k 的取值范圍是-6 , 29.已知a = (1,2), b = ( 3,2),當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，k a + 2b與2舌4b平行?【解析】方法 2 a 4b H0,二 存在唯一實(shí)數(shù) 幾使 k a + 2b = A(2a 4b )將a、b的坐標(biāo)代入上式得(k 6, 2k + 4) =A(14, 4)得k 6=14幾且2 k + 4= 4幾，解得k = 1方法二：同法一有 k a + 2b =幾(2a 4b ),即(k 2幾)a +( 2+ 4幾)b

38、=0k - 2 A = 0k = 12 + 4 Z - 0 a與b不共線，10.已知點(diǎn)0( 0, 0), A (1 , 2) , B (4, 5),且 3P =OA + tAB .(1)當(dāng)t變化時(shí)，點(diǎn)P是否在一條定直線上運(yùn)動(dòng)?(2)當(dāng)t取何值時(shí)，點(diǎn)P在y軸上?OABP能否成為平行四邊形？若能求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由.解：(1)由Op= OA + tAB可得AP = tABr , AP / Ab，又AP、AB都過a點(diǎn)，故 A p、b三點(diǎn)在同一條直線上，而 A B為定點(diǎn)，所以P點(diǎn)恒在直線 AB上運(yùn)動(dòng).(2) OP= (1+ 3t , 2+ 3t),若P在y軸上，則1+ 3t=0 , t=

39、 -. (3) A、B P三點(diǎn)在同一條直線上，OABP不可能為平行四邊形，若用 oA = PeT可列方3程組，但方程組無解.第3講平面向量的數(shù)量積知識梳理1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量 a與b，作OA = a , OB = b，則_/ AO B= 0 (o< 0 w n ) 叫 a與b的夾角.特別提醒：向量a與向量b要同起點(diǎn)。2. 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角是0，則數(shù)量| a | b |cos日_叫a與b的數(shù)量積，記作a b，即有a_.b = | a| b |cos e特別提醒:(1) (ow 0 w n ).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為 0(

40、2) 兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量*P1)e a = a e =| a|cos 6；2)3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a b=| a| b| ；當(dāng) a與 b 反向時(shí)，a ”b = a| b4)特別的a a = |a|2或| a| = Ja acos e =聖|a|b|“投影”的概念:如圖A5)a| b|3.特別提醒：投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)B為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng) e為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng) 日為直角時(shí)投影為0 ;當(dāng)9 = 0時(shí)投影為| b| ;當(dāng)9 = 180時(shí)投影為 | b|4. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律： a ” b = b ” a數(shù)乘結(jié)合律：Z

41、a L-bAa-b) =b) 分配律：(a + b) c = a c + b c5. 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量 (x1,y1) , b=(X2，y2)，設(shè)i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量,X1X2 +yiy2那么 a = X"! i +y1 j ,= x2i +y2j 所以 3 4 =6. 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x-yj、(x2, y2),那么：|a|=J(X1 -X2)+(丫1-丫2)7.向量垂直的判定：設(shè) a=(xi,yi), b=(x2,y2)，貝a 丄b = XiX2+yiy2=08.兩向量夾角的余

42、弦(0<8<兀)cose =f "b =X1 X2 +嚴(yán)y2二|a|b|重難點(diǎn)突破1. 重點(diǎn)：掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題;2. 難點(diǎn)：掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題+3. 重難點(diǎn)：.(1)向量數(shù)量積與向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的區(qū)別 問題1：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量。例：規(guī)定，a2 0=02 a =0(不是零向量0，注意與入0=0(入 R)區(qū)別)(2)向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)相關(guān)概念的區(qū)別冋題2:表示方法的區(qū)別數(shù)量積的記號是a b ,不能寫成ab

43、,也不能寫成ab(所以有時(shí)把數(shù)量積稱為 “點(diǎn)乘”，記號ax b另外有定義，稱為“叉乘”).問題3:相關(guān)概念及運(yùn)算的區(qū)別 若a、b為實(shí)數(shù)，且 a2b=0,則有 a=0或b=0,但a2 b=0卻不能得出a = 0或b =0 .因?yàn)橹灰猘丄b就有a2 b=0，而不必a = 0或b =0 .若 a、b、c R,且 aM 0,a M 0卻不能推出 b=c 因若a2 b = a2 c得| a|2 | b|cos| b |cos 0 1=| c|cos 0 2,即b、c在a方向上投影相等，而不能得出b =c(見 若a、b、c R則a(bc)=(ab)c( 結(jié)合律)成立，但對于向量a、b、c，則(a2 b)2

44、 c與a2( b2 c)都是無意義的，這是因?yàn)閍2 b與b2 c是數(shù)量，已不再是向量了，而數(shù)量與向量是沒有點(diǎn)乘定義的同時(shí)，(a2 b) c豐a( b 2 c)，這是因?yàn)閿?shù)量a2 b與向量c相乘是與c共線的向量，而數(shù)量b2 c與向量a相乘則是與a共線的向量，所以一般二者是不等的.這就是說，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的. 若 a、b R 貝U |a2b|=|a|2|b|，但對于向量a、b，卻有| a2 b| < | a|2 | b|，等號當(dāng)且僅當(dāng)a / b時(shí)成立.這是因?yàn)閨 a2 b|=|a|2 | b|2 |cos0 | 而 |cos 0 | w 1 .熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量

45、積的運(yùn)算 題型1.求數(shù)量積、求模、求夾角例1已知=2,|3=3,與b的夾角為120°,求(1 a b;(2)a -b ; (3 ( 2a -b) (a +3b)； (4) a + b解題思路:解析：直接用定義或性質(zhì)計(jì)算例2已知-71a b cos120o =2冥3"-) =32-2 V -(2)a -b = a -2(3) (2a-b) (a+嚴(yán))2a +5¥-3匕 bcos120o-3b_ = 8-15 -27 = -34(4) a+=Va=1, b =72,且a-b與a垂直，求a與b的夾角。(1 a b =2a +5a+ 2a b + b = J4-6 + 9

46、 =77a b解題思路: 考慮公式 cos0 = 。|ar|b|解析：設(shè)a與b的夾角為6 'a-b與a垂直”.(a-fc)，a=0 即a -b a=0-2.ab=a =a =1二 cos寫日 0o,180o二 0 =二 二 a與b的夾角為-44(x1x2b)(a+Xqb的數(shù)量積，反之知道(x1a+x2b <x3x4b)的數(shù)量積及a,b的模則可求它們的夾題型2。利用數(shù)量積解決垂直問題例3若非零向量a、P滿足a + P解題思路:只須證明a £ =0。解析:證明由a + P=a -P 得:=a _ P 二(a + P )2 = (a - P )2展開得：a .P =0,故a丄

47、P例 4在 ABC中，AB =(2, 3)，AC =(1, k)，且 ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求 k值*解題思路:注意分情況計(jì)論解析：當(dāng) A = 90 時(shí)，AB ”AC = 0，二 23 1 +3 3 k = 0 k = ?2當(dāng) B = 90 時(shí)，AB BC = 0 ,BC = AC -AB = (1-2, k3) = ( -1, k3) k =113.k =3±屆2知a, b, c為 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A,B, C的對邊，向量m = (73,T), n = (cosA,sinA).若m 丄 n，且 acosB + bcosA =csinC ,則角A, B的大小分別為( 23 ( -

48、1) +3 3 (kd) = 0當(dāng) C= 90 W, AC BC = 0 , X + k(k；) = 0-、 T T T T【名師指引】a丄b= a巾=0是一個(gè)常用的結(jié)論。【新題導(dǎo)練】1.(廣東省普寧市城東中學(xué) 2009屆高三上學(xué)期第三次月考)已知向量 a =(1, 1) , b =(2, n),若|a+ b| = a b ,A.- 3 B . -1 C . 1 D . 3答案：D解析：j9+(1+n)2 =2中n解得n =32.執(zhí)信中學(xué)2008-2009學(xué)年度高三數(shù)學(xué)試卷兀A= 3答案：C解析：由m丄n可得m豹=0即J3cosA-sinA = 0所以角2一_兀且 acosB +bcosA =

49、csinC 及 B =-C可得 B =3 6考點(diǎn)2利用數(shù)量積處理夾角的范圍 題型1 :求夾角范圍例5已知|a|=2|b卜0,且關(guān)于x的方程X2 + |a|x + ab = 0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值范圍是Arc 江 1r 兀 1_兀 2 7!- jT -A.0， B. 匕，兀 C.百,片 D.【77,兀63336解題思路:要求兩向量夾角0的取值范圍，可先求cos 0的取值范圍.夕o解析：由關(guān)于x的方程x +|a|x+a b=0有實(shí)根，得:|a| -4a > 0/. a b < I a |2.設(shè)向量 a,b 的夾角為 0，則 cos0 =,又 I a |= 2 I b |h 0,4 |a| ”|b|1 . -,2TT-，兀.答案B.3的取值范圍，可先求COS 0的取值范圍.4|a|1二 COS0 < 4= 一，二捕2【名師指引】要求兩向量夾角【新題導(dǎo)練】3 .設(shè)非零向量a = (x,2x ),b = (3x,2 )，且a , b的夾角為鈍角，求x的取值范圍9解析 廣 a , b 的夾角